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1、第 1 页 绝密启用前 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(江苏卷) 参考公式: n 次独立重复试验恰有k次发生的概率为:()(1) kknk nn PkCpp 一、选择题:本大题共10 小题,每小题5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,恰有 一项 是符合题目要求的。 1下列函数中,周期为 2 的是( D) Asin 2 x yB sin 2yx Ccos 4 x yD cos 4yx 解析:利用公式 2 T即可得到答案D。 2已知全集UZ, 2 1, 0,1, 2,|ABxxx,则 U ACB为( A) A1, 2B1, 0C0,1D1, 2 解析:求B=1 ,0 可求
2、 U ACB=1, 2选 A 3在平面直角坐标系xO y中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为 20xy,则它的离心率为(A) 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共4 页,包含选择题(第1 题第10 题,共 10 题) 、填空题(第11 题第 16 题,共 6 题) 、解答题 (第 17 题第 21 题,共 5 题)三部分。 本次考试时间为120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2、答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔填写在 试卷及答题卡上。 3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号
3、是否与您本人的相符。 4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其 它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。 5、如有作图需要,可用2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。 第 2 页 A5B 5 2 C3D2 解析:由ab b a 2 2 1 得abac5 22 ,5 a c e选 A 4已知两条直线,m n,两个平面 , ,给出下面四个命题: (C) /,mn mn/,/mnmn /,/mn mn/,/,mn mn 其中正确命题的序号是 ABCD 解析:用线面垂直的性
4、质和面面平行的性质可判断正确,中m,n 可以平行或异面 中 n 可以在内选 C 5函数 ()sin3 cos(,0)fxxx x 的单调递增区间是(D) A 5 , 6 B 5 , 66 C, 0 3 D,0 6 解析:) 3 sin(2)(xxf因 3 , 3 4 3 x故 3 , 2 1 3 x 得0, 6 1 x选 D 6设函数 ()fx 定义在实数集上,它的图像关于直线1x对称,且当1x时, ()31 x fx , 则有( B) A 132 ()()() 323 fffB 231 ()()() 323 fff C 213 ()()() 332 fffD 321 ()()() 233 f
5、ff 解析:利用对称性,三点到直线1x距离越远越大 7若对于任意实数x ,有 323 0123 (2)(2)(2)xaaxaxax,则 2 a 的值为( B) A3B6C9D12 解析: 33 )2(2xx62 2 32 Ca选 B 8设 2 ()lg() 1 fxa x 是奇函数,则使()0fx的 x 的取值范围是(A) A(1, 0)B(0,1)C(,0)D(, 0)(1,) 第 3 页 解析:由10)0(af得0 1 1 lg)( x x xf得 1 1 1 0 1 1 x x x x 01x选 A 9已知二次函数 2 ()fxaxbxc的导数为 ()fx , (0)0f ,对于任意实数
6、x 都有 ()0fx ,则 (1) (0) f f 的最小值为(C) A3B 5 2 C2D 3 2 解析:0(0)f2)( bbaxxf对于任意实数x都有()0fx得 04b04b0 22 cacaca 2111 2 1 )0( ) 1( b ac b ca b cba f f 当取 a=c 时取等号。选 C 10在平面直角坐标系 xOy ,已知平面区域 (,) |1,Ax yxy 且 0,0xy ,则平面区 域(,) | (,)Bxy xyx yA的面积为( B) A2B1C 1 2 D 1 4 解析:令 0 0 1 vu vu u yxv yxu 作出区域是等腰直角三角形,可求出面积11
7、2 2 1 s 选 B 二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分。不需要写出解答过程,请把答案直接 填空在答题卡相应位置上 。 11若 13 cos(), cos() 55 ,.则tantan1/2. 解析: 5 1 sinsincoscos)cos 5 3 sscoco)co 求出 5 1 sinsin 5 2 coscos 2 1 c o sc os si ns i n t ant a n 12某校开设9 门课程供学生选修,其中,A B C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校 第 4 页 规定每位同学选修4 门,共有75种不同选修方案。 (用数值作答) 解析:按照选一门或
8、一门都不选分类:75 4 6 0 3 3 6 1 3 CCCC 13 已知 函 数 3 ()128fxxx 在 区间 3, 3 上 的 最 大值 与 最小 值分 别为 ,Mm , 则 Mm32. 解析:)4(3123)( 22 xxxf递减,递增在,在223223)( xf 8)2(,24)2(fNfM 得Mm32 14正三棱锥PABC高为 2,侧棱与底面所成角为 45 ,则点A到侧面PBC的距离是 6 5 5 . 解析:设P 在 底面 ABC 上的射影为O,则 PO=2,且 O 是三角形ABC 的中心,设底面边长 为 a,则322 2 3 3 2 aa设侧棱为b 则22b斜高5h。由面积法求
9、 A到侧面 PBC的距离 5 56 5 232 2 3 h 15 在 平面 直 角坐 标 系 xOy 中 , 已知ABC顶 点 (4 , 0 )A 和 (4, 0)C , 顶 点B在 椭 圆 1 925 22 yx 上,则 sinsin sin AC B 5/4. 解析:利用椭圆定义和正弦定理得1052cab=2*4=8 sinsin sin AC B4 5 8 10 b ca 16 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm, 秒针均匀地绕点O旋转,当时间0t时, 点A与钟面上标1 2的点B重合,将,A B两点的距离()d cm表示成()t s的函数,则d 1 0s i n 60 t ,其中
10、0, 60t。 解析: 30 2 60 tt AOB 60 sin10 2 sin52 tAOB d 三、解答题:本大题共5 小题,共70 分。请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 17 (本小题满分12 分)某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后面 第 2 位) (1) 5 次预报中恰有2 次准确的概率; (4 分) (2) 5 次预报中至少有2 次准确的概率; (4 分) (3) 5 次预报中恰有2 次准确,且其中第3次预报准确的概率; (4 分) 第 5 页 解: ( 1) 23 2 5 44161 1100.05 5525125
11、pC (2) 4 1 5 44 1110.00640.99 55 PC (3) 3 1 4 444 10.02 555 PC 18 (本小题满分12 分)如图,已知 1111 ABCDA B C D 是 棱长为3 的正方体,点E在 1 AA 上,点F在 1 CC 上,且 1 1AEFC, (1)求证: 1 ,EB FD四点共面;(4 分) (2)若点G在BC上, 2 3 BG,点M在 1 BB 上, G MBF,垂足为H,求证:EM面 11 BCC B ; (4 分) (3)用表示截面 1 EBFD和面 11 BCC B 所成锐二面角大小,求tan。 (4 分) 解: ( 1)证明:在DD 1
12、 上取一点N 使得 DN=1 ,连接 CN,EN,显然四边形CFD 1 N 是平行四 边形,所以D 1F/CN ,同理四边形 DNEA 是平行四边形,所以EN/AD ,且 EN=AD ,又 BC/AD ,且 AD=BC ,所以 EN/BC , EN=BC,所以四边形CNEB 是平行四边形,所以 CN/BE,所以 D 1 F/BE,所以 1 ,EBFD四点共面。 (2)因为G MBF所以BC FMBG ,所以 M BBG BCC F ,即 2 3 32 M B ,所以 MB=1, 因为 AE=1,所以四边形ABME 是矩形,所以EM BB 1 又平面 ABB 1 A 1平面 BCC1 B 1 ,
13、且 EM 在平面 ABB 1A1 内,所以EM面 11 BCC B (3)EM面 11 BCC B ,所以EMBF,EMMH ,G MBF,所以 MHE 就是截面 1 EBFD和面 11 BCC B 所成锐二面角的平面角,EMH=90,所以tan M E M H ,ME=AB=3 , BCFMHB ,所以3: MH=BF : 1, BF= 22 2313 ,所以MH= 3 13 ,所以 1 D 1 A A B C D 1 C 1 B M E F H G 第 6 页 tan M E M H =13 19、 (本小题满分14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 过y轴正方向上一点(0,)Cc
14、任作一直线,与抛物线 2 yx 相交于AB两点,一条垂直于x 轴的直线,分别与线段AB 和直线:lyc交于,P Q, (1)若2OAOB,求 c 的值; ( 5 分) (2)若P为线段AB的中点,求证:Q A为此抛物线的切 线; ( 5 分) (3)试问( 2)的逆命题是否成立?说明理由。(4 分) 解: ( 1)设过C 点的直线为ykxc,所以 2 0xkxc c,即 2 0xkxc,设 A 1122 ,xyBxy, OA = 11 ,xy, 22 ,OBxy,因为2OAOB,所以 1212 2x xy y,即 1212 2x xkxckxc, 22 121212 2x xk x xkcxx
15、c 所以 22 2ck ckc kc,即 2 20,cc 所以21cc舍 去 ( 2 ) 设 过Q的 切 线 为 111 yykxx, / 2yx, 所 以 11 2kx, 即 22 11111 222yx xxyx xx, 它 与yc的 交 点 为M 1 1 , 22 xc c x , 又 2 1212 , 2222 xxyykk Pc,所以Q, 2 k c ,因为 12 x xc,所以 2 1 c x x ,所 以 M 12 , 222 xxk cc,所以点 M 和点 Q 重合,也就是QA 为此抛物线的切线。 (3) (2)的逆命题是成立,由(2)可知 Q, 2 k c ,因为 PQx 轴
16、,所以, 2 P k Py 因为 12 22 xxk ,所以 P 为 AB 的中点。 20 ( 本 小 题 满 分16分 ) 已 知 n a是 等 差 数 列 , n b是 公 比 为q的 等 比 数 列 , 11221 ,ababa ,记 n S为数列 n b的前 n 项和, (1)若(, km bam k是大于2的正整数),求证: 11 (1) k Sma; (4 分) (2)若 3 ( i bai是某一正整数),求证:q是整数,且数列 n b中每一项都是数列 n a中的 项; ( 8 分) (3)是否存在这样的正数q,使等比数列 n b中有三项成等差数列?若存在,写出一个q的 值,并加以
17、说明;若不存在,请说明理由;(4 分) B A x y O C Q l P 第 7 页 解:设 n a的公差为d,由 11221 ,ababa ,知0,1dq, 1 1daq( 1 0a) (1)因为 km ba,所以 1 111 11 k a qamaq, 1 11121 k qmqmmq , 所以 1 1 1 11 111 1 1 k k aqammq Sma qq (2) 2 3111 ,11 i ba qaaiaq,由 3i ba, 所以 22 111 ,120,qiqqiqi解得, 1q 或 2qi ,但 1q , 所以2qi,因为i是正整数,所以2i是整数,即q是整数,设数列 n
18、b中任意一项为 1 1 n n ba qnN ,设数列 n a中的某一项 m a mN = 11 11amaq 现在只要证明存在正整数m ,使得 nm ba,即在方程 1 111 11 n a qamaq中 m 有 正整数解即可, 1 122 1 111 ,11 1 n nn q qmqmqqq q ,所以 22 2 n mqqq, 若1i, 则1q, 那么 2111,222nn bba bba,当3i时, 因为 1122 ,abab,只要考虑3n的情况,因为 3i ba,所以3i,因此q是正整数, 所以 m 是正整数,因此数列 n b中任意一项为 1 1 n n ba qnN与数列 n a的
19、第 22 2 n qqq项相等,从而结论成立。 (3)设数列 n b中有三项, mnp bbbmnp m npN 成等差数列,则有 2 111 111 , nmp a qa qa q设,nmxpnyx yN, 所 以2 1y x q q , 令 1 ,2xy ,则 3 210,qq 2 110qqq ,因为 1q ,所以 2 10qq , 所以 51 2 q舍 去 负 值,即存在 51 2 q使得 n b中有三项 13 , mmm bbbmN 成等差数列。 21 (本小题满分16 分)已知,a b c d是不全为0的实数,函数 2 ()fxbxcxd, 32 ()gxaxbxcxd,方程()0
20、fx有实根,且()0fx的实数根都是()0gfx 的根,反之,()0gfx的实数根都是()0fx的根, (1)求d的值; (3 分) (2)若0a,求 c 的取值范围; (6 分) (3)若1,(1)0af,求 c 的取值范围。(7 分) 解 ( 1) 设 0 x是0fx的根,那么 0 0fx, 则 0 x是()0gfx的根,则 0 0,gfx 即00g,所以0d。 (2)因为0a,所以 22 ,fxbxcx gxbxcx ,则()gfxfxbfxc = 222 bxcxbxbcxc=0 的根也是0fxx bxc的根。 (a)若0b,则0c,此时0fx的根为 0,而()0gfx的根也是0,所以
21、0c, 第 8 页 (b)若0b,当0c时,0fx的根为 0,而()0gfx的根也是0,当0c时, 0fx的根为 0 和 c b ,而0bfxc的根不可能为0 和 c b ,所以0bfxc必 无实数根,所以 2 2 40,bcb c所以 2 40, 04ccc,从而 04c 所以当0b时,0c;当0b时,04c。 (3)1,(1)0af,所以0bc,即0fx的根为 0 和 1, 所以 2 22 cxcxccxcxc=0 必无实数根, (a)当0c时,t= 2 cxcx= 2 1 244 cc cx,即函数 2 h ttctc 在 4 c t, 0ht恒成立,又 2 2 2 24 cc h ttctctc ,所以 min 0 4 c hth ,即 22 0, 164 cc c所以 16 0 3 c; (b)当0c时,t= 2 cxcx= 2 1 244 cc cx,即函数 2 h ttctc 在 4 c t, 0ht恒成立,又 2 2 2 24 cc h ttctctc ,所以 min 0 2 c h th , 2 4 c c0,而0c,所以 2 4 c c0,所以 c 不可能小于0, (c)0,c则0,b这时0fx的根为一切实数,而 0gfx ,所以0,c符合要 求。 所以 16 0 3 c
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