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1、人教版六年级下册数学 一、分数乘法 (一)、分数乘法的计算法则: 1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数和分母约分) 2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。 3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。 注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。 (二) 、规律:(乘法中比较大小时) 一个数( 0 除外)乘大于 1 的数,积大于这个数。 一个数( 0 除外)乘小于 1 的数( 0 除外),积小于这个数。 一个数( 0 除外)乘 1,积等于这个数。 (三) 、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。 (四) 、整数乘法的交
2、换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。 乘法交换律: a b = b a 乘法结合律: ( a b ) c = a ( b c ) 乘法分配律:( a + b )c = a c + b c a c + b c = ( a + b )c 二、分数乘法的解决问题 (已知单位“ 1”的量(用乘法),求单位“ 1”的几分之几是多少) 1、找单位“ 1” :在分率句中分率的前面;或“占” 、 “是” 、 “比”的后 面 2、求一个数的几倍:一个数几倍;求一个数的几分之几是多少:一个数 几 几 。 3、写数量关系式技巧: (1) “的”相当于“”“占” 、 “是” 、 “比”相当于“ = ” (2
3、)分率前是“的”:单位“1”的量分率 =分率对应量 (3)分率前是“多或少”的意思:单位“ 1”的量( 1分率) =分率对应量 三、倒数 1、倒数的意义:乘积是 1 的两个数互为倒数。 强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。 (要说清谁是谁的倒数) 。 2、求倒数的方法: (1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。(2)、求整数的倒数:把整数看做分母是1 的分数,再交换分子分母的位置。(3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒 数。 (4)、求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。 3、1 的倒数是 1; 0 没有倒数。因为 11=1;0 乘任何数都得
4、0, 0 1 (分母不能为 0) 4、对于任意数(0)a a,它的倒数为 1 a ;非零整数 a的倒数为 1 a ;分数 b a 的倒数是 a b ; 5、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。 三、分数除法 一、分数除法 1、分数除法的意义: 分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数 的运算。 2、分数除法的计算法则:除以一个不为 0 的数,等于乘这个数的倒数。 3、规律(分数除法比较大小时) : (1) 、当除数大于 1,商小于被除数; (2) 、当除数小于 1(不等于 0) ,商大于被除数;(3) 、当除数等于 1,商等于
5、被除数。 4、 “”叫做中括号。一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的, 再算中括号里面的。 二、分数除法解决问题 (未知单位“ 1”的量(用除法):已知单位“ 1”的几分之几是多少,求单位“1”的 量。 ) 1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同: (1)分率前是“的”:单位“ 1”的量分率 =分率对应量 (2)分率前是“多或少”的意思:单位“ 1”的量( 1分率) =分率对应量 2、解法:(建议:最好用方程解答) (1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。 (2)算术(用除法):分率对应量对应分率 = 单位“ 1”的量 3、求一个数是另一个数的几分之几
6、:就一个数另一个数 4、求一个数比另一个数多(少)几分之几: 求多几分之几:大数小数 1 求少几分之几: 1 - 小数大数 或 求多几分之几(大数 -小数)小数 求少几分之几:(大数-小数)大数 四、比 (一)、比的意义 1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。 2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项 除以后项所得的商,叫做比值。 例如 15 :10 = 15 10= 2 3 (比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示) 前项比号后项比值 3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。也可以表示两个不同量的比,得到一个新 量。例:路程速度 =时间。
7、4、区分比和比值 比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。 比值:相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。 5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。 6、比和除法、分数的联系: 比前项比号“: ”后 项比值 除 法被除数除号“”除 数商 分 数分子分数线 “”分 母分数值 7、比和除法、分数的区别:除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系。 8、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。 体育比赛中出现两队的分是2:0 等,这只是一种记分的形式, 不表示两个数相除的关系。 (二) 、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系: 商
8、不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0 除外) ,商不变。 分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0 除外) ,分数值不变。 比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外) ,比值不变。 2、最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。 3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。 4. 化简比: 用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 (1)两个分数的比:用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整 数比的方法来化简。 两个小数的比:向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简。 (2)用求比值的方法。注意: 最后
9、结果要写成比的形式。 如: 1510 = 15 10 = 2 3 = 3 2 5按比例分配:把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。 如:已知两个量之比为:a b,则设这两个量分别为axbx和。 6、路程一定,速度比和时间比成反比。(如:路程相同,速度比是4:5,时间比则为 5:4) 工作总量一定,工作效率和工作时间成反比。 (如:工作总量相同,工作时间比是3:2,工作效率比则是2:3) 五、圆 一、认识圆 1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。 一般用字母 O表示。它到圆上任意一点的距离都
10、相等 3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r 表示。 把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d 表示。 直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。 6、在同圆或等圆内, 有无数条半径, 有无数条直径。 所有的半径都相等, 所有的直径都相等。 7在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2 倍,半径的长度是直径的 2 1 。 用字母表示为: d2r 或 r 2 d 8、轴对称图形: 如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做对称轴。
11、 (经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线) 9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有 1 一条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。 只有 2 条对称轴的图形是:长方形 只有 3 条对称轴的图形是:等边三角形 只有 4 条对称轴的图形是:正方形 ; 依 据 比 的 基 本 性 有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。 二、圆的周长 1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。 2、圆周率实验: 在圆形纸片上做个记号,与直尺0 刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。 发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数()
12、。 3圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数, 我们把它叫做圆周率。 用字母( pai ) 表示。 (1)、一个圆的周长总是它直径的3 倍多一些,这个比值是一个固定的数。 圆周率是一个无限不循环小数。在计算时,一般取 3.14 。 (2)、在判断时,圆周长与它直径的比值是倍,而不是3.14 倍。 (3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 4、圆的周长公式: C= d d = C 或 C=2 r r = C 2 5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。 在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长:
13、 (1)周长的一半:等于圆的周长 2 计算方法: 2 r 2 即 r (2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法:r 2r 三、圆的面积 1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母 S表示。 2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心 角。 3、圆面积公式的推导: (1) 、用逐渐逼近的转化思想:体现化圆为方,化曲为直;化新为旧,化未知为已知,化 复杂为简单,化抽象为具体。 (2) 、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形。 (3) 、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半 =
14、 长方形的长 因为:长方形面积 = 长宽 所以:圆的面积 = 圆周长的一半 圆的半径 S圆 = r r 圆的面积公式: S圆 = r 2 4、环形的面积: 一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。(R r环的宽度) S环 = R 22或 环形的面积公式: S环= (R22)。 5、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。 而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如: 在同一个圆里,半径扩大3 倍,那么直径和周长就都扩大3 倍,而面积扩大 9 倍。 6、两个圆:半径比 = 直径比 = 周长比;而面积比等于这比的平方。例如: 两个圆的半径比是23,那么这两个圆的直径比和
15、周长比都是23,而面积比是 49 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:4 8、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小。 反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短。 9、确定起跑线: (1)、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。 (2)、每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度。(因此起跑线不 同) (3)、每相邻两个跑道相隔的距离是:2跑道的宽度 (4)、当一个圆的半径增加厘米时,它的周长就增加厘米;当一个圆的直径增加 厘米时,它的周长就增加厘米。 11、常用各值结果:
16、= 3.14 2 = 6.28 3 = 9.42 5 = 15.7 6 = 18.84 7 = 21.98 9 = 28.26 10 = 31.4 16 = 50.24 36 = 113.04 64 = 200.96 96 = 301.44 4 = 12.56 8 = 25.12 25 = 78.5 12、常用平方数结果 11 2 = 121 12 2 = 144 13 2 = 169 14 2 = 196 15 2 = 225 16 2 = 256 17 2 = 289 18 2 = 324 19 2 = 361 六、百分数 一、百分数的意义和写法 1、百分数的意义:表示一个数是另一个数的百
17、分之几。 百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。 2、千分数:表示一个数是另一个数的千分之几。 3、百分数和分数的主要联系与区别: (1)联系:都可以表示两个量的倍比关系。 (2) 区别: 、意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系, 不能表示具体的数量, 所以不能带单位; 分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具本数时可以带单位。 、百分数的分子可以是整数,也可以是小数; 分数的分子不能是小数,只能是除0 以外的自然数。 4、百分数的写法:通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“”来表示。 二、百分数和分数、小数的互化 (一)百分数与小数的互化: 1、小数化成百分数:把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。 2. 百分数化成小数:把小数点向左移动两位,同时去掉百分号。 (二)百分数的和分数的互化 1、百分数化成分数: 先把百分数化成分数,先把百分数改写成分母是否100 的分数,能约分要约成最简分数。 2、分数化成百分数: 用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100 的分数,再写成百分数形式。 先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
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