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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 抽象函数常见题型解法综述 赵春祥 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函 数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象 函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例 1. 已知函数 )( 2 xf 的定义域是1,2 ,求 f(x) 的定义域。 解:)( 2 xf的定义域是 1,2 ,是指21x,所以)( 2 xf中的 2 x满足41 2 x 从而函数f(x) 的定义域是 1,4 评析:一般地,已知函数)(xf的定义域是A,求f(x) 的定义域问题,相当于已知 )(xf中
2、 x 的取值范围为A,据此求)(x的值域问题。 例 2. 已知函数)(xf的定义域是21,求函数)3(log 2 1 xf的定义域。 解:)(xf的定义域是 21,意思是凡被f 作用的对象都在21,中,由此可得 4 11 1) 2 1 (3) 2 1 (2)3(log1 12 2 1 xxx 所以函数)3(log 2 1 xf的定义域是 4 11 1 , 评析:这类问题的一般形式是:已知函数f(x) 的定义域是A, 求函数)(xf的定义域。 正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知 )(x的值域 B,且AB,据此求x 的取值范围。例2 和例 1 形式上正相
3、反。 二、求值问题 例3. 已知定义域为R的函数f(x) ,同时满足下列条件: 5 1 )6(1)2(ff,; )()()(yfxfyxf,求 f(3),f(9) 的值。 解:取32yx,得)3()2()6(fff 因为 5 1 )6(1)2(ff,所以 5 4 )3(f 又取3yx 知识就是力量 得 5 8 )3()3()9(fff 评析:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,取 32yx, ,这样便把已知条 件 5 1 )6(1)2(ff,与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 三、值域问题 例 4. 设函数 f(x) 定义于实数集上,对于任意实数x、y,)()()(y
4、fxfyxf总成立, 且存在 21 xx,使得)()( 21 xfxf,求函数)(xf的值域。 解:令0yx,得 2 )0()0(ff,即有0)0(f或1)0(f。 若0)0(f,则0)0()()0()(fxfxfxf,对任意Rx均成立,这与存在 实数 21 xx,使得)()( 21 xfxf成立矛盾,故0)0(f,必有1)0(f。 由于 )()()(yfxfyxf 对任意 Ryx、 均成立,因此,对任意 Rx ,有 0) 2 () 2 () 2 () 22 ()( 2x f x f x f xx fxf 下面来证明,对任意0)(xfRx, 设存在Rx0,使得0)( 0 xf,则0)()()(
5、)0( 0000 xfxfxxff 这与上面已证的0)0(f矛盾,因此,对任意0)(xfRx, 所以0)(xf 评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向 特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 例 5. 设对满足10xx,的所有实数x,函数)(xf满足x x x fxf1) 1 ()(,求 f(x) 的解析式。 解:在)1 (1) 1 ()(x x x fxf中以 x x1 代换其中x,得: )2( 12 ) 1 1 () 1 ( x x x f x x f 再在 (1)中以 1 1 x 代换 x,得 )3( 1 2 )() 1 1 ( x x xf x f 知
6、识就是力量 )3()2()1 (化简得: ) 1(2 1 )( 23 xx xx xf 评析:如果把x 和 x x1 分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是 解题关键。通常情况下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量, 是实现这种转化的重要策略。 五、单调性问题 例6. 设f(x) 定义于实数集上,当0x时,1)(xf,且对于任意实数x、 y,有 )()()(yfxfyxf,求证:)(xf在 R 上为增函数。 证明:在)()()(yfxfyxf中取0yx,得 2 )0()0(ff 若0)0(f,令00yx,则0)(xf,与1)(xf矛盾 所以0)0(f,即
7、有1)0(f 当0x时,01)(xf;当0x时,01)(0xfx, 而1)0()()(fxfxf 所以0 )( 1 )( xf xf 又当0x时,01)0(f 所以对任意Rx,恒有0)(xf 设 21 xx,则1)(0 1212 xxfxx, 所以)()()()()( 11211212 xfxxfxfxxxfxf 所以)(xfy在 R 上为增函数。 评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或 变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 六、奇偶性问题 例7. 已 知 函 数)0)(xRxxf,对 任 意 不 等 于 零 的 实 数 2
8、1 xx、都 有 )()()( 2121 xfxfxxf,试判断函数f(x)的奇偶性。 解:取11 21 xx,得:) 1() 1()1(fff,所以0) 1(f 知识就是力量 又取1 21 xx得:) 1() 1() 1(fff,所以0) 1(f 再取1 21 xxx,则)() 1()(xffxf,即)()(xfxf 因为)(xf为非零函数,所以)(xf为偶函数。 七、对称性问题 例 8. 已知函数)(xfy满足2002)()(xfxf,求)2002()( 11 xfxf 的值。 解:已知式即在对称关系式bxafxaf2)()(中取20020ba,所以函 数)(xfy的图象关于点(0, 20
9、02)对称。根据原函数与其反函数的关系,知函数 )( 1 xfy的图象关于点(2002,0)对称。 所以0)1001()1001( 11 xfxf 将上式中的x 用1001x代换,得0)2002()( 11 xfxf 评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题:设a、 b 均为常数,函数)(xfy对一切实数x 都满足bxafxaf2)()(,则函数 )(xfy的图象关于点(a,b)成中心对称图形。 八、网络综合问题 例 9. 定义在 R 上的函数f(x) 满足:对任意实数m,n,总有)()()(nfmfnmf,且 当 x0 时, 00 的结论。 这是解题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思 想,联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 年级高中学科数学版本期数 内容标题抽象函数常见题型解法综述 分类索引号G.622.46 分类索引描述辅导与自学 主题词抽象函数常见题型解法综述栏目名称学法指导 供稿老师审稿老师 录入许咏梅一校胡丹二校审核
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