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1、第 1 页 共 14 页 中考二次函数知识点 一、二次函数概念: 1 二次函数的概念: 一般地,形如 2 yaxbxc(abc, 是常数, 0a ) 的函数,叫做二次函数。这 里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a,而bc,可以为零二次函数的定义域是全体实 数 2. 二次函数 2 yaxbxc的结构特征: 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2 abc,是常数, a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式: 2 yax 的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2 yaxc 的性质: 上加下减。 3. 2
2、 yaxh 的性质: 左加右减。 a的符号 开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 00,y轴 0x 时, y随x的增大而增大;0x 时, y随 x的增大而减小;0x 时, y有最小值0 0a 向下 00,y 轴 0x 时, y随x的增大而减小;0x 时, y随 x的增大而增大;0x 时, y有最大值0 a的符号 开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0c,y轴 0x 时, y随x的增大而增大;0x 时, y随 x的增大而减小;0x 时, y有最小值c 0a 向下 0c,y轴 0x 时, y随x的增大而减小;0x 时, y随 x的增大而增大;0x时,y有最大值c a的符号 开口方向顶点坐标对
3、称轴性质 0a 向上 0h , X=h xh时,y 随 x 的增大而增大; xh时,y 随 x的增大而减小;xh时,y有最小值0 0a 向下 0h , X=h xh时,y随x的增大而减小;xh时,y随 x的增大而增大;xh时,y有最大值0 第 2 页 共 14 页 4. 2 yaxhk的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:将抛物线解析式转化成顶点式 2 yaxhk ,确定其顶点坐标 hk, ; 保持抛物线 2 yax 的形状不变,将其顶点平移到 hk, 处,具体平移方法如下: 向右 (h0)【或左 (h0) 【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)
4、【或向下 (kO ;4a+cO,其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D 4 个 答案: D 会用待定系数法求二次函数解析式 第 8 页 共 14 页 例 3.已知: 关于 x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3 的一个根为 x=-2 ,且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线 x=2,则抛物线的顶点坐标为( ) A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D(3, 2) 答案: C 例 4、如图(单位: m ) ,等腰三角形ABC以 2 米/ 秒的速度沿直线L 向正方形移动,直到AB与 CD重合设 x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym2 (1)写出
5、 y 与 x 的关系式; (2)当 x=2,3.5 时, y 分别是多少? (3) 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、 对称轴 . 例 5、已知抛物线y= 1 2 x 2+x- 5 2 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴 (2)若该抛物线与x 轴的两个交点为A、B,求线段AB的长 【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的 关系 例 6、 “已知函数cbxxy 2 2 1 的图象经过点A(c, 2) , 求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文
6、字。 ( 1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程, 并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。 ( 2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。 点评:对于第( 1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结 论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A(c, 2) ” ,就可以列出两个 方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题,只要给 出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度
7、考虑可以添 加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点 的坐标等。 解答 (1)根据cbxxy 2 2 1 的图象经过点A (c, 2) ,图象的对称轴是x=3, 得 ,3 2 1 2 ,2 2 1 2 b cbcc 解得 .2 ,3 c b 所以所求二次函数解析式为.23 2 12 xxy图象如图所示。 ( 2)在解析式中令y=0,得023 2 1 2 xx,解得.53,53 21 xx 第 9 页 共 14 页 所以可以填“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是(3+ )0,5 ”或“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是 ).0,53( 令 x=3
8、代入解析式,得, 2 5 y 所以抛物线23 2 1 2 xxy的顶点坐标为), 2 5 ,3( 所以也可以填抛物线的顶点坐标为) 2 5 ,3(等等。 函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数; 将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE (如图),其中 AF=2,BF=1试在 AB上求一点 P,使矩形PNDM 有最大面积 【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好
9、考查学 生的综合应用能力同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间 例 2 某产品每件成本10 元,试销阶段每件产品的销售价x(元) ?与产品的日销售量y(件)之间的关系 如下表: x(元)15 20 30 , y(件)25 20 10 , 若日销售量y 是销售价x 的一次函数 (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元??此时每日销售利润是多少元? 【解析】 ( 1)设此一次函数表达式为y=kx+b则 1525, 220 kb kb 解得 k=-1 ,b=40,?即一次函数表达 式为 y=-x+40 (2)设每件产品的销
10、售价应定为x 元,所获销售利润为w元 w=(x-10 ) (40-x )=-x 2+50x-400=- (x-25 )2+225 产品的销售价应定为25 元,此时每日获得最大销售利润为225 元 【点评】 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别, 主要有两点:( 1)设未知数在 “当 某某为何值时, 什么最大 (或最小、最省) ”的设问中, ?“某某” 要设为自变量,“什么” 要设为函数;(2) ?问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程 第 10 页 共 14 页 二次函数对应练习试题 一、选择题 1. 二次函数 2 47yxx的顶点坐标是 ( ) A.(2, 11) B.(
11、2,7) C.(2,11) D. (2, 3) 2. 把抛物线 2 2yx向上平移1 个单位,得到的抛物线是() A. 2 2(1)yx B. 2 2(1)yx C. 2 21yx D. 2 21yx 3. 函数 2 ykxk和(0) k yk x 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 4. 已知二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象如图所示, 则下列结论 : a,b 同号 ; 当1x和3x时, 函数值相等 ; 40ab当2y时, x的值只能取0. 其中正 确的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知二次函数 2 (0)yaxbxc a的顶点坐标( -1
12、,-3.2 )及部分图象 ( 如图 ), 由图象可知关于x的一元二次方程 2 0axbxc的两个根分别是 12 1.3xx和 () . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示,则点(,)ac bc在() A第一象限B第二象限 C第三象限 D 第四象限 7. 方程 22 2 xx x 的正根的个数为() A.0 个 B.1个 C.2个. 3 个 8. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点 C, 且 OC=2.则这条抛物线的解析式为 A. 2 2yxx B. 2 2yxx C. 2 2yxx或 2 2yxx D. 2 2yx
13、x或 2 2yxx 第 11 页 共 14 页 二、填空题 9二次函数 2 3yxbx的对称轴是2x,则b_。 10 已知抛物线y=-2 (x+3 )2 +5,如果 y 随 x 的增大而减小,那么x 的取值范围是 _. 11一个函数具有下列性质:图象过点(1,2) ,当x0 时,函数值y随自变量x的增大而增大; 满足上述两条性质的函数的解析式是(只写一个即可) 。 12抛物线 2 2(2)6yx的顶点为C,已知直线3ykx过点 C ,则这条直线与两坐标轴所围成的 三角形面积为。 13. 二次函数 2 241yxx的图象是由 2 2yxbxc的图象向左平移1个单位 , 再向下平移2个单位 得到的
14、 , 则 b= ,c= 。 14如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16 米,跨度是40 米,在线段AB上离中心M处 5 米的地 方,桥的高度是 ( 取 3.14). 三、解答题: 15. 已知二次函数图象的对称轴是30x, 图象经过 (1,-6),且与y轴的交点为 (0, 5 2 ). (1) 求这个二次函数的解析式; (2) 当 x 为何值时 , 这个函数的函数值为0? (3) 当 x 在什么范围内变化时, 这个函数的函数值y随 x 的增大而增大 ? 16. 某种爆竹点燃后,其上升高度h(米)和时间t(秒)符合关系式 2 0 1 2 hv tgt( 0t 2) ,其中重 力加速度g 以
15、10 米/ 秒 2 计算这种爆竹点燃后以v0=20 米/ 秒的初速度上升, ( 1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15 米? ( 2)在爆竹点燃后的1.5 秒至 1.8 秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由. 第 15 题图 第 12 页 共 14 页 17. 如图,抛物线 2 yxbxc经过直线3yx与坐标轴的两个交 点 A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D. (1)求此抛物线的解析式; (2)点 P为抛物线上的一个动点,求使 AP C S: A C D S5 :4 的点 P 的坐标。 18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先
16、免费提供货源,待货物售出后再进行 结算,未售出的由厂家负责处理) 当每吨售价为260 元时,月销售量为45 吨该建材店为提高经营利润, 准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现: 当每吨售价每下降10 元时, 月销售量就会增加7. 5吨 综 合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100 元设每吨材料售价为x(元) ,该经 销店的月利润为y(元) (1)当每吨售价是240 元时,计算此时的月销售量; (2)求出 y 与 x 的函数关系式(不要求写出x 的取值范围) ; (3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大”你认为
17、对吗?请说明理由 第 13 页 共 14 页 练习试题答案 一,选择题、 1A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 二、填空题、 9 4b 10 x-3 11 如 2 24,24yxyx等(答案不唯一) 121 13-8 7 1415 三、解答题 15 (1) 设抛物线的解析式为 2 bxcyax , 由题意可得 解得 15 ,3, 22 abc所以 2 15 3 22 yxx (2)1x或-5 (2)3x 16 (1)由已知得, 2 1 152010 2 tt,解得 12 3,1tt当3t时不合题意,舍去。所以当爆竹点燃 后 1 秒离地 15 米 ( 2)由题意得, 2
18、520htt 2 5(2)20t,可知顶点的横坐标2t,又抛物 线开口向下,所以在爆竹点燃后的1.5 秒至 108 秒这段时间内,爆竹在上升 17 (1)直线3yx与坐标轴的交点A(3,0) ,B(0, 3) 则 930 3 bc c 解得 2 3 b c 所以此抛物线解析式为 2 23yxx ( 2)抛物线的顶点D(1, 4) ,与x轴的另一个交点C( 1,0). 设 P 2 (,23)a aa,则 2 11 (423 ) : (44)5 : 4 22 aa. 化简得 2 235aa 当 2 23aa0 时, 2 235aa得4,2aaP(4,5)或 P( 2,5) 当 2 23aa0 时,
19、 2 235aa即 2 220aa,此方程无解综上所述,满足条件的点的 坐标为( 4, 5)或( 2,5) 3 2 6 5 2 b a abc c 第 14 页 共 14 页 18 (1)5.7 10 240260 45 =60(吨) (2) 260 (100)(4 57.5) 10 x yx ,化简得: 2 3 3 1524000 4 yxx ( 3)24000315 4 3 2 xxy 2 3 (210)9075 4 x 红星经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210 元 ( 4)我认为,小静说的不对理由:方法一:当月利润最大时,x 为 210 元,而对于月销售额 )5.7 10 260 45( x xW 2 3 (160)19200 4 x 来说, 当 x 为 160 元时,月销售额W最大当x 为 210 元时,月销售额W不是最大小静说的不对 方法二:当月利润最大时,x 为 210 元,此时,月销售额为17325 元; 而当 x 为 200 元时,月销售额 为 18000 元 1732518000, 当月利润最大时,月销售额W不是最大小静说的不对
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