宽进严出台阶分明的湖北卷.pdf
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1、1 宽进严出台阶分明的湖北卷 今年高考结束后,湖北地区的考生对数学卷的反映普遍良好. 武汉市的多家媒体报道的主 调是“数学平和”. 这与过去历届多数考生对数学试卷的畏难情绪形成鲜明对比. “平和”的实际意义是:不论什么样的考生都能够“宽进”,能够“试一烙铁” ,因而应考 的信心平添了几分,考试时心态不再紧张,能够比较从容地答完全卷,也就能够比较真实地反 映考生的实际水平. 此外,许多老师反映,尽管“试卷平和”,但考核知识全面、重点突出、层次分明. 且不乏 思维深刻且区分度高的好题,既能够较好地考察教学质量,又有利于高等学校选拔人才. 这就是说, 今年高考数学的湖北卷,在实情检验、 教学考核、
2、人才选拔三个主要方面都得 到良好的评价,这是很不容易的. (一)这份试卷具有较好的区分度 虽然这份试卷的许多试题考生都容易上手,但最终效果如何却是大不一样的. 即使做得正 确,付出的代价也大不一样. 此外,还有少数题的确“高难”,只有功底、能力相当强的考生才 能解决 . 区分度主要表现在:. ( 1)有些试题是名副其实的考察基础知识,甚至可以“一望而答”的. 【例 1】 (理科第1 题)如果 2 3 2 3 n x x 的展开式中含有非零常数项,则自然数n 的最小 值为() A.3 B.5 C.6 D.10 对于这题,考生只要掌握了:常数项就是字母的指数为零的项,题中第1 项字母的指数是 2,
3、第 2 项字母的指数是-3 ,而 2 与 3 的最小公倍数是6,可知 n=3+2=5,故选 B. 【例 2】 (理科第3 题)设P 和 Q是两个集合,定义集合P-Q=QxPxx且,|,如果 P=x|log 2x0,b0 )的左准线为l, 左焦点和右焦 点分别为 F1和 F2; 抛物线 C2的准线为l, 焦点为 F2.C1和 C2的一个交点为M , 则 | | | | 2 1 1 21 MF MF MF FF 等于() A.-1 B.1 C. 2 1 D. 2 1 【分析】“别人猜题我猜人” ,设计这两个奇怪 的比值,命题人是怎样想的? 如图,我们先做必要的准备工作:设双曲线的半 焦距 c,离心
4、率为e,作MHlH于,令 1122 ,MFrMFr. 第一猜: 1 2 | | MF MF 的含义是什么? 点 M在抛物线上, 11 1 22 22 , MFMFr MHMFre MHMFr 故, 这就是说: 1 2 | | MF MF 的实质是离心率e. 第二猜: 12 1 | | F F MF 与离心率e 有什么关系?注意到: x y M(x,y) F1( -c , 0)F2(c,0) O H 2 : a lx c = - r1r 2 r2 7 1212 1111 221 11 F Fe rr cea ee MFrrre . 第三猜:最后的答案是什么? 由于 121 12 | 11 | F
5、 FMF ee MFMF . 故答案应该是A. 【例13】 (理科第19 题)在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0 ,p) 作直线与抛物线 x 2 =2py(p0)相交于A、B两点 . ()若点N是点C关于坐标原点O的对称点, 求ANB面积的最小值; ()是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被 以AC为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求 出l的方程;若不存在,说明理由. (此题不要求在答题卡上画图) 【分析】1按照常识,当且仅当点C为 AB 中点时ANB面积的最值 . 在x 2=2px( p0) 中 , 令y=p , 则2xp, 此 时2,22CNpA Bp. 可 得 2 1 2 2 2 S
6、ABCNp. 所以我们第一猜:ANB面积的最小值是 2 2 2p (2)垂直于y轴的直线必平行于x 轴,如果有题设的性质,所以我们第二猜:它可能是 抛物线的焦点弦所在直线. 既然线段AC是圆的直径,那么选用圆的直径式方程计算教为简便. 当 AB平行于 x 轴时, G必有 BA ABxx,故解题的对策是求 BA xx之值 . 【解析】(1)由条件知有N( 0,-p ) ,2 .CNp设直线 AB :ykxp, 代入抛物线方程: 222 2220xp kxpxpkxp. 由于 0, 此方程必有相异2 实根,分别设为 12 ,x x,那么: 2 122 1212122 12 2 422 2 xxpk
7、 xxxxx xp k x xp , 22 12 1 22 2 ANB SCNxxpk. 当且仅当k=0 时, 2 min 2 2 ANB Sp. (2)设点 A的坐标为,x y,则以 AC为直径的方程是: 01x xxypyy 8 假定存在直线满足所设条件,lx 轴,设l :ya代入( 1) ,整理得: 2. 02xx xapay 设弦两端分别为: 3344 ,P xyQ xy,那么 34 PQxx. 34 34 xxx xxapay ,注意到 2 2xpy, 22 2 44442 2244 PQxapaypaaaypy payaa 当且仅当p=2a 时,2PQap为定植 . 此时0 2 p
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