递推数列通项公式之题根研究.pdf
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1、递推数列通项公式之题根研究 1 递推数列通项公式之的题根研究 055350 河北隆尧一中焦景会电话13085848802 题根 数列 n a满足 1 1a, 1 21 nn aa,求通项公式 n a。 分析 此为 1 (1) nn apaqp型递推数列,构造新数列,转化成等比数列求解。 解答 在 1 21 nn aa两边加 1,得 1 12(1) nn aa, 则数列1 n a是首项为2,公比为2 的等 比数列,得 1 122 n n a,即 1 22121 nn n a为所求。 规律小结 1 (1) nn apaqp型递推数列, 当 p=1 时, 数列为等差数列;当0,0qp时,数列为等比
2、数列。 当1p时,一定存在满足pq, 从而得 1 q p , 此为函数()fxpxq的 不动点。由 1 ()() nnn ap aqpqpa,得 n a是首项为 1 a,公比为p 的等 比数列,于是 1 1 () n n aap, 即 1 1 () n n aap,将 1 q p 代入上式,得通项公 式为 1 1 (). 11 n n qq aap pp ( #) 变题 1 数列 n a满足 1 1a, 1 2 21 n n n a a a ,求通项公式 n a。 解答 将已知关系式取倒数得 1 111 1 2 nn aa , 由( #)式得 1 11 2 2 n n a ,所以 1 1 22
3、 n n a。 规律小结 1 n n n pa a ras 型递推数列的通项公式的求法:令 px x rxs ,得 1 0x或 2 ps x r 为 两不动点。 由于 111 111 nnn sr axapap , 设 1 n n b a , 则 1nn sr bb pp , 此为 1 (1) nn apaqp 模型。同样, 12 1 n ax 也可化为 1 (1) nn apaqp模型, 由( #)式可求得 n a。更为特殊的是p=s 时, 111 111 nnn r axaap , 设 1 n n b a 则 n b是等差数列,故常取 1 n n n pa a rap 的倒数求解。 变题
4、2(2006 年江西理第22 题)已知数列 n a满足 1 3 2 a, 1 1 3 21 n n n na a an * (2,)nnN,求 递推数列通项公式之题根研究 2 通项公式 n a。 解答 1 1 3 21 n n n na a an 1 112 33 nn nn aa ,即 1 12 33 nn bb 1 11 1() 33 nn bb,又 1 3 2 a, 得 1 2 1 3 b,所以 1 21 (1) 33 n n b ,得 3 31 n n n n a 。 变题 3已知数列 n a中, 1 1a, 1 1 (1) nn aa nn , 求 n a的通项公式。 分析 将题中递
5、推式变形 1 11 1 nn aa nn ,利用错位相消法。 解答 将题中递推式表示为: 1 11 1 nn aa nn ,于是 21 1 1 2 aa, 32 11 23 aa, 43 11 34 aa, 1 11 21 nn aa nn , 各式相加得 213211 ()()(), nnn aaaaaaaa 得通项公式为 1 111 (1)() 223 n aa 11 () 21nn 11 112 11nn 。 规律小结 对于 1 () nn aafn型递推数列,设,2,1, 1 naab nnn 则称数列 n b是 n a差数列, 则 121213211 ()()(), nnnn bbb
6、aaaaaaaa得 1 1 1 . n k kn baa 所以 n a的通项 公式为 1 1 1 (), (2) n n k aafkn ( I). 当 n=1 时,也满足 (I) 式。此法称为累加错位相消法。 变题 4数列 n a满足 1 2a, 1 223 nn aan, 求 n a。 分析 递推式两边同除以 1 2 n ,经过变量替换,可化为)( 1 nfaa nn 型递推式。 解答 在 1 223 nn aan两边同除以 1 2 n ,得 1 11 23 222 nn nnn aan ,令 2 n n n a b, 则 1 1 23 2 nn n n bb, 于是 1 1 11 1 1
7、 23 ,1. 22 n n k k ak bbb 则 121 1. 22 n n n b 所以 321 2()2 22 nn nn n n ab 1 2168. n n 规律小结 对于 1 (), (1) nn apafnp型递推数列, 当 f(n) 是常数 q 时, 即为模型 1 (1) nn apaqp。 递推数列通项公式之题根研究 3 当 f(n) 是变量时,两边同除以 1n p , 得 1 11 () nn nnn aafn ppp , 令 1 () ,() n n nn af n bf n pp , 得 1 () nn bbgn求出 n b的通项公式,从而得 n nn ap b。
8、变题 5 (2006 年全国理第22 题) 设数列 n a前 n 项和为 1 412 2 333 n nn Sa, n=1,2,,求通项 n a。 解答 1412 2 333 n nn Sa 2 11 412 2 333 aa 1 2a。因为 1( 2) nnn aSSn,所以由 题设得: 1 412 (2) 333 n nn aa 1 412 (2) 333 n n a 1 42 n nn aa 1 1 2 444 n nn nnn aa ,即 1 1 2 n nn bb 1 1 2 n n b,得42 nn n a。 规律小结 根据数列性质 1( 2) nnn aSSn可得出递推关系,然后
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