数学培优竞赛新方法(九年级)-第11讲-代数最值.pdf
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1、第 11 讲代数最值 知识纵横 在生活实践中,人们经常面对带有“最字的问题,如在一定的方案中,花费最低、消耗 最少、 产值最高、获利最大等;解数学题时, 我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值 之类的问题,这就是我们要讨论的最值问题,求最值问题的方法归纳起来有如下几点; 1.运用配方法求最值 2.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值 3.建立函数模型求最值 4.利用基本不等式或不等式分析法求最值 例题求解 【例 1】实数 x、y 满足062 22 yxx,则xyx2 22 的最大值是 (江苏省竞赛题) 思路点拨解题的关键是由0 2 y可得 x 取值的隐含制约。 【例 2】分
2、式 22 22 116 51305 yxyx yxyx 的最小值为() A、-5 B、-3 C、5 D、3 (太原市竞赛题) 思路点拨原式 = 22 2 116 4 5 yxyx y 。 【例 3】 (1)设 a、b 为实数,求代数式bababa2 22 的最小值。 (全国初中数学联赛题) (2)实数 x、 y、z 满足 5zyx , 3xzyzxy ,求 z 的最大值。 (全国初中数学联赛题) 思路点拨对于( 1) ,引入参数设tbababa2 22 ,将等式整理成关于a 的二次 方程0)2()1( 22 tbbaba,利用判别式求最小值,对于(2) ,zyx5, 35)5(3)(3 2 z
3、zzzyxzxy,运用韦达定理构造方程。 【例 4】 (1)已知 2 1 1xxy的最大值为a,最小值为b,则 22 ba的值。 (2011 年数学周报杯全国初中数学竞赛题) (2)求使 16)8(4 22 xx 取得最小值的实数x 的值。 (全国初中数学竞赛题) 思路点拨解与二次根式相关的最值问题,除了利用函数增减性、配方法等基本方法外,还 有下列常用方法:平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等。 【例 5】已知1 22 ba,对于满足条件1yx,0xy的一切实数对(x,y) ,不等式 0 22 bxxyay恒成立,当乘积ab 取最小值时,求a、b 的值。 (全国初中数学联赛题) 分
4、析将 y=1-x 代入不等式得:0)12()1( 2 axaxba,此不等式对于满足条件 的实数对( x,y)恒成立,于是将问题转化为探讨二次函数图象位置需满足的条件。 解由1yx,0xy知10, 10yx。 令 x=0,y=1,得 0a ;令 x=1 , y=0,得 0b ,从而 01ba , 1 12 12 0 ba a 。 故二次函数axaxbay)12()1( 2 的图象的开口向上,且顶点的横坐标在0 和 1 之间。 又原不等式对于满足条件10x的一切实数x 恒成立。 所以)1 (4) 12( 2 baa0a,即 4 1 ab 由 4 1 1 22 ab ba 得 4 26 4 26
5、b a 或 4 26 4 26 b a 离散最值 【例 6】已知 a、b、c 为正整数,且 222 cba,求 c 的最小值。 (全国初中数学竞赛题) 分析与解若取 22 2 bac bac ,则 2 12bb c,由小到大考察b,使 2 1bb 为完全平方 数,当 b=8 时,36 2 c,则 c=6 ,从而 a=28 ,下表说明c 没有比 6 更小的正整数解。显 然,表中 34 xc的值均不是完全平方数,故c 的最小值为6. c 4 c )( 433 cxx 34 xc 2 16 1,8 17,8 3 81 1,8,27,64 80,73,54,17 4 256 1,8,27,64,125
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