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1、中国权威高考信息资源门户 海淀区高三年级第二学期期中练习 数学 (理) 参考答案及评分标准 20134 说明:合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共8 小题 , 每小题 5分 , 共 40 分) 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B C C D A D B B 二、填空题(本大题共6 小题 , 每小题 5 分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2 分, 共 30 分) 三、解答题 (本大题共6 小题 ,共 80 分) 15 (本小题满分13 分) 解: (I )因为 2 ( )2( 3sincos )f xxx 22 = 2(3sincos2 3sincos
2、)xxxx 2 2(12sin3sin2)xx ,2 分 2 = 12sin3sin2xx cos23sin2xx ,4 分 = 2sin(2) 6 x,6 分所以 90 10 14 11. 24 5 12 3 3, 15 16 13 4 9 1a 14 2, (21,2 ),Zkkk 中国权威高考信息资源门户 2 ()2sin(2)2sin3 4463 f,7分 所以 ( )f x 的周期为 22 = |2 T,9 分 (II )当 , 6 3 x时, 2 2, 33 x, 5 (2), 666 x 所以当 6 x时,函数取得最小值 ()1 6 f,11 分 当 6 x时,函数取得最大值
3、()2 6 f,13 分 16. 解: ()因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10 人, 所以该考场有100.2540人,1 分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为 40(10.3750.3750.150.025)400.0753,3 分 (II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为 1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5 (400.075) 2.9 40 ,7 分 ()设两人成绩之和为,则的值可以为16,17,18,19, 20,8 分 2 6 2 10 15 (16) 45 C P C , 11 62 2 10 12
4、(17) 45 C C P C 112 622 22 1010 13 (18) 45 C CC P CC , 11 22 2 10 4 (19) 45 C C P C 2 2 2 10 1 (20) 45 C P C 所以的分布列为 X 16 17 18 19 20 中国权威高考信息资源门户 P 15 45 12 45 13 45 4 45 1 45 ,11 分 所以 1512134186 1617181920 45454545455 E 所以的数学期望为 86 5 ,13 分 17. 证明: (I) 因为ABC是正三角形, M 是AC中点, 所以BMAC, 即BDAC,1 分 又因为PAA
5、BCD平面,BD平面ABCD,PABD,2 分 又PAACA,所以BD平面PAC,3 分 又PC平面PAC,所以BDPC,4 分()在正三角形ABC中, 2 3BM ,5 分 在ACD中,因为 M 为AC中点,DMAC,所以ADCD 120CDA ,所以 2 3 3 DM ,所以:3:1BMMD,6 分 在等腰直角三角形PAB中,4PAAB, 4 2PB , 所以:3:1BNNP,:BNNPBMMD,所以/ /MNPD,8 分 又MN平面PDC,PD平面PDC,所以/ /MN平面PDC,9 分 ()因为 90BADBACCAD , 所以ABAD,分别以,AB ADAP, 为x轴 , y轴 ,
6、z轴建 立如图的空间直角坐标系, 所以 4 3 (4,0,0),(2,23,0),(0,0),(0,0,4) 3 BCDP 由()可知, 4 3 (4,0) 3 DB 为平面PAC的法向量 ,10 分 z y x M A D B C P N 中国权威高考信息资源门户 (2,2 3, 4)PC ,(4,0,4)PB 设平面PBC的一个法向量为 ( , , )nx y z , 则 0 0 n PC n PB ,即 22 340 440 xyz xz , 令3,z则平面PBC的一个法向量为 (3,3,3)n ,12 分 设二面角APCB的大小为,则 7 cos 7 n DB nDB 所以二面角AP
7、CB余弦值为 7 7 ,14 分 18. 解: (I )因为 2 ( )ln,f xxaxbx所以 1 ( )2fxaxb x ,2 分 因为函数 2 ( )lnf xxaxbx在1x处取得极值 (1)120fab ,3 分 当1a时,3b, 2 231 ( ) xx fx x , ( ),( )fxf x 随x的变化情况如下表: x 1 (0,) 2 1 2 1 ( ,1) 2 11 +( , ) ( )fx0 0 ( )f x极大值 极小值 ,5 分 所以( )f x的单调递增区间为 1 (0, ) 2 ,1 +( , ) 单调递减区间为 1 (,1) 2 ,6 分 中国权威高考信息资源门
8、户 (II)因为 2 22(1)1(21)(1) ( ) axaxaxx fx xx 令( )0fx, 12 1 1, 2 xx a ,7 分 因为( )f x在1x处取得极值,所以 21 1 1 2 xx a 当 1 0 2a 时, ( )f x 在(0,1)上单调递增,在 (1,e上单调递减 所以( )f x在区间0,e上的最大值为(1)f,令(1)1f,解得2a,9 分 当0a, 2 1 0 2 x a 当 1 1 2a 时, ( )f x 在 1 (0,) 2a 上单调递增, 1 (,1) 2a 上单调递减,(1,e)上单调递增 所以最大值1 可能在 1 2 x a 或ex 处取得
9、而 2 111111 ()ln()(21)ln10 222224 faa aaaaaa 所以 2 (e)lne+ e(21)e1faa,解得 1 e2 a,11 分 当 1 1e 2a 时, ( )f x 在区间(0,1)上单调递增, 1 (1,) 2a 上单调递减, 1 (,e) 2a 上单调递增 所以最大值1 可能在1x或ex处取得 而(1)ln1(21)0faa 所以 2 (e)lne+ e(21)e1faa, 解得 1 e2 a,与 2 1 1e 2 x a 矛盾 ,12 分 当 2 1 e 2 x a 时, ( )f x 在区间(0,1)上单调递增,在 (1,e)单调递减, 所以最大
10、值1 可能在1x处取得,而(1)ln1(21)0faa,矛盾 中国权威高考信息资源门户 A B G H 综上所述, 1 2 a e 或2a. ,13 分 1. (本小题满分14 分) 解: (I )设椭圆的焦距为2c, 因为 2a , 2 2 c a ,所以1c,所以1b. 所以椭圆C: 2 2 1 2 x y,4 分 (II )设A( 1 x, 1 y) ,B( 2 x, 2 y) 由直线l与椭圆C交于两点A,B,则 22 220 ykx xy 所以 22 (12)20kx,则 12 0xx, 122 2 12 x x k ,6 分 所以 2 2 22 88(1) (1) 1212 k A
11、Bk kk ,7 分 点M( 2 , 0)到直线l的距离 2 2 1 k d k 则 2 2 2 2 2 1 k GHr k ,9 分 显然,若点 H也在线段AB上,则由对称性可知,直线 ykx就是y轴,矛盾, 所以要使AGBH,只要ABGH 所以 22 2 22 8(1)2 4() 121 kk r kk 22424 2 224242 22(1)2(331) 2(1) 112231231 kkkkk r kkkkkk ,11 分 当0k时, 2r ,12 分 当0k时, 2 42 11 2(1)2(1)3 13 2 2 r kk 中国权威高考信息资源门户 又显然 2 42 1 2(1)2
12、13 2 r kk , 所以 23r 综上, 23r ,14 分 20. 解: ()因为x +=3(,yxy为非零整数) 故1,2xy或2,1xx,所以点 0 P的相关点有8 个 ,2 分 又因为 22 ()()5xy,即 22 1010 ()()5xxyy 所以这些可能值对应的点在以 0 P为圆心,5为半径的圆上,4 分 ()依题意(,) nnn P x y与 000 (,)P x y重合 则 1-12211000 ()().()() nnnnn xxxxxxxxxxx, 1-12211000 ()().()() nnnnn yyyyyyyyyyy 即 1-122110 ()+()+.+()
13、+()=0 nnnn xxxxxxxx, 1-122110 ()+()+.+()+()=0 nnnn yyyyyyyy 两式相加得 1112-121010 ()+()+()+()+.+()+()=0 nnnnnnnn xxyyxxyyxxyy(* ) 因为 11 ,3(1,2,3,., )Z iiiiii x yxxyyin, 故 11 ()+()( =1,2,3,.,) iiii xxyyin为奇数, 于是( *)的左边就是n个奇数的和,因为奇数个奇数的和还是奇数, 所以n一定为偶数 ,8 分 ()令 11 , iiiiii xxxyyy(1,2,3,., )in, 依题意 11210 ()
14、().()100 nnnn yyyyyy, 因为 0 n i i Tx 012n xxxx 11212 1(1)(1)(1) n xxxxxx 12 1(1) n nn xnxx,10 分 中国权威高考信息资源门户 因为有3 ii xy+,且 ii xy,为非零整数, 所以当2 i x的个数越多,则T的值越大, 而且在 123 , n xxxx这个序列中,数字2的位置越靠前,则相应的T的值越大 而当 i y取值为 1 或1的次数最多时, i x取 2 的次数才能最多,T的值才能最大. 当100n时,令所有的 i y都为 1, i x都取 2, 则1012(12100)10201T. 当100
15、n时, 若 * 2 (50,)nk kkN, 此时, i y可取50k个 1,50k个1,此时 i x可都取 2,( )S n达到最大 此时T= 2 12(1)1)21nnnnn. 若 * 21(50,)nkkkN, 令2 n y, 其余的 i y中有49k个1,49k个 1. 相应的,对于 i x,有1 n x, 其余的都为2, 则 2 12(1)1)12Tnnnnn 当50100n时,令 1,2100,2,2100, ii yinynin 则相应的取2,2100,1,2100, ii xinynin 则T=1n+ 2 ( (1)(101)nnn(100)(99)1)nn 2 20510098 2 nn 综上, 2 2 2 20510098 , 50100, 2 (1) , 100 +2 ,100 nn n Tnn nnn 且为偶数, 且为奇数 . ,13 分 中国权威高考信息资源门户 更多试题下载:(在文字上按住ctrl即可查看试题) 高考模拟题:高考各科模拟试题【下载】 历年高考试题:历年高考各科试题【下载】 高中试卷频道:高中各年级各科试卷【下载】 高考资源库:各年级试题及学习资料【下载】 高考资源库:各年级试题及学习资料【下载】
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