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1、1 几组强烈对比的习题及点析 http:/www.DearEDU.com 广东省吴川市振文中学(524573)柯厚宝 强烈对比的习题,对于学生认识数学问题,优化其数学思维的深度与广度起不可或缺的 作用。在教学过程中,笔者编制了不少强烈对比的习题,供学生参考, 也收到了一定的效果。下面整理几组与同行分享。 题组一:求定义域与求值域的强烈对比 1,函数131yxx的定义域是。 2,函数131yxx的值域是。 1,解析:由 10 30 x x ,得 31x ,故所求的定义域为3,1。 2,解法( 1) :令 1 13yxx,得31x, 2 1 42(1)(3)yxx= 2 42(1)4x, 得 2
2、1 48y,又 1 0y,故 1 222y。 所求的值域为1, 221。 解法( 2) :令 1 13yxx,得31x, 又 1 11 2 123 y xx , 由 1 0y,得31x,这时 1 y为增函数; 由 1 0y得11x,这时 1 y为减 函数。 而当 3x 时, 1 2y;当1x时, 1 2y;当1x时, 1 22y , 有 1 222y。 故所求的值域为1, 221。 点析:题1 是高中数学第一册(上)的一道习题,不难得解。但要解决题2,可要 动动脑筋了。重要的数学思想方法,如:化归思想、配方法、数形结合法、导数法,都可派 上用场了,这样,学生的数学思维的深度与广度便得到了一次有
3、效的优化。 题组二:正面与反面的强烈对比 3,已知1Axxa,64Bxx,且AB,则实数 a 的取 2 值范围是。 4,已知1Ax xa,64Bxx,且AB,则实数 a 的取值 范围是。 答案: 3,7,); 4 ,(, 7), (详解略)。 点析:题3 也是课本一道习题,不难从正面直接得到解答。但对于题4,再直接求解, 则难以奏效,若能先考虑好其反面AB的情形,再求其结果,就可避开不少麻烦的 讨论。正难则反。这时,学生的思维要在正面与反面之间完成转换,提高了思维的品质。 题组三 :连续与离散的强烈对比 5,已知,x y 都是正数,若15xy,则xy的最小值是。 6,已知,xy都是正整数,若1
4、5xy,则xy的最小值是。 答案: 5,215; 6 , 8。 (详解略) 点析:题5 也是课本一道习题,用基本不等式不难求解。但是,若把这种方法不加改造 地搬用到题6 时,发现等号再也取不到了,得好好动动脑子了,得将原来,xy的连续取值, 中断开来, 考虑一些离散的正整数了。习惯性连续的思维被拉开了,学生对连续与离散的认 识也会随之而加深。 题组四:有限与无穷的强烈对比 7,已知数列 n a的首项 1 1a,且 1 1 1 n n a a ,则 5 a。 8,已知数列 n a 的首项 1 1a,且 1 1 1 n n a a ,若 lim n n a 存在,则 lim n n a 。 答案:
5、 7, 8 5 ;8, 15 2 。 (详解略) 点析:题7 是课本一道例题,求出 1234 ,aaaa的值,可求得5a。但是,若企图求得 1234 ,aaaa, 5 a后,用先猜后证的方法,求出 n a的表式,再求lim n n a,这样会遭遇很 大的麻烦。这时,我们得将题7 中 的有限情形扩展到无穷中去,lim n n a存在,说明 li m n n a = 1 lim n n a ,不妨设为A,则由 1 1 lim1 lim n n n n a a 得, 1 1A A ,问题可解。 对于有限的东西,学生常很有信心,但对于无穷的事物,他们常觉得不可捉摸。这个使得他 们的思维尝到了无穷的滋味
6、。 3 题组五:常规与非常规的强烈对比 9,定义在R上的函数()fx不是常数函数,且满足(1)(1)fxfx,(1)fx (1)fx,则 A ,是奇函数也是周期函数 B,是偶函数也是周期函数 C,是奇函数但不是周期函数 D,是偶函数但不是周期函数 10,设函数()fx在(,)上满足(2)(2)fxfx,(7)fx(7)fx, 且在闭区间0, 7上,只有(1)(3)0ff。 ()试判断函数( )yfx的奇偶性; ()试求方程 ( )0fx 在闭区间2005, 2005上的根的个数,并证明你的结论。 答案: 9,B;10, ()既不是奇函数也不是偶函数,(),802 个。 (详解略) 点析:题9
7、是不少高考备考资料都出现的一个习题。题10 是 2005 年广东省高考倒数第 二题。若不经考虑与探索,把题9 的思维方式与结论强加到题10,你就成了命题者的一块 大鱼腩。面对全新的问题,我们要做的工作就是,切实深入的分析、探索与尝试。 题组六:静与动的强烈对比 11,已知 2 2 ()() 2 xa fxxR x 在区间1,1上是增函数,则实数a的取值范 围是。 12,已知 2 2 ()() 2 xa fxxR x ,a为常数,试求( )fx在区间1,1上的最大值与 最小值。 11,答案:1,1。 (详解略) 12,解:可求得 2 22 2(2) ( ) (2) xax fx x 。 令 (
8、)0fx,得 2 1 8 2 aa x, 2 2 8 2 aa x。 注意到, 2 21 82xxa,且 1 0x, 2 0x,只需分三种情况讨论即可: (1)当 1 1x, 2 1x时, 4 即 2 2 8 1 2 8 1 2 aa aa ,得 2 2 82 82 aa aa ,解得1a,这时: 当 2 8 1 2 aa x时, ()0fx,( )fx为增函数; 当 2 8 1 2 aa x时, ( )0fx,()fx为减函数; 又 22 (1)(1) 33 aa ff。 22 max 88 ( )() 24 aaaa fxf, m in 2 ()(1) 3 a fxf。 (2)当 1 1x
9、, 2 1x时,得1a,这时: 当 2 8 1 2 aa x时, ( )0fx, ()fx 为减函数; 当 2 8 1 2 aa x时, ()0fx,()fx为增函数。得 m ax 2 ()(1) 3 a fxf, 22 min 88 ()() 24 aaaa fxf。 (3)当 1 1x, 2 1x时,得11a, 这时当1,1x时,有 ( )0fx,()fx为增函数。 m ax 2 ()(1) 3 a fxf; min 2 ()(1) 3 a fxf 。 综上所述:当1a时, 22 max 88 ( )() 24 aaaa fxf, m in 2 ()(1) 3 a fxf;当11a时, max ()fx 2 (1) 3 a f, min 2 ()(1) 3 a fxf;当1a时, max 2 ()(1) 3 a fxf, 5 22 min 88 ()() 24 aaaa fxf 。 点析: 题 11 是 2004 年福建一道高考题,用导数法不难得解。但当把它移植到题12 时, 就漏洞百出了。 因为题 11 是相对静止的, 而题 12 就要捕捉 1 x与 2 x的位置了, 它动了起来, 逼着我们数形结合、分类讨论、整体处理。且光靠这些还不够,在整个解题过程中,还需要 不少的解题机智,要做不少立体式的思维体操。
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