2203.妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程.doc
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1、妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程 【摘要】 本文通过隐函数相关理论解决中学数学教学中求圆锥曲线的切线方程问题,以一个小问题为出发点,引出隐函数的导数带来便利之处,由此可以培养高中学生思维能力,学习数学运算技巧,并为高中数学教师研究数学课堂教学提供借鉴。【关键词】 圆锥曲线 切线 隐函数 导数随着新课程进一步的深入,高中数学课堂教学对教师的专业素质提出了更高的要求,对高中数学教师的数学专业知识容量提出了新的挑战,为此笔者重新对高等数学内容进行学习,寻找高中数学各模块知识在高等数学中的渊源,以更好地有针对地进行课堂教学。圆锥曲线的切线问题是导数知识与解析几何知识交汇点,也是最近几年高考的
2、热点问题。如何利用导数这一工具解决此类问题,笔者在此提几点自己看法。1问题的提出数学问题是学生学习数学的核心,是学生提高数学素质的媒介,也是教师引导学生学习数学思想,领悟数学思想方法的一个平台。对数学问题进行适当的变换不仅能拓展学生的知识面,也有利于提高学生的能力,更能让学生体会到新课程大环境下学科思想。例如在求抛物线的切线方程我们会发现一个有趣的现象。例1已知抛物线C:及C上一点A(1,1),过A作C的切线,求切线方程。分析:此题若通过直线与抛物线的位置处理方法,很容易就能得出结果;若运用导数的几何意义也不难得到结果:先求出关于的导数再将A点的横坐标代入得到切线的斜率2,即所求的切线方程为。
3、变式1 将题中C的方程改成。分析:通过传统求切线方程方法易得;如果运用导数去求呢?学生肯定会发现表示曲线C的方程不是函数所以也不能求导,怎么办?笔者在教学中得到这样几种解题思路:在方程C中将互换也就是将看成关于的函数求导即得,再在写切线程时也将互换可得即;将方程C改写成两个函数,则因为点A在轴上方,所以斜率为;研究将代入可得此时过A点的切线斜率为。在中不难得到也就是对方程C中的看成关于的函数,再用复合函数求导的法则对方程C两边同时进行求导,遇到关于的运算直接求导,遇到即写成形式。能否把这一种想法推广到更一般呢?回答是肯定的。2隐函数与圆锥曲线方程21圆锥曲线方程满足隐函数的条件的验证对于实系数
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