2012高等数学二复习大纲.pdf
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1、1 高数部分1.1 高数第一章函数、极限、连续求极限题最常用的解题方 向:1.利用等价无穷小; 2.利用洛必达法则,对于型和 型的题目直 接用洛必达法则,对于、 、 型的题目则是先转化为型或 型,再 使用洛比达法则; 3.利用重要极限,包括、 、 ;4.夹逼定理。 1.2高数第二章导数与微分、第三章不定积分、第四章定积分第二章导 数与微分与前面的第一章 函数、极限、连续、后面的第三章不 定积分、第四章定积分都是基础性知识,一方面有单独出题的 情况,如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它 题目中需要做大量的灵活运用,故非常有必要打牢基础。 对于第三章不定积分,陈文灯复习指南分类讨
2、论的非常全面,范 围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点:不定积分中的积 分常数 C 容易被忽略,而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。 所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象:定积分的结果可 以写为 F(x)+1 ,1 指的就是那一分,把它折弯后就是中的那个 C,漏 掉了 C也就漏掉了这 1 分。 第四章定积分及广义积分 可以看作是对第三章中解不定积分方法 的应用,解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不 定积分的差异 出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上 做文章:对于型定积分,若 f(x) 是奇函数则有=0 ;若 f(x) 为偶函数 则有 =2 ;对于 型积分
3、,f(x) 一般含三角函数,此时用的代换是常 用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中 入手,对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利 用性质、 。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的 套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.3高数第五章中值定理的证明技巧由本章中值定理的证明技巧讨 论一下证明题的应对方法。 用以下这组逻辑公式来作模型:假如有逻 辑推导公式 A E、(A B) C、(C D E) F,由这样一组逻辑关系可以构造 出若干难易程度不等的证明题, 其中一个可以是这样的: 条件给出 A、 B、D,求证 F成立。
4、 为了证明 F成立可以从条件、 结论两个方向入手, 我们把从条件入手 证明称之为正方向, 把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时 可能遇到的问题有以下几类:1.已知的逻辑推导公式太多,难以从中 找出有用的一个。 如对于证明 F 成立必备逻辑公式中的A E就可能有 A H、A (I K)、(A B) M 等等公式同时存在,有的逻辑公式看起来最有 可能用到,如 (A B) M,因为其中涉及了题目所给的3 个条件中的 2 个,但这恰恰走不通;2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚, 在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(A B) C,如果 不知道或弄错则一定无法得出结论。从反方向入手
5、证明时也会遇到同 样的问题。 通过对这个模型的分析可以看出,对可用知识点掌握的不牢固、 不熟 练和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题 的两大原因。 针对以上分析, 解证明题时其一要灵活, 在一条思路走不通时必须迅 速转换思路,而不应该再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪 里出了问题;另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信 息。 当我们解证明题遇到困难时, 最常见的情况是拿到题莫名其妙,感觉 条件与欲证结论简直是风马牛不相及的东西,长时间无法入手; 好不 容易找到一个大致方向, 在做若干步以后却再也无法与结论拉近距离 了。 从出题人的角度来看, 这是因为没能够有效
6、地从条件中获取信息。 “ 尽可能多地从条件中获取信息” 是最明显的一条解题思路, 同时出题 老师也正是这样安排的, 但从题目的 “ 欲证结论 ” 中获取信息有时也非 常有效。如在上面提到的模型中, 如果做题时一开始就想到了公式(C D E) F 再倒推想到(A B) C、 A E 就可以证明了。 如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“ 条件启发型 ” 的证明题, 那 么主要靠 “ 倒推结论 ” 入手的 “ 结论启发型 ” 证明题在中值定理证明问题 中有很典型的表现。 其中的规律性很明显, 甚至可以以表格的形式表 示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型: 条件欲证结论可用定理 A 关于闭区
7、间上的 连续函数,常常是 只有连续性已知 存在一个满 足某个式子 介值定理(结论部分为:存在一个使得 ) 零值定理(结论部分为:存在一个使得 ) B 条件包括函数在 闭区间上连续、 在 开区间上可导 存在一个满 足 费尔马定理(结论部分为:) 洛尔定理(结论部分为:存在一个使得 ) C 条件包括函数在 闭区间上连续、 在 开区间上可导 存在一个满 足 拉格朗日中值定理(结论部分为:存在一个 柯西中值定理(结论部分为:存在一个使得 另外还常利用构造辅助函数法,转化为可用费 洛尔定理的形式来证明 从上表中可以发现,有关中值定理证明的证明题条件一般比较薄弱, 如表格中 B、C的条件是一样的, 同时
8、A 也只多了一条 “ 可导性” 而已; 所以在面对这一部分的题目时, 如果把与证结论与可能用到的几个定 理的的结论作一比较,会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手 处。故对于本部分的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗日中值 定理的掌握重点应该放在熟记定理的结论部分上;如果能够做到想到 介值定理时就能同时想起结论“ 存在一个使得 ” 、看到题目欲证结论 中出现类似 “ 存在一个使得 ” 的形式时也能立刻想到介值定理;想到 洛尔定理时就能想到式子; 而见到式子也如同见到拉格朗日中值定 理一样,那么在处理本部分的题目时就会轻松的多,时常还会收到 “ 豁 然开朗 ” 的效果。所以说, “ 牢记定理的
9、结论部分 ” 对作证明题的好处 在中值定理的证明问题上体现的最为明显。 综上所述,针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“ 尽 一切可能挖掘题目的信息, 不仅仅要从条件上充分考虑, 也要重视题 目欲证结论的提示作用,正推和倒推相结合;同时保持清醒理智,降 低出错的可能 ” 。希望这些想法对你能有一点启发。不过仅仅弄明白 这些离实战要求还差得很远, 因为在实战中证明题难就难在答案中用 到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到;很多结论、性质 和定理自己感觉确实是弄懂了、也差不多记住了, 但是在做题时那种 没有提示、或者提示很少的条件下还是无法做到灵活运用;这也就是 自身感觉与实战要求
10、之间的差别。 这就像在记英语单词时, 看到英语能想到汉语与看到汉语能想到英语 的掌握程度是不同的一样,对于考研数学大纲中“ 理解” 和“ 掌握” 这两 个词的认识其实是在做题的过程中才慢慢清晰的。我们需要做的就是 靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变形转换技 巧,从而达到大纲的相应要求, 提高实战条件下解题的胜算。 依我看, 最大的技巧就是不依赖技巧,做题的问题必须要靠做题来解决。 1.4高数第六章常微分方程本章常微分方程部分的结构简单,陈文灯 复习指南对一阶微分方程、 可降阶的高阶方程、 高阶方程都列出了方 程类型与解法对应的表格。 历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方 程至
11、少是以小题出现的, 也经常以大题的形式出现, 一般是通过函数 在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出;从历年考察情况和 大纲要求来看, 高阶部分不太可能考大题, 而且考察到的类型一般都 不是很复杂。 对于本章的题目, 第一步应该是辨明类型, 实践证明这是必须放在第 一位的;分清类型以后按照对应的求解方法按部就班求解即可。这是 因为其实并非所有的微分方程都是可解的,在大学高等数学中只讨论 了有限的可解类型, 所以出题的灵活度有限, 很难将不同的知识点紧 密结合或是灵活转换。 这样的知识点特点就决定了我们可以采取相对 机械的 “ 辨明类型 套用对应方法求解 ” 的套路,而且各种类型的 求解方法
12、正好也都是格式化的,便于以这样的方式使用。 先讨论一下一阶方程部分。 这一部分结构清晰, 对于各种方程的通式 必须牢记,还要能够对易混淆的题目做出准确判断。各种类型都有自 己对应的格式化解题方法, 这些方法死记硬背并不容易, 但有规律可 循这些方法最后的目的都是统一的,就是把以各种形式出现的方 程都化为 f(x)dx=f(y)dy这样的形式,再积分得到答案。对于可分离 变量型方程,就是变形为=- ,再积分求解; 对于齐次方程则做变 量替换 ,则 化为 ,原方程就可化为关于的可分离变量方程,变形 积分即可解; 对于一阶线性方程第一步先求的通解,然后将变形得 到的 积分,第二步将通解中的C变为 C
13、(x)代入原方程解出 C(x)后 代入即可得解; 对于贝努利方程, 先做变量代换代入可得到关于 z、 x 的一阶线性方程,求解以后将z 还原即可;全微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy比较特殊,因为其有条件,而且解题时直接套用 通解公式 . 所以,对于一阶方程的解法有规律可循,不用死记硬背步骤和最后结 果公式。对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于 型方程, 就是先把当作未知函数 Z,则原方程就化为的一阶方程形式,积 分即得;再对、 依次做上述处理即可求解; 叫不显含的二阶方程,解法是通过变量替换、 (p 为 x 的函数 )将 原方程化为一阶方程;叫不显含 x 的二阶方程,变量替
14、换也是令 (但 此中的 p 为 y 的函数),则,也可化为一阶形式。 所以就像在前面解一阶方程部分记“ 求解齐次方程就用变量替换” , “ 求解贝努利方程就用变量替换” 一样,在这里也要记住 “ 求解不显含 y 的二阶方程就用变量替换、 ” 、“ 求解不显含 x 的二阶方程就用变 量替换 、 ” 。 大纲对于高阶方程部分的要求不高,只需记住相应的公式即可。 其中 二阶线性微分方程解的结构定理与线性代数中线性方程组解的结构 定理非常相似,可以对比记忆: 若 、 是齐次方程的两个线性无关的特解, 则该齐次方程的通解为 若齐次方程组 Ax=0 的基础解系有 (n 性无关的解向量,则齐次方程组的通 非
15、齐次方程的通解为,其中 是非齐次方程 的一个特解,是对应齐次方程的通解 非齐次方程组 Ax=b 的一个通解等于 的一个特解与其导出组齐次方程Ax= 解之和 若非齐次方程有两个特解,则对应齐次方程 的一个解为 若 、 是方程组 Ax=b 的两个特解, 是其对应齐次方程组Ax=0 的解 由以上的讨论可以看到,本章并不应该成为高数部分 中比较 难办的章节,因为这一章如果有难点的话也仅在于“ 如 何准确无误地记忆各种方程类型及对应解法” , 也可以 说本章难就难在记忆量大上。 1.5高数第七章一元微积分的应用本章包括导数应用与定积分应用两部 分, 其中导数应用在大题中出现较少, 而且一般不是题目的考察
16、重点; 而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现,常与常微分方程结 合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、体积或弧长引出积分方 程,一般需要把积分方程中的变上限积分单独分离到方程的一端形 成“ = ” 的形式,在两边求导得到微分方程后套用相关方程的对应解 法求解。 对于导数应用,有以下一些小知识点: 1. 利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减 性可用定义法或求导判断, 判定极、最值时则须注意以下两点:A. 极 值的定义是:对于的邻域内异于的任一点都有 或 或 而不是 或 ; B. 极值点包括图 1、图 2 两种可能,所以只有 在 在 处可导且在处取极值时才有。 以上两点都
17、是实际做题中经常 忘掉的地方,故有必要加深一下印象。 2. 讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零值定理(结论部分 为 )、洛尔定理(结论部分为);常用到构造辅助函数法;在作题 时, 画辅助图会起到很好的作用, 尤其是对于讨论方程根个数的题目, 结合函数图象会比较容易判断。 3. 理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件:A.若 函数 在 区间 I 上的 ,则 在 I 上是凸的;若在 I 上的 ,则 在 I 上是凹的; B.若 在点 处有 且 ,则当 时 为极大值,当时 为极小 值。 其中,A 是判断函数凸凹性的充要条件,根据导数定义,是 的变化 率, 是 的变化率。可以说明函数是增
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