中考总复习:特殊三角形--知识讲解(提高).pdf
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1、中考总复习:特殊三角形知识讲解(提高) 【考纲要求】 【高清课堂:等腰三角形与直角三角形考纲要求】 1了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念,会识别这三种图形;理解等腰三角形、等边三 角形、直角三角形的性质和判定 2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题 3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、等腰三角形 1. 等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2性质: (1) 具有三角形的一切性质; (2) 两底角相等 ( 等边对等角 ) ; (3) 顶角的平分线,底边中线,底边上的高互相重合(
2、三线合一 ) ; (4) 等边三角形的各角都相等,且都等于60 要点诠释: 等边三角形中高线,中线,角平分线三线合一,共有三条. 3判定: (1) 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等( 等角对等边 ) ; (2) 三个角都相等的三角形是等边三角形; (3) 有一个角为60的等腰三角形是等边三角形 要点诠释: (1) 腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念; (2) 等边三角形是特殊的等腰三角形 考点二、直角三角形 1. 直角三角形:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 2性质: (1) 直角三角形中两锐角互余; (2) 直角三角形中,30锐角所对的直角边等于斜边的一半;
3、(3) 在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30; (4) 勾股定理:直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方; (5) 勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c 满足 a 2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形; (6) 直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释: ( 1)直角三角形中,SRtABC=ch=ab,其中 a、b 为两直角边, c 为斜边, h 为斜边上的高; ( 2)圆内接三角形,当一条边为直径时,该三角形是直角三角形 3判定: (1) 两内角互余的三角形是直角三角形; (2) 一条边上的中线等于该边的一半,则这
4、条边所对的角是直角,这个三角形是直角三角形; (3) 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形,第三边为斜边 【典型例题】 类型一、等腰三角形 1 (2014 秋?自贡期末)如图,点O 是等边 ABC 内一点, AOB=110 ,BOC= 以 OC 为一 边作等边三角形OCD,连接 AC、AD (1)当 =150 时,试判断 AOD 的形状,并说明理由; (2)探究:当a 为多少度时,AOD 是等腰三角形? 【思路点拨】 (1)首先根据已知条件可以证明BOC ADC ,然后利用全等三角形的性质可以求出 ADO 的度数,由此即可判定AOD 的形状; (2)利用( 1)和已
5、知条件及等腰三角形的性质即可求解 【答案与解析】 解: (1) OCD 是等边三角形, OC=CD , 而ABC 是等边三角形, BC=AC , ACB= OCD=60 , BCO= ACD , 在BOC 与ADC 中, , BOC ADC , BOC= ADC , 而 BOC= =150 , ODC=60 , ADO=150 60 =90 , ADO 是直角三角形; (2)设 CBO=CAD=a , ABO=b , BAO=c , CAO=d , 则 a+b=60 ,b+c=180 110 =70 ,c+d=60 ,a+d=50 DAO=50 , bd=10 , ( 60 a) d=10 ,
6、 a+d=50 , 即 CAO=50 , 要使 AO=AD ,需 AOD= ADO , 190 = 60 , =125 ; 要使 OA=OD ,需 OAD= ADO , 60 =50 , =110 ; 要使 OD=AD ,需 OAD= AOD , 190 =50 , =140 所以当 为 110 、 125 、140 时,三角形AOD 是等腰三角形 【总结升华】此题主要考查了等边三角形的性质与判定,以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识, 根据旋转前后图形不变是解决问题的关键 举一反三: 【变式 】把腰长为1 的等腰直角三角形折叠两次后,得到的一个小三角形的周长是_ 【答案】. 2已知 : 如
7、图 , 菱形 ABCD 中, E 、F分别是 CB 、 CD上的点, BE=DF (1) 求证 :AE=AF (2) 若 AE垂直平分BC ,AF垂直平分CD ,求证: AEF为等边三角形 【思路点拨】菱形的定义和性质. 【答案与解析】 (1) 四边形ABCD 是菱形,AB=AD,B=D , 又 BE=DF , AE=AF (2)连接 AC, AE垂直平分BC ,AF垂直平分CD , AB=AC=AD , AB=BC=CD=DA , ABC和 ACD都是等边三角形 , 又 AE=AF 是等边三角形 【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质,等边三角形的判定与性质. 举一反三:【高清课堂:等
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