工程数学-线性代数第五版课后习题答案.pdf
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1、第二章矩阵及其运算 13 已知线性变换 3213 3212 3211 323 53 22 yyyx yyyx yyyx 求从变量 x1x2x3到变量 y1y2y3的线性变换 解由已知 2 2 1 3 2 1 323 513 122 y y y x x x 故 3 2 1 1 2 2 1 323 513 122 x x x y y y 3 2 1 423 736 947 y y y 3213 3212 3211 423 736 947 xxxy xxxy xxxy 3已知两个线性变换 3213 3212 311 54 232 2 yyyx yyyx yyx 323 312 211 3 2 3 z
2、zy zzy zzy 求从 z1z2z3到 x1x2x3的线性变换 解由已知 2 2 1 3 2 1 514 232 102 y y y x x x 3 2 1 310 102 013 514 232 102 z z z 3 2 1 16110 9412 316 z z z 所以有 3213 3212 3211 1610 9412 36 zzzx zzzx zzzx 2设 111 111 111 A 150 421 321 B求 3AB 2A及 A TB 解 111 111 111 2 150 421 321 111 111 111 323AAB 2294 20172 22132 111 11
3、1 111 2 092 650 850 3 092 650 850 150 421 321 111 111 111 BA T 1计算下列乘积 (1) 1 2 7 075 321 134 解 1 2 7 075 321 134 102775 132)2(71 112374 49 6 35 (2) 1 2 3 )321( 解 1 2 3 )321(1 3 2 2 3 1) (10) (3)21( 3 1 2 解)21( 3 1 2 23)1(3 21)1(1 22)1(2 63 21 42 (4) 204 131 210 131 4311 0412 解 204 131 210 131 4311 0
4、412 6520 876 (5) 3 2 1 332313 232212 131211 321 )( x x x aaa aaa aaa xxx 解 3 2 1 332313 232212 131211 321 )( x x x aaa aaa aaa xxx (a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3) 3 2 1 x x x 322331132112 2 333 2 222 2 111 222xxaxxaxxaxaxaxa 4设 31 21 A 21 01 B问 (1)AB BA 吗? 解AB BA 因为 64 43 AB 83 21
5、BA所以 AB BA (2)(A B) 2 A 2 2AB B 2 吗? 解(A B)2A22AB B 2 因为 52 22 BA 52 22 52 22 )( 2 BA 2914 148 但 43 01 128 86 114 83 2 22 BABA 2715 1610 所以(A B) 2 A22AB B 2 (3)(A B)(A B) A 2 B2吗? 解(A B)(A B) A 2 B 2 因为 52 22 BA 10 20 BA 90 60 10 20 52 22 )(BABA 而 71 82 43 01 114 8322 BA 故(A B)(A B) A2B 2 5举反列说明下列命题
6、是错误的 (1)若 A20则 A 0 解 取 00 10 A则 A 2 0但 A 0 (2)若 A2A 则 A 0 或 A E 解 取 00 11 A则 A 2 A 但 A 0 且 A E (3)若 AX AY 且 A 0则 X Y 解取 00 01 A 11 11 X 10 11 Y 则 AX AY 且 A 0但 X Y 6设 1 01 A求 A2A 3 A k 解 12 01 1 01 1 012 A 13 01 1 01 12 0123 AAA 1 01 k A k 7设 00 10 01 A求 Ak 解首先观察 00 10 01 00 10 01 2 A 2 2 2 00 20 12
7、3 23 23 23 00 30 33 AAA 4 34 234 34 00 40 64 AAA 5 45 345 45 00 50 105 AAA k A k kk kkk k kk k 00 0 2 )1( 1 21 用数学归纳法证明 当 k 2 时显然成立 假设 k 时成立,则 k 1 时, 00 10 01 00 0 2 ) 1( 1 21 1 k kk kkk kk k kk k AAA 1 11 111 00 )1(0 2 )1( )1( k kk kkk k kk k 由数学归纳法原理知 k kk kkk k k kk k A 00 0 2 )1( 1 21 8设 A B 为 n
8、 阶矩阵,且A 为对称矩阵,证明BTAB 也是 对称矩阵 证明因为 A T A所以 (BTAB) T BT(BTA) T B TATB BTAB 从而 BTAB 是对称矩阵 9设 A B 都是 n 阶对称矩阵,证明AB 是对称矩阵的充分 必要条件是 AB BA 证明充分性因为 A T A B T B且 AB BA所以 (AB)T(BA) T ATBTAB 即 AB 是对称矩阵 必要性因为 A T A BTB 且(AB) T AB 所以 AB (AB) T B TAT BA 10求下列矩阵的逆矩阵 (1) 52 21 解 52 21 A |A| 1故 A 1 存在因为 12 25 * 2212
9、2111 AA AA A 故* | 11 A A A 12 25 (2) cossin sincos 解 c o ss i n s i nc o s A |A| 1 0故 A 1 存在因为 c o ss i n s i nc o s * 2212 2111 AA AA A 所以* | 11 A A A cossin sincos (3) 145 243 121 解 145 243 121 A |A| 2 0故 A 1 存在因为 21432 1613 024 * 332313 322212 312111 AAA AAA AAA A 所以* | 11 A A A 1716 2 1 3 2 13 0
10、12 (4) n a a a 0 0 2 1 (a1a2an0) 解 n a a a A 0 0 2 1 由对角矩阵的性质知 n a a a A 10 01 1 2 1 1 11 解下列矩阵方程 (1) 12 64 31 52 X 解 12 64 31 52 1 X 12 64 21 53 80 232 (2) 234 311 111 012 112 X 解 1 111 012 112 234 311 X 033 232 101 234 311 3 1 3 2 5 3 8 122 (3) 10 13 11 02 21 41 X 解 11 11 02 10 13 21 41 X 21 01 10
11、 13 11 42 12 1 21 01 03 66 12 1 0 4 1 11 (4) 021 102 341 010 100 001 100 001 010 X 解 11 010 100 001 021 102 341 100 001 010 X 010 100 001 021 102 341 100 001 010 201 431 012 12利用逆矩阵解下列线性方程组 (1) 353 2522 132 321 321 321 xxx xxx xxx 解方程组可表示为 3 2 1 153 522 321 3 2 1 x x x 故 0 0 1 3 2 1 153 522 321 1 3
12、2 1 x x x 从而有 0 0 1 3 2 1 x x x (2) 0523 132 2 321 321 321 xxx xxx xxx 解方程组可表示为 0 1 2 523 312 111 3 2 1 x x x 故 3 0 5 0 1 2 523 312 111 1 3 2 1 x x x 故有 3 0 5 3 2 1 x x x 14设 A k O (k 为正整数 )证明 (E A) 1 E A A 2 A k 1 证明因为 A k O所以 E AkE 又因为 E A k (E A)(E A A 2 A k 1) 所以(E A)(E A A2Ak 1) E 由定理 2 推论知 (E
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