《小学三年级奥数17数阵图.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小学三年级奥数17数阵图.pdf(7页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、小学三年级奥数17 数阵图 本教程共30 讲 第 17 讲 数阵图 ( 二) 上一讲我们讲了仅有一个 “重叠数” 的辐射型数阵图的填数问题,这 一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。 例 1 将 18 这八个数分别填入右图的中,使两个大圆上的五个数之和 都等于 21。 分析与解: 中间两个数是重叠数, 重叠次数都是 1 次,所以两个重叠数之 和为 212-(1+2+ +8)=6。 在已知的八个数中,两个数之和为6 的只有 1 与 5,2 与 4。每个大 圆上另外三个数之和为21-6=15。 如果两个重叠数为1 与 5,那么剩下的六个数2,3,4,6,7,8 平 分为两组,每组三数之和为15
2、 的只有 2+6+7=15和 3+4+8=15 , 故有左下图的填法。 如果两个重叠数为2 与 4,那么同理可得上页右下图的填法。 例 2 将 16 这六个自然数分别填入右图的六个内,使得三角形每条边 上的三个数之和都等于11。 分析与解: 本题有三个重叠数,即三角形三个顶点内的数都是重叠数, 并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于 113-(1+2+ +6)=12。 16 中三个数之和等于12的有 1,5,6;2,4,6;3,4,5。 如果三个重叠数是1, 5, 6, 那么根据每条边上的三个数之和等于11, 可得左下图的填法。容易发现,所填数不是16,不合题意。 同理,三个重叠数也不能是3,
3、4,5。 经试验,当重叠数是2,4,6 时,可以得到符合题意的填法( 见右上 图)。 例 3 将 16 这六个自然数分别填入右图的六个中,使得三角形每条边 上的三个数之和都相等。 分析与解:与例 2 不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠 数都重叠了一次,由 (1+2+6)+重叠数之和 =每边三数之和 3,得到每 边的三数之和等于 (1+2+ +6)+重叠数之和 3 =(21+重叠数之和 ) 3 =7+重叠数之和 3。 因为每边的三数之和是整数, 所以重叠数之和应是3 的倍数。考虑到 重叠数是 16 中的数,所以三个重叠数之和只能是6,9,12 或 15,对 应的每条边上的三数之和就
4、是9,10,11 或 12。 与例 2 的方法类似,可得下图的四种填法: 每边三数之和 =9 每边三数之和 =10 每边三数之和 =11 每边三数之和 =12 例 4 将 29 这八个数分别填入右图的里,使每条边上的三个数之和都 等于 18。 分析与解: 四个角上的数是重叠数, 重叠次数都是 1 次。所以四个重叠数 之和等于 184-(2+3+ +9)=28。 而在已知的八个数中,四数之和为28 的只有: 4+7+8+9=28或 5+6+8+9=28 。 又由于 18-9-8=1 ,1 不是已知的八个数之一,所以,8 和 9 只能填对 角处。由此得到左下图所示的重叠数的两种填法: “试填”的结
5、果,只有右上图的填法符合题意。 以上例题都是封闭型数阵图。 一般地,在 m边形中,每条边上有 n 个数的形如下图的图形称为封闭 型 m-n图。 与“辐射型 m-n图只有一个重叠数,重叠次数是m-1”不同的是,封 闭型 m-n 图有 m个重叠数,重叠次数都是1 次。 对于封闭型数阵图,因为重叠数只重叠一次,所以 已知各数之和 +重叠数之和 =每边各数之和边数。 由这个关系式,就可以分析解决封闭型数阵图的问题。 前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图,虽然大多数数阵问题要 比它们复杂些,但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析,就能解决很多数阵 问题。 例 5 把 17 分别填入左下图中的七个空块里,使每
6、个圆圈里的四个数之 和都等于 13。 分析与解: 这道题的“重叠数”很多。有重叠2 次的( 中心数,记为 a) ; 有重叠 1 次的( 三个数,分别记为b,c,d) 。根据题意应有 (1+2+7)+a+a+b+c+d=13 3, 即 a+a+b+c+d=11。 因为 1+2+3+4=10 ,11-10=1,所以只有 a=1,b,c,d 分别为 2,3,4 才符合题意,填法见右上图。 练习 17 1. 把 18 填入下页左上图的八个里,使每个圆圈上的五个数之和 都等于 20。 2. 把 16 这六个数填入右上图的里,使每个圆圈上的四个数之和 都相等。 3. 将 18 填入左下图的八个中,使得每条
7、边上的三个数之和都等 于 15。 4. 将 18 填入右上图的八个中,使得每条直线上的四个数之和与 每个圆周上的四个数之和都相等。 5. 将 17 填入右图的七个,使得每条直线上的各数之和都相等。 6. 把 1,3,5,7,9,11,13分别填入左图中的七个空块中,使得每 个圆内的四个数之和都等于34。 答案与提示 练习 17 每个圆周的四数之和 =12每个圆周的四数之和 =13 每个圆周的四数之和 =14 每个圆周的四数之和 =15每个圆周的四数之和 =16 3. 提示:四个顶点数之和为154(1 2 8)=24,四个顶点数 有 3,6,7,8 和 4,5,7,8 两种可能。经试验只有左下图一个解。 4. 提示:每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于 (12 8) 718。 填法见右上图。 ( 填法不唯一 ) 5. 提示:顶上的数重叠2 次,其它数都重叠1 次。 (1 2 7)2顶上数 =每条线上的和 5, 56顶上数 =每条线上的和 5。 由上式等号左端是5 的倍数,推知“顶上数” =4。所以每条线上的三 个数之和为 (564) 512。 经试验填法如上图。 (填法不唯一 ) 6. 与例 5 类似(见上图 ) 。
链接地址:https://www.31doc.com/p-5125638.html