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1、初中数学 本文为本人珍藏,有较高的使用、参考、借鉴价值! 考点跟踪训练43阅读理解型问题 一、选择题 1若将代数式中的任意两个字母交换,代数式不变, 则称这个代数式为完全对称式,如 abc 就是完全对称式下列三个代数式:(ab) 2; abbcca; a2bb2cc2a.其 中是完全对称式的是() ABCD 答案A 解析若把 a2bb2c c2a 中的 a,b 两个字母交换, 得 b2aa2cc2b,代数式发生变化, 不是完全对称式;而(ab) 2(aa)2, abbccaba accb,是完全对称式 2(2010 嘉兴 )若自然数n使得三个数的加法运算“n(n1)(n2)”产生进位现象, 则
2、称 n为“连加进位数”例如:2 不是“连加进位数”,因为 2349 不产生进位现象; 4 是“连加进位数”,因为45615 产生进位现象;51 是“连加进位数”,因为5152 53156 产生进位现象 如果从 0,1,2, , , 99 这 100 个自然数中任取一个数,那么取到“连 加进位数”的概率是() A0.88 B0.89 C0.90 D0.91 答案A 解析先利用分类讨论,得到一位数中“连加进位数 ”有 7 个,分别为 (3,4,5,6,7,8,9) , 再考虑到两位数中“ 连加进位数 ” 有 67 个分别为 (33,34,35, ,,99),再考虑到两位数中 (13,,,19)与(
3、23,,,29)中个位数中产生了进位,合计76777 88 个故取到 “连 加进位数 ”的概率 P 88 1000.88. 3(2010 日照 )古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如: 他们研究过图1 中的 1,3,6,10,, ,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地, 称图 2 中的 1,4,9,16,, , 这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形 数的是 () A15 B25 C55 D1225 答案D 解析第 n 个三角数是 n n1 2 ,正方形数是n2,当对于 1225,有 n n1 2 1225,n49 或 51; n21225,n 35
4、.所以 1225 即是三角形数又是正方形数 4(2008 湖北 )因为 sin 30 1 2, sin 210 1 2, 所以 sin 210 sin(180 30 ) sin 30 ; 初中数学 因为 sin 45 2 2 ,sin 225 2 2 ,所以 sin 225 sin(180 45 ) sin 45 ;由此猜想,推 理知:一般地当为锐角时有sin(180 ) sin ,由此可知:sin 240 () A 1 2 B 2 2 C 3 2 D3 答案C 解析由 sin(180 ) sin ,得 sin240 sin(180 60) sin60 3 2 . 5(2010 广州 )为确保
5、信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密 ),接收方 由密文明文(解密 ), 已知有一种密码, 将英文 26 个小写字母a, b, c, , , z依次对应0,1,2, , , 25 这 26 个自然数 (见表格 ),当明文中的字母对应的序号为 时,将 10 除以 26 后所得的 余数作为密文中的字母对应的序号,例如明文s 对应密文c. 字母a b c d e f g h ij k l m 序号0123456789101112 字母n o p q r s t u vwx y z 序号13141516171819202122232425 按上述规定,将明文“ maths” 译成密文后是(
6、) AwkdrcBwkhtcCeqdjcD eqhjc 答案A 解析m 对应的数字是12,121022, 除以 26 的余数仍然是22, 因此对应的字母是w; a 对应的数字是0,01010,除以 26 的余数仍然是10,因此对应的字母是k;t 对应的数字 是 19,1910 29,除以 26 的余数仍然是3,因此对应的字母是d;,,所以本题译成密文后 是 wkdrc. 二、填空题 6(2010 黄石 )若自然数 n 使得作竖式加法n(n1) (n 2)均不产生进位现象,则称 n 为“可连数”, 例如 32 是“可连数”, 因为 323334 不产生进位现象; 23 不是“可连数”, 因为 2
7、32425 生产了进位现象,那么小于200 的“可连数”的个数为_ 答案24 解析利用分类讨论, 一位数中 “可连数 ”有 3 个,分别为 (0,1,2);再考虑两位数中“可 连 数 ” 有 (10,11,12) , (20,21,22) , (30,31,32) ; 三 位 数 中 “ 可 连 数 ” 有 (100,101,102) , (110,111,112), (120,121,122),(130,131,132)故合计3824 个 7(2011 怀化 )定义新运算:对任意实数a、b,都有 a* ba 2 b,例如, 3 . 答案3 解析据题意,有2 8(2010 曲靖 )把一个正三角
8、形分成四个全等的三角形,第一次挖去中间一个小三角形, 对剩下的三个小正三角形再重复以上做法, ,一直到第n 次挖去后剩下的三角形有 _个 答案3n 解析第一次操作之后有3 个小正三角形,第二次操作之后有9 个小正三角形,第三次 操工作之后有27 个小正三角形,,,则第 n 次操作之后有3 n 个小正三角形 9数学的美无处不在数学家们研究发现,弹拨琴弦发出声音的音调高低,取决于弦的 初中数学 长度,绷得一样紧的几根弦,如果长度的比能够表示成整数的比,发出的声音就比较和谐例 如,三根弦长度之比是151210,把它们绷得一样紧,用同样的力弹拨,它们将分别发出 很调和的乐声do、mi、so.研究 15
9、、12、10 这三个数的倒数发现: 1 12 1 15 1 10 1 12.我们称 15、 12、10 这三个数为一组调和数现有一组调和数:x、5、3(x5),则 x 的值是 _ 答案15 解析依据调和数的意义,有 1 5 1 x 1 3 1 5,解得 x15. 10(2011 北京 )在下表中, 我们把第 i 行第 j 列的数记为ai,j(其中 i,j 都是不大于5 的正 整数 ),对于表中的每个数ai,j,规定如下:当ij 时,ai,j1;当 ij 时, ai,j0.例如:当i 2,j1 时, ai,ja2,11.按此规定, a1,3_;表中的25 个数中,共有_个 1;计算 a1,1 a
10、i,1a1,2 ai,2a1,3 ai,3a1,4 ai,4 a1,5 ai,5的值为 _. a1,1a1,2a1,3a1,4a1,5 a2,1a2,2a2,3a2,4a2,5 a3,1a3,2a3,3a3,4a3,5 a4,1a4,2a4,3a4,4a4,5 a5,1a5,2a5,3a5,4a5,5 答案0; 15;1 解析由题意, i 与 j 之间大小分析:当ij 时, ai,j0;当 i j 时, ai,j1.由图表可知 有 15 个 1,故填 0;15;1. 三、解答题 11 (2010 凉山 )先阅读下列材料,然后解答问题: 材料 1:从 3 张不同的卡片中选取2 张排成一列,有6
11、种不同的排法,抽象成数学问题 就是从 3 个不同元素中选取2 个元素的排列,排列数记为A32 326. 一般地,从n 个不同元素中选取m 个元素的排列数记作Anm,Anmn(n1)(n2), (n m1)(mn) 例:从 5 个不同元素中选3 个元素排成一列的排列数为:A5354360. 材料 2:从 3 张不同的卡片中选取2 张,有 3 种不同的选法,抽象成数学问题就是从3 个元素中选取2 个元素的组合,组合数记为C3 23 2 2 13. 一般地,从n 个不同元素中选取m 个元素的组合数记作Cnm,Cnmn n1 , nm1 m m1 , 21 (mn) 例:从 6 个不同元素中选3 个元
12、素的组合数为:C63 654 32120. 问: (1)从 7 个人中选取4 人排成一排,有多少种不同的排法? (2)从某个学习小组8 人中选取3 人参加活动,有多少种不同的选法? 解(1)A74 7654840(种) (2)C8 3876 32156(种). 12 (2010 益阳 )我们把对称中心重合,四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形 环”,易知方形环四周的宽度相等 一条直线l 与方形环的边线有四个交点M、M、N、N.小明在探究线段MM 与 NN 的数量关系时,从点M、 N向对边作垂线段M E、NF,利用三角形全等、相似及锐 初中数学 角三角函数等相关知识解决了问题请你参考小明的
13、思路解答下列问题: (1)当直线 l 与方形环的对边相交时,如图1,直线 l 分别交 AD、AD、 BC、 BC 于 M、 M、 N、 N,小明发现MM 与 NN 相等,请你帮他说明理由; (2)当直线 l 与方形环的邻边相交时,如图 2,l 分别交 AD、AD、DC、DC 于 M、 M、 N、 N,l 与 DC 的夹角为 ,你认为MM与 NN 还相等吗?若相等,说明理由; 若不相等,求出 MM NN 的值 (用含 的三角函数表示) 解(1)解:在方形环中, M EAD ,NFBC,ADBC, M ENF,MEMNFN90 , EMM FNN, MM E NNF. MM NN. (2)解法一:
14、 NFNMEM 90 , FNN EMM , NFN MEM, MM N N ME NF . M ENF, MM N N NF NF tan (或 sin cos ) 当 45 时, tan 1,则 MM NN; 当 45 时, MM NN, 则 MM NN tan (或 sin cos ) 解法二:在方形环中,D90 . 又 ME AD,NFCD, M EDC,NFME. MM ENNF . 在 RtNNF 与 RtMM E 中, sin NF NN, cos ME MM , 即 MM NN tan (或 sin cos ) 当 45 时, MM NN; 当 45 时, MM NN, 初中数
15、学 则 MM NN tan (或 sin cos ) 13 (2011 苏州 )如图,小慧同学把一个正三角形纸片(即 OAB)放在直线l1上, OA 边 与直线l1重合,然后将三角形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转120 ,此时点O 运动到了 点 O1处, 点 B 运动到了点B1处; 小慧又将三角形纸片AO1B1绕 B1点按顺时针方向旋转120 , 此时点 A 运动到了点A1处,点 O1运动到了点O2处(即顶点 O 经过上述两次旋转到达O2处) 小慧还发现: 三角形纸片在上述两次旋转过程中,顶点 O 运动所形成的图形是两段圆弧, 即弧 OO1和弧 O1O2,顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的
16、长度之和,并且这两端圆弧与直 线 l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、 AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和 小慧进行类比研究:如图,她把边长为1 的正方形纸片OABC 放在直线l2上, OA 边 与直线 l2重合,然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90 ,此时点O 运动到了点 O1处 (即点 B 处 ), 点 C 运动到了点 C1处, 点 B 运动到了点B1处; 小慧又将正方形纸片AO1C1B1 绕 B1点按顺时针方向旋转90 ,, ,按上述方法经过若干次旋转后,她提出了如下问题: 问题:若正方形纸片OABC 按上述方法经过3次旋转,求顶点O 经过的路程,并求顶 点
17、O 在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积; 若正方形OABC 按上述方法经 过 5 次旋转,求顶点O 经过的路程; 问题:正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转,顶点 O 经过的路程是 4120 2 2 ? 请你解答上述两个问题 解问题 :如图,正方形纸片OABC 经过 3 次旋转,顶点O 运动所形成的图形是三段 弧,即弧OO1、弧 O1O2以及弧 O2O3, 顶点 O 运动过程中经过的路程为 901 180 290 2 180 (1 2 2 ). 顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为 901 2 360 2 90 2 2 360 2 1 21 11. 正方形 OABC 经过 5 次旋转,顶点O 经过的路程为 901 180 390 2 180 (3 2 2 2 ). 问题 :正方形OABC 经过 4 次旋转,顶点O 经过的路程为 901 180 290 2 180 (1 2 2 ). 初中数学 4120 2 2 20(1 2 2 ) 1 2. 正方形纸片OABC经过了 81 次旋转
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