《数学分析(2)期末试题.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学分析(2)期末试题.pdf(10页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、数学分析( 2)期末试题 课程名称数学分析()适用时间 试卷类别1 适用专业、年级、班应用、信息专业 一、单项选择题 (每小题 3 分,3618 分) 1、 下列级数中条件收敛的是() A 1 ( 1) n n B 1 ( 1) n nn C 2 1 ( 1) n nn D 1 1 (1) n nn 2、 若f是(,)内以 2为周期的按段光滑的函数 , 则f的傅里叶(Fourier)级数在 它的间断点x处 () A收敛于( )f xB收敛于 1 (0)(0) 2 f xf x C 发散D可能收敛也可能发散 3、函数)(xf在,ba上可积的必要条件是() A有界B连续C单调D存在原 函数 4、设
2、( )f x的一个原函数为 ln x,则( )fx( ) A 1 x BlnxxC 2 1 x D x e 5、已知反常积分 2 0 (0) 1 dx k kx 收敛于 1,则 k() A 2 B 2 2 C 2 D 2 4 6、 231 ln(ln)(ln)( 1)(ln) nn xxxx收敛,则() AxeBxeCx为任意实数D 1 exe 二、填空题 (每小题 3 分,3618 分) 1、已知幂级数 1 n n n a x在2x处条件收敛,则它的收敛半径为 2、 若数项级数 1 n n u的第n个部分和 2 1 n n S n , 则其通项 n u, 和 S 3、曲线 1 y x 与直线
3、1x,2x及x轴所围成的曲边梯形面积为 4、已知由定积分的换元积分法可得, 1 0 ()( ) b xx a e f e dxf x dx,则a,b 5、数集( 1)1, 2 , 3, 1 n n n n 的聚点为 6、函数 2 ( ) x f xe 的麦克劳林( Maclaurin)展开式为 65 三、计算题 (每小题 6 分,6530 分) 1、 (1) dx xx 2、 2 lnxx dx 3、 22 0 (0) a axdxa4、 2 0 0 cos lim sin x x t dt x 5、 2 0 1sin2x dx 四、解答题 (第 1 小题 6 分,第 2、3 小题各 8 分,
4、共 22 分) 1、讨论函数项级数 2 1 sin n nx n 在区间(,)上的一致收敛性 2、求幂级数 1 n n x n 的收敛域以及收敛区间内的和函数 3、设( )f xx, 将f在(,)上展为傅里叶( Fourier)级数 五、证明题 (每小题 6 分,6212 分) 1、已知级数 1 n n a与 1 n n c都收敛,且 , 1, 2, 3 nnn abcn, 证明:级数 1 n n b也收敛 2、证明: 22 0 0 sincos nn x dxx dx 66 试题参考答案与评分标准 课程名称数学分析 () 适用时间 试卷类别1 适用专业、年级、班应用、信息专业 一、单项选择题
5、 (每小题3分, 3618 分) B B A C D D 二、填空题 (每小题3 分, 3618 分) 2 2 ,=2 (1) n uS n n ln 2 1,abe1 2 0 1 ,(,) ! n n xx n 三、计算题 (每小题6 分, 6530 分) 1.解 111 (1)1xxxx 1 (1)dxxx (3 分) 11 () 1 dx xx lnln 1.xxC (3 分) 2.解由分部积分公式得 23 1 lnln 3 xxdxxdx 3311 lnln 33 xxx dx(3 分) 33 111 ln 33 xxxdx x 32 11 ln 33 xxx dx 3311 ln 3
6、9 xxxC(3 分) 3.解令sin ,0, 2 xat t 由定积分的换元积分公式,得 22 0 a ax dx 22 2 0 cosatdt(3 分) 67 2 2 0 (1cos2 ) 2 a t dt 2 2 0 1 (sin 2 ) 22 a tt 2 . 4 a (3 分) 4.解由洛必达 (LHospital) 法则得 2 0 0 cos lim sin x x tdt x 2 0 cos lim cos x x x ( 4 分) 0 limcos x x 1 (2 分) 5.解 2 0 1 sin2xdx 2 2 0 (sincos )xxdx(2 分) 2 0 sincos
7、xxdx 42 0 4 (cossin )(sincos )xx dxxx dx(2 分) 2 4 0 4 (sincos )(sincos )xxxx 222.(2 分) 四、解答题 (第 1 小题 6 分,第 2、3 小题各 8 分,共 22 分) 1.解(,),xn+(正整数) 22 sin1nx nn (3 分) 而级数 2 1 1 n n 收敛,故由M 判别法知, 2 1 sin n nx n 在区间(,)上一致收敛(3 分) 68 2.解幂级数 1 n n x n 的收敛半径 1 1 1 lim n n R n , 收敛区间为( 1,1)(2 分) 易知 1 n n x n 在 1
8、x 处收敛,而在 1x 发散, 故 1 n n x n 的收敛域为 1,1)(2 分) 0 1 ,( 1, 1) 1 n n xx x (2 分) 逐项求积分可得 00 0 1 ,( 1,1) 1 xx n n dtt dtx t 即 1 01 ln(1),( 1,1). 1 nn nn xx xx nn (2 分) 3.解 函数f及其周期延拓后的图形如下 函数f显然是按段光滑的, 故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。(2 分) 由于( )f x在(,)为奇函数, 故0,0, 1, 2, n an, 而 1 sin 11 coscos n bxnxdx xnxnxdx nn 1
9、( 1)2 n n (4 分) 所以在区间(,)上, 1 1 sin ( )2( 1). n n nx f xx n (2 分) 69 五、证明题 (每小题5 分, 5210 分) 1.证明由 1 n n a 与 1 n n c 都收敛知, 级数 1 () nn n ca 也收敛。(1 分) 又由, 1, 2, 3 nnn abcn, 可知,0,1,2,3, nnnn bacan 从而由正项级数的比较判别法知 1 () nn n ba 收敛,(2 分) 于是由(),1,2,3, nnnn bbaan 知级数 1 n n b 收敛(2 分) 2. 3.证明令 2 xt,则 2 tx. (1 分) 由定积分的换元积分公式,得 0 2 0 2 sinsin () 2 nn xdxt dt (2 分) 22 00 sin ()cos 2 nn t dttdt 2 0 cos n xdx(2 分) 70
链接地址:https://www.31doc.com/p-5127501.html