k5最值问题(钱云赞).pdf
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1、知识就是力量 1 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 最值问题 钱库二高钱云赞 一、点击高考 最值问题是中学数学的重要内容之一,它分布在各块知识点, 各个知识水平 层面。以最值为载体,可以考查中学数学的所有知识点,考查分类讨论、数形结 合、转化与化归等诸多数学思想和方法,还可以考查学生的思维能力、 实践和创 新能力。因此,它在高考中占有比较重要的地位。 回顾近几年高考, 从题型分布来看, 大多数一道填空或选择题, 一道解答题; 从分值来看,约占总分的10%左右。特别是 2003 年北京卷,选择、填空题各一 道,解答题有两道,总分值有36分之多; 2003年上海卷,填空题各一道,解答 题有两道,
2、总分值有 36 分之多;2003年上海卷,填空题一道, 解答题也是两道, 总分值有近 30 分,两份试卷中均有一道实际应用问题。 由此看来,最值问题虽然是老问题,但一直十分活跃,尤其导数的引入,更 是为最值问题的研究注入了新的活力。 可以预见: 2005 年的高考命题中,有关最值问题,题型、题量、分值将保 持稳定,题目的背景会更贴近学生的实际生活,更关注社会热点问题, 难度不会 太难。 二、考点回顾 : 分析已有考法,最值问题的呈现方式一般有以下几种: 1、函数的最值; 2、学科内的其它最值,如三角形的面积最值问题、几何体的体积最值问题、数 列的最大项等等; 3、字母的取值范围; 4、不等式恒
3、成立问题,常常转化为求函数的最值,例如: f(x)0 对 xR 恒成立f(x)的最小值 0 成立, f(x)0 对 xR 恒成立f(x)的最大值 0 成立; 5、实际应用问题: 知识就是力量 2 实际应用问题中, 最优化问题占的比例较大, 通过建模可化为最值问题。 这 类题已成为这几年高考的热点。可以肯定,这个热度会继续保持。 三、知识概要 1、求函数最值的方法: “数”和“形”,数形结合: 配方法 直接法均值不等式法 单调性 代数方法导数法 判别式法 间接法 有界性 函数的图像 平面几何知识 几何方法线性规划 解析几何斜率 两点间距离 2、求几类重要函数的最值方法; (1)二次函数:配方法和
4、函数图像相结合; (2)),0()(Raa x a xxf:均值不等式法和单调性加以选择; (3)多元函数:数形结合成或转化为一元函数。 3、实际应用问题中的最值问题一般有下列三种模型: 能直接判断 线性规划 建立目标函数 曲函数的最值 四、典型例题分析 函数的最值 例 1(2002全国卷理 21) 设 a 为实数,)( 1)( 2 Rxaxxxf, 知识就是力量 3 (1)讨论)(xf的奇偶性; (2)求)(xf的最小值。 【考查目的】 本题主要考查函数的概念,函数的概念,函数的奇偶性和分段函数的最值 等基础知识,考查分类讨论的思路和逻辑思维能力。 【例题详解】 (1)解法一:常规思路:利用
5、定义。 2 )(xxf1ax, 2 )(xxf.1ax 若 2 2),()()(xxfxfxf即为奇函数,则Rxaxax此等式对.02 都不成立,故)(xf不是奇函数; 若)(xf为偶函数, 则)()(xfxf,即 2 x 2 1xax, 1ax此等式 对Rx恒成立,只能是0a. 故0a时,)(xf为偶数; 0a 时,)(xf既不是奇函数也不是偶函数。 解法二:从特殊考虑: , 1)0(af 又Rx,故)(xf不可能是奇函数。 若0a,则)(xf1)( 2 xxxf,)(xf为偶函数; 若 0a ,则12)(, 1)( 22 aaafaaf,知)()(afaf,故)(xf在 0a 时,既不是奇
6、函数又不是偶函数。 (2)当ax时, 4 3 ) 2 1 (1)( 22 axaxxxf,由二次函数图象及 其性质知: 若 2 1 a,函数)(xf在,(a上单调递减,从而函数)(xf在,(a上的最 小值为1)( 2 aaf; 知识就是力量 4 若 2 1 a,函数)(xf在,(a上的最小值为 4 3 ) 2 1 (f,且)() 2 1 (aff。 当ax时,函数 4 3 ) 2 1 (1)( 22 axaxxxf。 若 2 1 a, 函 数)(xf在),a上 的 最 小 值 为af 4 3 ) 2 1 (, 且 )() 2 1 (aff; 若 2 1 a,函数)(xf在),a上单调递增,从而
7、函数函数)(xf在),a上 的最小值为1)( 2 aaf。 综上所述,当 2 1 a时,函数)(xf的最小值是a 4 3 ;当 2 1 2 1 a时,函 数)(xf的最小值为1 2 a;当 2 1 a时,函数)(xf的最小值是 4 3 a。 【特别提示】 1研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及 )(xf与)( xf是否具有相等或相反的关系;或从特殊情形去估计,再加以验证。 2二次函数的最值解,一般借助于二次函数的图像,考察图像的对称轴 与所给定义域区间的相对位置关系不确定,则需分类讨论。 3本题根据绝对值的定义去绝对值后,变形为分段函数,分段函数的最 值,有些同学概念不清
8、, 把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值,从而 出现了一个函数有几个最小值的错误结论。 例 2、已知函数 x axx xf 2 )( 2 )., 1 ,x (1)当 2 1 a时,求函数)(xf的最小值; (2)若对任意0)(), 1xfx恒成立,试求实数 a的取值范围。 【考察目的】 本题考查求函数的最小值的三种通法:利用均值不等式,利用函数单调性, 二次函数的配方法,考查不等式恒成立问题以及转化化归思想。 【例题详解】 (1)当 2 1 a时, 2 1 1)( ,2 2 1 )( zx xf x xxf。 知识就是力量 5 1x, 0)(xf。 )(xf在区间),1 上为增函数。 )
9、(xf在区间),1 上的最小值为 2 7 )1 (f。 (2)0 2 )( 2 x axx xf在区间), 1上恒成立; 02 2 axx在区间), 1上恒成立; axx2 2 在区间), 1上恒成立; 函数xxy2 2 在区间), 1上的最小值为 3 3a 即3a 【特别提示】 1第(1)题中,,2 2 1 )( x xxf这类函数,若0x,则优先考虑用均 值不等式求最小值, 但要注意等号是否成立, 即用均值不等式来求最值时,必须 注意:一正、二定、三相等,缺一不可。 2不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。 例 3、设 P为圆 2 x+ 2 y =1 上的动点,则点 P 到直线01043y
10、x的距离的最小 值为。 【考查目的】 本题考查直线和圆的基础知识,解几中的最值问题及多元函数的最值问题, 考查数形结合这一重要数学思想方法。 【例题详解】 解法一:设点 P),( 00 yx,则点 P 到直线01043yx的距离为: 5 1043 00 yx d 又1 2 0 2 0 yx,令)(sin,cos 00 Ryx,则 知识就是力量 6 5 10sin4cos3 d ) 3 4 (tan 5 10)cos(5 2)cos( 当1)cos(时,d有最小值 1。 解法二:圆心O 到直线01043yx的距离为 2,故圆上的点P 到直线 01043yx的距离的最小值为211。 【特别提示】
11、1本题是解析几何中的最值问题,可借助于形的直观性直接求解,如解 法二;也可建立目标函数,转而求函数的最值,如解法一。 2解法一涉及到求多元函数的最值,一般是通过消元转化为一元函数。 3函数2)cos(d的最小值,有很多同学误以为: 当 cos()取 最小值 1 时,函数有最小值,忽视了绝对值。 例 4、设曲线 x ey)0(x在点 t etM,()处的切线l与 x轴,y轴所围成的三角 形面积为)(tS。 (1)求切线l的方程; (2)求)(tS的最大值。 【考查目的】 本题考查导数公式, 导数的几何意义, 以及导数的应用等导数的基础知识,考查 综合应用能力。 【例题详解】 (1) x ey 在
12、点 M(t,e t )处的切线l的斜率为 t e 切线l的方程为)(txeey tt (2)令,0x得);1 (tey t 知识就是力量 7 令,0y得,1tx ttS1 2 1 )()1 (te t 2 )1 ( 2 1 te t )0(t tt ettetS)1 ()1( 2 1 )( 2 )1)(1 ( 2 1 tte t 令10)( ttS得 又, 0)( S1; 0)( 10tttSt时,时, e tt 2 )(S1取到最大值时, 【特别提示】 1.由导数的几何意义知,函数在点M 处的导数值就是曲线在点M 处的切线 的全斜率,这是本题的突破口 2.建立目标函数,转而求目标函数的最值,
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