k5开放性问题.pdf
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1、知识就是力量 探索型问题(开放性问题)1(共 8 页) 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 探索型问题一(开放性问题) 【考点透视】 习惯上,人们把命题者对解题者的要求,将数学问题分为两类:一类是问题的条件和结论都有确 定要求的题型; 另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型,并称前者为封闭题型,后者为 开放题型 . 开放性问题的基本形式有:条件开放题(问题的条件不完备);结论开放题(问题的结论不确定或 不唯一),这些问题的解决,需解题者经过探索确定结论或补全条件,将开放性问题转化为封闭性问题, 然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 现在还出现一些其他形式的开放题,如解题策略的开放题和
2、 题干结构的开放题. 前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计,后者主要是所给题目不完整,需要 解题者把题目补充完整,然后完成解答. 开放性问题对于训练和考查学生的发散思维,进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的. 教育部在 2000 年初中毕业、升学考试改革的指导意见中特别指出:数学考试“应设计一定结合情 境的问题和开放性问题”.由于各地认真贯彻执行这一指导意见,所以在近年的各地中考中,开放性试 题越来越受到命题者的青睐,也越来越受到广大初中教师和学生的重视. 【典型例题】 一、条件开放题 解条件开放题, 一种是直接补齐条件,使题目结论成立;另一种是需要我们作出探索去补齐条件使 题目结
3、论成立. 这两种情况所需补充的条件往往不惟一. 例 1 ( 1)如图 7.1, ABC 中, AB=AC , D 为 AC 边上的一点,要使 ABC BCD ,还需要添加一个条件,这个条件可以是_ _ (只需填写一个你认为适当的条件即可). ( 2001 年淄博市中考题) (2)如图 7.2,在 ABC 和 FED 中, AD=FC ,AB=FE ,当添加条 件: _时,就可得到ABC FED(只需填写一 个你认为正确的条件). ( 2003 年无锡市中考题) 解: (1) BD=BC. (也可以是:ABC= BDC ;或 A=DBC ; 或 BCCD=AC BC ;或 BC 2=AC ?CD
4、中的某一个) (2) A=F. (或 BC=ED 等) 说明:开放题的一个显著特点是:答案的不唯一性. 第( 1)小题中,我们只需给出能使结论成立 的一个答案即可. 例 2 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是 2, 4 x y 和 2, 4 x y ,试 写出符合要求的方程组_. (只要填写一个即可) ( 2000 年安徽省中考题) 分析:我们只要分别构造出一个既含x,又含 y 的一个二元一次方程和一个二元二次方程. 构造方 程实际上就是寻找x 与 y 之间的关系 . 解: 2 , 8. yx xy 说明:方程与函数有着紧密的联系,如果我们把方程组的解看作对应于平面直
5、角坐标系中的两个点 A (2,4) ,B (-2 ,-4 ) ,则我们可以写出过这两个点的一个一次函数的解析式(也是一个二元一次方程) B A C D 图 7.1 A B C D E F 图 7.2 知识就是力量 探索型问题(开放性问题)2(共 8 页) 和一个二次函数的解析式(也是一个二元二次方程,这个方程不唯一). 本题在解法上可以用代数的方法来解,也可用几何的方法来解(形数结合一种重要的数学思想 方法);可以用待定系数法,运用演绎推理的方法来解,也可用直觉思维的方法来解,所以本题既是一 个条件开放题,也是一个策略开放题. 例 3 已知:如图7.3.1 ,四边形ABCD 是 O的内接四边形
6、,A 是BD的中点,过 A 点的切线与CB 的延长线交于点E. (1)求证: AB ?DA=CD ?BE ; (2)若点 E在 CB延长线上运动,点A在BD上运动,使切线 EA变为割线 EFA ,其它条件不变,问 具备什么条件使原结论成立?(要求画出示意图,注明条件, 不要求证明)(2000 年北京海淀区中考题) 分析:本题的(2)是一个条件开放题. 由于本题的结论与(1)相同,所以这一条件的获得,我们 可以从( 1)的证明过程中受到启示. (1)证明:连结AC.A是BD的中点 , ABAD, ACB= ACD. EA切 O于 A , EAB= ACB. 又 ABE= D, EAB ACD ,
7、 ABCD=EB AD , AB ?AD=CD ?BE. (2)解:如图7.3.2中,若有 EAB ACD ,则原结论成立,故我们 只需探求使EAB ACD的条件 . 由于 ABE= D ,所以只要BAE= DAC即可,这只要BFCD即可 . 所以本题只要BFAD,原结论就成立 . 说明:探求条件的过程,是一个由果索因的过程,这是数学中的一种重要的解题方法分析法. 例 4 如图 7.4,AB、 AC 分别是 O 的直径和弦,D 为劣弧AC上一点, DEAB 于点 H,交 O 于点 E,交 AC 于点 F,P为 ED 的延长线上一点. (1)当 PCF 满足什么条件时,PC 与 O 相切?为什么
8、? (2)点 D 在劣弧AC的什么位置时,才能使 AD 2=DEDF?为什么? (2002 年济南市中考题) 分析: (1)连 OC.要使 PC 与 O 相切,则只需PCO=90 0即可 . 由 OCA= OAC , PFC=AFH ,即可寻找出PCF 所要满足的条件 (2)要使 AD 2=DE DF,即ADDF DEAD ,也就是要使DAF DEA , 这样问题就较容易解决了. 解: (1)当 PC=PF(或 PCF=PFC,或 PCF 是等边三角形)时,PC 与 O 相切 . 连 OC. PC=PF, PCF=PFC, PCO=PCF+OCA= PFC+OAC= AFH+ AHF=90 0
9、, B A C D O E 图 7.3.1 A B C E D O F 图 7.3.2 H B A E P O C D F 图 7.4 知识就是力量 探索型问题(开放性问题)3(共 8 页) PC 与 O 相切 . (2)当点 D是AC的中点时, AD 2=DEDF. 连结 AE. ADCD, DAF= DEA. 又 ADF= EDA , DAF DEA , ADDF DEAD ,即 AD 2=DEDF. 说明:本题是探索性开放题, 在解决这类问题时, 我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条 件. 如第 (1) 小题中 ,若要 PC与 O相切 , 则我们需要怎样的条件. 第(2) 小题也
10、是如此. 二、结论开放题 结论开放题通常是结论不确定或不惟一,解题时,需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结论. 例 5 如图 7.5.1 ,以等腰三角形ABC的一腰 AB为直径的 O交 BC于 D,过 D作 DE AC于 E,可得 结论 DE是 O的切线 . 问: (1)若点 O在 AB上向点 B移动,以O为圆心, OB长为半径的圆 仍交 BC于 D,DE AC的条件不变,那么上述结论是否还成立?请说明理由. (2)如果 AB=AC=5cm, sinA= 3 5 , 那么圆心O在 AB的什么位置时,O 与 AC相切?(2001 年黑龙江省中考题) 分析: (1)连 OD. OB=OD ,
11、OBD= ODB= C, OD AC , 从而可得OD DE ,结论仍然成立. (2)若 O与 AC相切,设切点为F,连 OF ,则由 RtAOF中可 求得 OF= 15 8 ,即 OB= 15 8 . 解: (1)结论仍然成立. 如图 7.5.2 ,连 OD ,则 OD=OB , OBD= ODB. 又 AB=AC , B=C, ODB= C, OD AC. DEAC , OD DE , DE是 O的切线 . (2)如图 7.5.3 ,若 AC与 O切于点 F,连 OF , 则 OF AC ,即 AOF是直角三角形, sinA= 3 55 OFOB AOOB , OB= 15 8 , 即当
12、OB= 15 8 时, O与 AC相切 . 说明:本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题. 第( 1)小题是直接从题设条件出发探求 结论是否成立;第(2)小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件,这也是解决这类问题的常用 方法 . A B O E C D 图 7.5.1 A O B E C D 图 7.5.2 A B C O F 图 7.5.3 知识就是力量 探索型问题(开放性问题)4(共 8 页) 例 6 如图 7.6.1 , O的直径 AB ,过半径OA的中点 G作弦 CE AB ,在 CB上取一点D,分别作直 线 CD 、ED ,交直线AB于点 F、M. (1)求 COA 和 FD
13、M的度数; (2)求证: FDM COM ; (3)如图 7.6.2 ,若将垂足G改取为半径OB上任意一 点,点 D改取在EB上,仍作直线 CD 、ED ,分别交直线 AB于点 F、M. 试判断:此时是否仍有FDM COM ? 证明你的结论. (2003 年苏州市中考题) (1)解: AB是 O的直径, CE AB ,ACCE,CG=EG. 在 Rt COG 中,OG= 1 2 OC, OCG=30, COA= 60 . 又 CDE 的度数 = 1 2 CAE的度数 =AC 的度数 =COA=60, FDM=180 -COA=120. (2)证明: COM=180 - COA=120 , CO
14、M= FDM. 在 RtCGM 和 RtEGM 中, GM=GM ,CG=EG , RtCGM RtEGM , GMC= GME. 又 DMF= GME , OMC= DMF , FDM COM. (3)解:结论仍然成立. FDM=180 -CDE, CDE 的度数 = 1 2 CAE 的度数 =AC的度数 =COA , FDM=180 -COA= COM. AB 为直径, CEAB ,在 RtCGM 和 RtEGM 中, GM=GM ,CG=EG , RtCGM RtEGM , GMC= GME, FDM COM. 说明:本题的第(3)小题是在第(2)小题改变条件的情况下,探求结论是否还成立
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