13不定方程1981-2018年历年数学联赛48套真题WORD版分类汇编含详细答案.pdf
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1、2011B 一、 (本题满分40 分) 求所有三元整数组( , , )x y z,使其满足 333 32011 15 15 xyzxyz x y 解析: 由20113 333 xyzzyx,得 4022 222 xzzyyxzyx 因220114022,且0 222 xzzyyx2mod,所以等价于 4022 1 222 xzzyyx zyx 或 2 2011 222 xzzyyx zyx 对方程组,消去z得40221212 222 yxyxyx ,即 670 22 yxxyyx 若15x,15y,则670645 22 yxxyyx与矛盾; 若16x,15y,则670690434256)(1(
2、 2 yxyx与矛盾; 若 15x ,16y,则670690434256)(1( 2 yxxy与矛盾; 综上方程组无解; 对方程组,由2 222 xzzyyx可得yx,zy,xz中有两个为1, 一个为0。 若1yx,1zy,0xz,则zxy1或zxy1,zxy1代 入的第一个方程,无解;zxy1代入的第一个方程,解得671y,670zx 若1yx,0zy,1xz,同理可得671x,670zy 若0yx,1zy,1xz,同理可得671z,670yx 综上,满足条件的三元数组为670,670,671,670,671,670,671,670,670 2010AB 8 、方程2010zyx满足zyx的
3、正整数解),(zyx的个数是 答案:336675 解析: 首先易知2010zyx的正整数解的个数为10042009 2 2009 C. 把2010zyx满足zyx的正整数解分为三类: (1)zyx,均相等的正整数解的个数显然为1; (2) zyx, 中有且仅有2 个相等的正整数解的个数,易知为1003; (3) 设zyx,两两均不相等的正整数解为k. 易知 100420096100331k , 所以 110033100420096k200410052006123200910052006, 即3356713343351003k. 从而满足zyx的正整数解的个数为33667533567110031
4、. 2010B 二、 (本题满分40 分)设m和n是大于 1 的整数,求证: 1 1 111 1 12(1)(). 1 mmn mmmkkjj mm kji nnC nCi m 证明: 1 1 1 0 1) m mjj m j qCq 由(得到 11 1 0 (1), m mmjj m j qqCq 1,2,qn分别将代入上式得: 1 1 0 21, m mj m j C 11 1 0 322 , m mmjj m j C 11 1 0 (1)(1) , m mmjj m j nnCn 11 1 0 (1). m mmjj m j nnCn n将上面个等式两边分别相加得到: 1 1 01 (1
5、)1(), mn mjj m ji nCi(20 分) 1 1 111 (1)(1)1(1), mnn mjjm m jii nnnCimi () 1 1 111 1 12(1)() . 1 mmn mmmkkjj mm kji nnC nCi m (40 分) 2008A B5 、方程组 0 0 0 yxzyzxy zxyz zyx 的有理数解),(zyx的个数为() A. 1B. 2C. 3D. 4 答案:B 解析: 若0z,则 0 0. xy xyy , 解得 0 0 x y , 或 1 1. x y , 若0z,则由 0xyzz 得 1xy 由0xyz得zxy 将式代入 0xyyzxz
6、y 得 22 0xyxyy 由式得 1 x y ,代入式化简得 3 (1)(1)0yyy.易知 3 10yy无有理数根, 故 1y ,由式得1x,由式得0z,与0z矛盾,故该方程组共有两组有理数解 0, 0, 0 x y z 或 1, 1, 0. x y z 2008B 二、 (本题满分50 分) 求满足下列关系式组 222 2, 50, xyz zyz 的正整数解组( , , )x y z的个数 解析: 令ryz,由条件知050r,方程化为 222 ()2xzrz,即 222 2xzrrz(1) 因0yzr,故 22222 zxyzx,从而zx 设0pzx因此( 1)化为 22 220zpp
7、zrr (2) 下分r为奇偶讨论, ()当r为奇数时,由(2)知p为奇数令 1 21rr, 1 21pp,代入( 2)得 22 111111 2()10ppzpzrrr (3) (3)式明显无整数解故当r为奇数时,原方程无正整数解 ()当r为偶数时,设 1 2rr,由方程( 2)知p也为偶数从而可设 1 2pp,代入 (2)化简得 22 1111 0pzpzrr(4) 由( 4)式有 22 1111 ()0z prpr,故 11 pr,从而可设 11 pra,则( 4)可化 为 22 11 ()0razar, 22 11 220rarzaa(5) 因 2 1 1 2 2 r zra a 为整数
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