数学分析三试卷及答案.pdf
《数学分析三试卷及答案.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学分析三试卷及答案.pdf(6页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、数学分析 ( 三)参考答案及评分标准 一. 计算题(共 8 题,每题 9 分,共 72 分) 。 1.求函数 3 3 11 ( , )sinsinfx yxy yx 在点(0,0) 处的二次极限与二重极限. 解: 33 33 11 ( , )sinsinf x yxyxy yx , 因此二重极限为 0 . (4 分) 因为 3 3 0 11 limsinsin x xy yx 与 3 3 0 11 limsinsin y xy yx 均不存在, 故二次极限均不存在。(9 分) 2.设 ( ), ( ) yy x zz x 是由方程组 (), ( , , )0 zxf xy F x y z 所确
2、定的隐函数 , 其中f和 F 分别 具有连续的导数和偏导数 , 求 dz dx . 解: 对两方程分别关于x求偏导 : , (4 分) 。 解此方程组并整理得 ()()() () yyx yz Ff xyxfxy FF dz dxFxfxy F . (9 分) 3.取,为新自变量及( , )wwv为新函数,变换方程 22 2 zzz z xx yx 。 设, 22 yxyxy wze(假设出现的导数皆连续). 解:z看成是, x y的复合函数如下: ,( , ), 22 y wxyxy zww e 。 (4 分) 代人原方程,并将, ,x y z变换为, ,w 。整理得: 22 2 2 ww
3、w。(9 分) 4.要做一个容积为 3 1m的有盖圆桶 , 什么样的尺寸才能使用料最省? 解: 设圆桶底面半径为r, 高为 h, 则原问题即为: 求目标函数在约束条件下的 最小值,其中 目标函数 : 2 22Srhr 表 , ()()(1) 0 xyz dzdy f xyxfxy dxdx dydz FFF dxdx 约束条件 : 2 1r h。 (3 分) 构造 Lagrange 函数: 22 ( , ,)22(1)F r hrhrr h。 令 2 2420, 20. r h Fhrrh Frr (6 分) 解得2hr ,故有 33 14 ,. 2 rh由题意知问题的最小值必存在,当底面半
4、径为 3 1 , 2 r高为 3 4 h时,制作圆桶用料最省。 (9 分) 5.设 3 2 2 ( ) y x y y Fyedx, 计算 ( )Fy. 解:由含参积分的求导公式 33 2222 32 22 22 ( )32 yy x yx yx yx y xyxy yy y Fyedxx edxy eye(5 分) 3 275 2 22 32 y x yyy y x edxy eye 3 752 2 2751 222 y yyx y y y eyeedx y 。(9 分) 6.求曲线 2 22 222 xyxy abc 所围的面积,其中常数, ,0a b c. 解:利用坐标变换 cos ,
5、sin . xa yb 由于0xy,则图象在第一三象限,从而可 以利用对称性,只需求第一象限内的面积。 2 ,0,0sincos 2 ab c 。(3 分) 则 ( , ) 2 ( , ) x y Vdd 1 2 2 sincos 2 00 2 ab c dab d(6 分) 22 2 2 0 sincos a b d c 22 2 2 a b c . (9 分) 7. 计 算 曲线 积 分352 L zdxxdyydz , 其 中 L 是 圆 柱 面 22 1xy与 平 面 3zy的交线(为一椭圆),从z轴的正向看去,是逆时针方向. 解: 取平面3zy上由曲线 L 所围的部分作为Stokes
6、 公式中的曲面,定 向为上侧,则的法向量为 11 cos ,cos,cos0, 22 。(3 分) 由 Stokes 公式得 352 L zdxxdyydz coscoscos 352 dS xyz zxy 2dS(6 分) 22 1 22 xy dxdy 2(9 分) 8. 计算积分 S yzdzdx, S为椭球 222 222 1 xyz abc 的上半部分的下侧 . 解:椭球的参数方程为sincos ,sinsin,cosxaybzc,其中 02 ,0, 2 且 2 ( , ) sinsin ( , ) z x ac。(3 分) 积分方向向下,取负号,因此, yzdzdx 2 232 2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学分析 试卷 答案
链接地址:https://www.31doc.com/p-5127498.html