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1、第 1 页 绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数 学 本试卷分第I 卷(填空题)和第II 卷(解答题)两部分考生作答时,将答案答在答题卡上, 在本试卷上答题无效考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 注意事项: 1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上 2选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚 3请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效 4保
2、持卡面清洁,不折叠,不破损 5作选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标 号涂黑 参考公式: 样本数据 1 x, 2 x, n x的标准差锥体体积公式 222 12 1 ()()() n sxxxxxx n 1 3 VSh 其中x为样本平均数其中S为底面面积、h为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 VSh 2 4SR, 3 4 3 VR 其中S为底面面积,h为高其中R为球的半径 一、填空题:本大题共14 小题,每小题5 分,共 70 分 1) 6 cos()(xxf最小正周期为 5 ,其中0,则 2一个骰子连续投2 次,点数和为4 的概率 3),( 1 1
3、Rbabia i i 表示为的形式,则ba= 473)1( 2 xxxA,则集合AZ中有个元素 5ba,的夹角为120,1,3ab ,则5ab 6在平面直角坐标系xoy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域, E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域, 向D中随机投一点, 则落入E中的概率 第 2 页 7某地区为了解7080 岁老人的日平均睡眠时间(单位:h) ,现随机地选择50 位老人做调 查,下表是50 位老人日睡眠时间频率分布表: 序号 (i) 分组 睡眠时间 组中值 (Gi) 频数 (人数) 频率 (Fi) 1 4,5)4.5 6 0.12 2 5,6)5.5 10
4、 0.20 3 6,7) 6.5 20 0.40 4 7,8)7.5 10 0.20 5 8,9 8.5 4 0.08 在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图, 则输出的S 的值为 8直线bxy 2 1 是曲线ln(0)yx x的一条切线, 则实数 b 的值为 9在平面直角坐标系中,设三角形ABC的顶点分别为 )0 ,(),0 ,(),0(cCbBaA,点 P(0,p)在线段 AO 上(异 于端点),设pcba,均为非零实数,直线CPBP,分别 交ABAC,于点FE,,一同学已正确算的OE的方程:0 1111 y ap x cb ,请你求 OF的方程:( )0 11 y ap x 10
5、将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的规律,第n 行(3n)从左向右的第3 个数为 11 2 * , ,230, y x y zRxyz xz 的最小值为 12在平面直角坐标系中,椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦距为2,以 O 为圆心,a为半径 的圆,过点0, 2 c a 作圆的两切线互相垂直,则离心率e= 13若BCACAB2, 2,则 ABC S 的最大值 1413)( 3 xaxxf对于1 , 1x总有0)(xf成立,则a= 开始 S0 输入 Gi,Fi i1 S SGiFi i5 i i1
6、 N Y 输出 S 结束 第 3 页 二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15 ( 14 分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角,,它们的终边 分别与单位圆相交于A、B 两点,已知A、B 的横坐标分别为 5 52 , 10 2 (1)求)tan(的值;(2)求2的值。 16 ( 14 分)在四面体ABCD中,BDADCDCB,,且 E、 F 分别是 AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线 EF/面 ACD (2)面 EFC面 BCD 17 ( 14 分)某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20
7、 km,BC=10 km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界) ,且 A、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO 、BO、OP,设排污管 道的总长为ykm。 (1)按下列要求写出函数关系式: 设 BAO= (rad),将 y 表示成 的函数关系式; 设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度 最短。 B C A F D E B C D A O P x y O A B 第 4 页 18 ( 16 分)设平面直角坐标系xoy 中,设二次函数 2 ( )
8、2()f xxxb xR的图像与两坐 标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C。求: (1)求实数b 的取值范围 (2)求圆 C 的方程 (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论。 19 (16 分) (1)设 n aaa, 21 是各项均不为零的等差数列( 4n ) ,且公差 0d ,若将此 数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: 当4n时,求 d a1 的数值;求 n的所有可能值; ( 2)求证:对于一个给定的正整数)4(nn,存在一个各项及公差都不为零的等差数列 n bbb, 21 ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。 20. (16
9、分) 若 12 12 ( )3,( )2 3 xpxp fxfx,xR, 12 ,p p为常数,且 )()(),( )()(),( )( 212 211 xfxfxf xfxfxf xf (1)求)()( 1 xfxf对所有实数x成立的充要条件(用 21, p p表示) (2)设ba,为两实数,ba且),(, 21 bapp若)()(bfaf 求证:)(xf在区间ba,上的单调增区间的长度和为 2 ab (闭区间nm,的长度定义为 mn) 第 5 页 卷 2 21 (选做题)从A,B, C,D 四个中选做2 个,每题10 分,共 20 分 A选修 41几何证明选讲 如图,设 ABC 的外接圆的
10、切线AE 与 BC 的延长线交于点E, BAC 的平分线与BC 交于点 D求证: 2 EDEB EC B选修 42矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中,设椭圆 22 41xy在矩阵A= 20 01 对应的变换作用下得到曲线 F,求 F 的方程 C选修 44参数方程与极坐标 在平面直角坐标系xOy中,点()P xy,是椭圆 2 2 1 3 x y上的一个动点,求Sxy的最 大值 D选修 45不等式证明选讲 设 a,b, c 为正实数,求证: 333 111 2 3abc abc + 必做题 22记动点P 是棱长为1 的正方体 1111 -ABCD ABC D的对角线 1 BD上一点,记 1 1
11、D P D B 当 B C E D A 第 6 页 APC为钝角时,求的取值范围 23请先阅读:在等式 2 cos22cos1xx(xR)的两边求导,得: 2 (cos2 )(2cos1)xx, 由求导法则,得(sin2 ) 24cos(sin)xxx,化简得等式:sin 22cossinxxx ( 1)利用上题的想法(或其他方法),试由等式(1x) n0122 CCCC nn nnnn xxx (xR,正整数2n) ,证明: 1 (1)1 n nx 1 1 C n kk n k kx (2)对于正整数3n,求证: (i) 1 ( 1)C n kk n k k 0; (ii ) 2 1 ( 1
12、)C n kk n k k 0; (iii ) 1 1 121 C 11 nn k n k kn 第 7 页 一、填空题:本大题共1 小题,每小题5 分,共 70 分 1若函数cos()(0) 6 yx最小正周期为 5 ,则. 【解析】本小题考查三角函数的周期公式. 2 10 5 T 【答案】 10 2若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5, 6个点的正方体玩具) , 先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为4 的概率是 【解析】本小题考查古典概型基本事件共6 6 个,点数和为4 的有 (1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个,故 31 6612 P 【答案】 1 12
13、3若将复数 1 1 i i 表示为( ,abi a bR i是虚数单位)的形式,则ab 【解析】 本小题考查复数的除法运算 2 1 1 12 i i i i ,a0,b1,因此 1ab 【答案】 1 4若集合 2 |(1)37,AxxxxR,则AZ中有个元素 【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式由 2 (1)37xx得 2 560xx, ( 1,6)A,因此0,1,2,3,4,5AZ,共有 6 个元素 【答案】 6 5已知向量a和b的夹角为 0 120,| 1,| 3ab ,则|5 |ab 【解析】本小题考查向量的线性运算 22 22 552510ababaa bb = 22 1 2
14、5 110 1 3349 2 ,5ab 7 【答案】 7 6在平面直角坐标系xoy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域, E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域,向D中随机投一 点,则所投点在E中的概率是 【解析】本小题考查古典概型如图:区域D 表示边长为4 的 正方形的内部(含边界),区域E 表示单位圆及其内部,因 此 2 1 4416 P 第 8 页 【答案】 16 7某地区为了解7080岁的老人的日平均睡眠时间(单位:h) ,随机选择了50 位老人进 行调查,下表是这50 位老人睡眠时间的频率分布表: 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图,则输出 的 S
15、的值为 【解析】由流程图 1122334455 SG FG FG FG FG F 4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08 6.42 【答案】 6.42 8设直线bxy 2 1 是曲线)0(lnxxy的一条切线,则实数b的值是 【解析】 本小题考查导数的几何意义、切线的求法 1 y x ,令 11 2x 得2x,故切点 (2, ln2) ,代入直线方程,得,所以b ln21 【答案】 ln21 9如图,在平面直角坐标系xoy中,设三角形ABC的顶点分别为)0,(),0 ,(),0(cCbBaA, 点(0,)Pp在线段 AO 上的一点 (异于端点) ,这里pcba,均
16、为非零实数, 设直线CPBP,分 别与边ABAC,交于点FE,,某同学已正确求得直线OE 的方程为 0 1111 y ap x cb ,请你完成直线OF的方 程:( ) 0 11 y ap x。 【解析】 本小题考查直线方程的求法画草图, 由对称性可 猜想填 11 cb 事实上, 由截距式可得直线AB :1 xy ba , 直线 CP:1 xy cp ,两式相减得 1111 0xy bcpa ,显然直线AB 与 CP 的交点 F 满足此方程,又原点O 也满足此方程,故为所求直线OF 的方程 【答案】 11 cb 序号 i 分组 (睡眠时间) 组中值 ( i G ) 频数 (人数) 频率( i
17、F ) 1 4,5) 4.56 0.12 2 5,6) 5.510 0.20 3 6,7) 6.520 0.40 4 7,8) 7.510 0.20 5 8,9 8.54 0.08 开始 S0 输入 Gi,Fi i1 S SGiFi i5 i i1 N Y 输出 S 结束 A B C x y P O F E 第 9 页 10将全体正整数排成一个三角形数阵: 按照以上排列的规律,第n行(3n)从左向右的第3 个数为 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前n1 行共有正整数12, (n 1)个,即 2 2 nn 个,因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 2 2 nn 3 个,即为 2
18、 6 2 nn 【答案】 2 6 2 nn 11设, ,x y z为正实数,满足230xyz,则 2 y xz 的最小值是 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用由230xyz得 3 2 xz y,代入 2 y xz 得 22 9666 3 44 xzxzxzxz xzxz ,当且仅当x3z时取“” 【答案】 3 12在平面直角坐标系xOy中,椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦距为2c,以 O 为圆心,a为 半径作圆M,若过 2 0 a P c ,作圆M的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为 【解析】设切线PA、PB 互相垂直,又半径OA 垂直于PA,所以 OAP 是等腰
19、直角三角形,故 2 2 a a c ,解得 2 2 c e a 【答案】 2 2 13满足条件BCACAB2,2的三角形ABC的面积的最大值 【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想设BCx,则 AC2x, 1 23 456 78910 1112131415 , 第 10 页 根据面积公式得 ABC S= 2 1 sin1cos 2 ABBCBxB,根据余弦定理得 22222 42 cos 24 ABBCACxx B ABBCx 2 4 4 x x ,代入上式得 ABC S= 22 2 12812 4 1 416 x x x x 由三角形三边关系有 22 22 xx xx 解得2
20、 2 22 22x , 故当 2 2x 时取得 ABC S 最大值 2 2 【答案】2 2 14设函数 3 ( )31()f xaxxxR,若对于任意的1 , 1x都有0)(xf成立,则实数 a的值为 【解析】 本小题考查函数单调性的综合运用若 x0,则不论a取何值,fx0 显然成立; 当 x0 即1,1x时, 3 31fxaxx0 可化为, 23 31 a xx 设 23 31 g x xx ,则 4 3 12x gx x , 所以g x在区间 1 0, 2 上单调递增,在区间 1 ,1 2 上单调递减,因此 max 1 4 2 g xg ,从而a4; 当 x0 即1,0时, 3 31fxa
21、xx 0 可化为a 23 31 xx , 4 3 12x gx x 0 g x在区间1,0上单调递增,因此 ma 14 n g xg,从而a 4,综上a4 【答案】 4 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域 内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个 锐角,它们的终边分别交单位圆于AB,两点已知 AB, 两点的横坐标分别是 2 10 , 2 5 5 (1)求tan()的值; (2)求2的值 B A x y O 第 11 页 A B C D E F 【试题解析】先由已知条件得 22 5 cos,cos
22、 105 ,第 (1)问求tan()的值,运 用正切的和角公式;第(2)问求2的值,先求出tan(2)的值,再根据范围确定角 的值。 【标准答案】 (1)由已知条件即三角函数的定义可知 22 5 cos,cos 105 , 因为锐角,故sin0,从而 2 72 sin1cos 10 同理可得 2 5 sin1 cos 5 ,因此 1 tan7,tan 2 . 所以tan()= 1 7 tantan 2 3 1 1tantan 17 2 ; (2) 1 3 2 tan(2 )tan()1 1 1( 3) 2 , 3 0,0,02, 222 又故 从而由tan(2)1得 3 2 4 . 16如图,
23、在四面体ABCD中,CBCDADBD,点EF,分别是ABBD,的中点 求 证: (1)直线/EF面ACD; (2)平面EFC面BCD 【试题解析】第1 问根据线面平行关系的判定定理,在面 ACD内找一条直线和直线EF 平行即可,第2 问,需在其中 一个平面内找一条直线和另一个面垂直,由线面垂直推出面面 垂直。 【标准答案】 证明:(1) E,F 分别是ABBD,的中点 EF 是 ABD 的中位线, EF AD , EF面 ACD ,AD面 ACD ,直线EF面 ACD ; (2) AD BD,EFAD , EF BD , CB=CD , F是的中点,CFBD 又 EF CF=F,BD 面 EF
24、C , 第 12 页 B C D A O P BD面 BCD ,面EFC面BCD 17如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的两个顶点A,B 及 CD 的中点 P 处 AB 20km,BC10km为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A, B 等距的一点O 处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,PO记铺设管道 的总长度为ykm (1)按下列要求建立函数关系式: (i)设BAO(rad) ,将y表示成的函数; ( ii ) 设OPx( km ) , 将y表 示 成x的 函 数 ; (2)请你选用( 1)中的一个函数关系确定污水处理厂的 位置,使铺设的污水
25、管道的总长度最短。 【解析】本小题主要考查函数最值的应用 ()由条件知PQ 垂直平分AB ,若 BAO=(rad) ,则 10 coscos AQ OA, 故 10 cos OB,又 OP1010tan, 所以 1010 1010 tan coscos yOAOBOP, 所求函数关系式为 2010sin 10 cos y0 4 若 OP=x(km) ,则 OQ10x,所以 OA =OB= 2 22 101020200xxx 所求函数关系式为 2 220200 010yxxxx ()选择函数模型, 22 10coscos2010sin10 2sin1 coscos sin y 令 y0 得 si
26、n 1 2 ,因为0 4 ,所以= 6 , 当0, 6 时, 0y,y是的减函数;当, 64 时, 0y,y是的增函数, 所以当= 6 时, min 10 10 3y。这时点 P 位于线段AB 的中垂线上, 在矩形区域内且距 离 AB 边 10 3 3 km 处。 18在平面直角坐标系xOy中,记二次函数 2 ( )2f xxxb(xR)与两坐标轴有 三个交点经过三个交点的圆记为C (1)求实数b 的取值范围; (2)求圆C的方程; (3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的无关)?请证明你的结论 第 13 页 解: 本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法 ()令x 0,得抛物线与y轴交
27、点是( 0,b) ; 令 2 20fxxxb,由题意b 0 且0,解得 b1 且 b0 ()设所求圆的一般方程为 2 x 2 0yDxEyF 令y0 得 2 0xDxF这与 2 2xxb 0 是同一个方程,故D2,Fb 令x0 得 2 yEy0,此方程有一个根为b,代入得出E b1 所以圆 C 的方程为 22 2(1)0xyxbyb. ()圆C 必过定点,证明如下: 假设圆 C 过定点 0000 (,)(,)xyxyb不依赖于,将该点的坐标代入圆C 的方程, 并变形为 22 00000 2(1)0xyxyby(*) 为使( *)式对所有满足1(0)bb的b都成立,必须有 0 10y,结合( *
28、)式得 22 0000 20xyxy,解得 00 00 02 11 xx yy , , 或 , 经检验知,点(0,1),(2,0)均在圆 C 上,因此圆C 过定点。 19 ( 1)设 12 , n a aa是各项均不为零的n(4n)项等差数列,且公差0d,若将此 数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列 (i)当4n时,求 1 a d 的数值; (ii)求n的所有可能值 (2)求证:对于给定的正整数n(4n),存在一个各项及公差均不为零的等差数列 12 b b, , , n b,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列 解: ( 1)当 n=4 时, 1234 ,a aa a
29、中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等 比数列,则推出d=0。 若删去 2 a,则 2 314 aa a,即 2 111 (2 )(3 )adaad化简得 1 40ad,得 1 4 a d 若删去 3 a,则 2 214 aaa,即 2 111 ()(3 )adaad化简得 1 0ad,得 1 1 a d 综上,得 1 4 a d 或 1 1 a d 。 当 n=5 时, 12345 ,a aa a a中同样不可能删去 1245 ,a a aa,否则出现连续三项。 若删去 3 a,则 1524 a aa a,即 1111 (4 )() (3 )a adadad化简得 2 30d,因
30、为 0d,所以 3 a不能删去; 第 14 页 当 n6 时,不存在这样的等差数列。事实上,在数列 12321 , nnn a a aaaa中,由 于不能删去首项或末项,若删去 2 a, 则必有 132nn aaaa, 这与0d矛盾;同样若删去 1n a 也 有 132nn aaaa, 这 与0d矛 盾 ; 若 删 去 32 , n aa中 任 意 一 个 , 则 必 有 121nn aaaa,这与0d矛盾。 (或者说:当n6 时,无论删去哪一项,剩余的项中必有 连续的三项 ) 综上所述,4n。 ( 2)假设对于某个正整数n,存在一个公差为d 的n 项等差数列 n bbb, 21 ,其中 11
31、1 , xyz bbb (01xyzn) 为任意三项成等比数列,则 2 111yxz bbb, 即 2 111 ()() ()bydbxdbzd,化简得 22 1 ()(2 )yxz dxzy bd(*) 由 1 0b d知, 2 yxz与2xzy同时为 0 或同时不为0 当 2 yxz与2xzy同时为 0 时,有xyz与题设矛盾。 故 2 yxz与2xzy同时不为 0,所以由( *)得 2 1 2 byxz dxzy 因为01xyzn,且 x、y、 z 为整数,所以上式右边为有理数,从而 1 b d 为有理数。 于是,对于任意的正整数) 4(nn,只要 1 b d 为无理数,相应的数列就是满
32、足题意要求的数列。 例如 n项数列 1,12,1 2 2,, ,1 (1) 2n满足要求。 20已知函数 1 1( ) 3 xp fx, 2 2( ) 2 3 xp fx( 12 ,xR pp为常数)函数( )f x定义为: 对每个给定的实数x, 112 212 (),()() () (),()() fxfxfx fx fxfxfx 若 若 (1)求 1 ( )( )f xf x对所有实数x成立的充分必要条件(用 12 ,p p表示); (2)设,a b是两个实数,满足ab,且 12 ,( , )p pa b若( )( )f af b,求证:函数( )f x在 区间 , a b上的单调增区间的
33、长度之和为 2 ba (闭区间, m n的长度定义为nm) 解: ( 1) 由( )f x的定义可知, 1 ( )( )f xfx(对所有实数x)等价于 12 fxfx(对所有实数x)这又等价于 12 32 3 xpxp ,即 12 3 log2 332 xpxp 对所有实数x均成立 . (*) 由于 121212 ()()()xpxpxpxpppxR的最大值为 12 pp, 故( *)等价于 12 32 pp ,即 123 log 2pp,这就是所求的充分必要条件 ( 2)分两种情形讨论 (i)当 1232 pplog时,由( 1)知 1 ( )( )f xf x(对所有实数 , xa b)
34、 第 15 页 O y x (a,f(a)(b,f(b) 图 1 O y x (a,f(a) (b,f(b) (x0,y0) (p2,2) (p1,1) 图 2 则由f afb及 1 apb易知 1 2 ab p, 再由 1 1 1 1 1 3, ( ) 3, px xp xp fx xp 的单调性可知, 函数( )f x在区间 , a b上的单调增区间的长度 为 22 abba b(参见示意图1) (ii ) 1232 pplog时,不妨设 12, pp,则 213 log 2pp,于是 当 1 xp时,有 12 12 ( )33( ) pxpx fxfx,从而 1 ( )( )f xfx;
35、 当 2 xp时,有 312122122 log 2 12 ( )333333( ) xpppxpppxpxp fxfx 从而 2 ( )( )f xfx; 当 12 pxp时, 1 1( ) 3 xp f x,及 2 2( ) 2 3 px fx,由方程 12 32 3 xppx 解得 12 ( )( )fxfx与图象交点的横坐标为 12 03 1 log 2 22 pp x 显然 1022132 1 ()log 2 2 pxpppp, 这表明 0 x在 1 p与 2 p之间。由易知 101 022 ( ), ( ) ( ) , pxxfx fx xxpfx 综上可知,在区间 , a b上,
36、 01 02 ( ), ( ) ( ), axxfx f x xxbfx (参见示意图2) 故由函数 1( ) fx及 2( ) fx的单调性可知,( )f x在区间 , a b上的单调增区间的长度之和为 012 ()()xpbp,由于( )( )f af b,即 12 32 3 pabp ,得 123 log 2ppab 故由、得 012123 1 ()()l o g2 22 ba xpbpbpp 综合( i) (ii)可知,( )f x在区间 , a b上的单调增区间的长度和为 2 ab 。 第 16 页 第 17 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学附加题参考答案
37、 21:从 A,B,C,D 四个中选做2个,每题10 分,共 20 分 A选修 41几何证明选讲 如图,设 ABC 的外接圆的切线AE 与 BC 的延长线交于点E, BAC 的平分线与BC 交于 点 D求证: 2 EDEB EC 证明:如图,因为AE是圆的切线, 所以,ABCCAE, 又因为AD是BAC的平分线, 所以BADCAD 从而ABCBADCAECAD 因为ADEABCBAD, DAECADCAE 所以ADEDAE,故EAED. 因为EA是圆的切线,所以由切割线定理知, 2 E AE CE B, 而EAED,所以 2 EDEC EB B选修 42矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中,设
38、椭圆 22 41xy在矩阵 20 01 对应的变换作用下得到曲线F, 求 F 的方程 解:设 00 (,)P xy是椭圆上任意一点,点 00 (,)P xy在矩阵A对应的变换下变为点 00 (,)P xy则有 00 0 0 20 0 1 xx y y ,即 00 00 2xx yy ,所以 0 0 00 2 x x yy 又因为点 P在椭圆上,故 22 00 41xy,从而 22 00 ()()1xy 所以,曲线F的方程是 22 1xy B C E D A 第 18 页 C选修 44参数方程与极坐标 在平面直角坐标系xOy中,点()P xy,是椭圆 2 2 1 3 x y上的一个动点,求Sxy
39、的最 大值 解:因椭圆 2 2 1 3 x y的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数) 故可设动点P的坐标为( 3cos ,sin ),其中02. 因此 31 3 cossin2(cossin)2sin() 223 Sxy 所以,当 6 时,S取最大值2 D选修 45不等式证明选讲 设 a,b, c为正实数,求证: 333 111 2 3 abc +abc 证明:因为, ,a b c为正实数,由平均不等式可得 3 333333 111111 3 abcabc 即 333 1113 abca b c 所以 333 1113 abcabc abcabc , 而 33 22 3abcab
40、c abcabc 所以 333 111 2 3 abc +abc 第 19 页 22 【必做题】记动点P 是棱长为1 的正方体 1111 -ABCD ABC D的对角线 1 BD上一点,记 1 1 D P D B 当APC为钝角时,求的取值范围 解:由题设可知,以DA、DC、 1 DD 为单位正交基底, 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系Dxyz, 则 有 (1, 0, 0)A,(1,1,0)B,(0,1,0)C,(0,0,1)D 由 1 (1,1, 1)D B , 得 11 ( , ,)D PD B , 所 以 11 (, )(1,0, 1)(1,1)PAPDD A 11
41、 (, )(0,1, 1)(,1,1)PCPDDC 显然APC不是平角,所以APC为钝角等价于 coscos,0 PA PC APCPA PC PA PC ,则等价于 0PA PC 即 2 (1)()()(1)(1)(1)(31)0,得 1 1 3 因此,的取值范围是 1 (,1) 3 23 【必做题】请先阅读: 在等式 2 cos22cos1xx(xR)的两边求导,得: 2 (cos2 )(2cos1)xx, 由求导法则,得(sin2 ) 24cos(sin )xxx,化简得等式:sin 22cossinxxx ( 1) 利 用 上 题 的 想 法 ( 或 其 他 方 法 ) , 结 合 等
42、 式 0122 (1+x) =CCCC nnn nnnn xxx (xR,正整数2n) ,证明: 11 2 (1)1C n nkk n k nxkx (2)对于正整数3n,求证: (i) 1 ( 1)C0 n kk n k k ;( ii) 2 1 ( 1)C0 n kk n k k ;(iii) 1 1 121 C 11 nn k n kkn 证明:(1)在等式 0122 (1+x) =CCCC nnn nnnn xxx两边对x求导得 112121 (1)2(1) nnnnn nnnn nxCC xnCxnC x x y z C B A D D1 C1 B1 A1 P 第 20 页 移项得
43、11 2 (1)1 n nkk n k nxkC x(* ) (2) (i)在( *)式中,令1x,整理得 1 1 (1)0 n kk n k kC 所以 1 ( 1)0 n kk n k kC (ii)由( 1)知 112121 (1)2(1),3 nnnnn nnnn nxCC xnCxnC xn 两边对x求导,得 2232 (1)(1)23 2(1) nnn nnn n nxCC xn nC x 在上式中,令1x 2322 023 2( 1)(1)( 1) n nnn CCn nC 即 2 2 (1)( 1)0 n kk n k k kC , 亦即 2 2 (1)()0 n kk n k kk C(1) 又由( i)知 1 (1)0 n kk n k kC(2) 由( 1)+(2)得 2 1 ( 1)C0 n kk n k k ( iii ) 将 等 式 0122 ( 1 + x )= CCCC nnn nnnn xxx两 边 在 0 , 1 上 对x积 分 11 0122 00 (1)(CCCC) nnn nnnn xdxxxx dx 由微积分基本定理,得 1 111 00 0 11 (1)() 11 n nkk n k xC x nk 所以 1 0 121 11 nn k n k C kn
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