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1、- 2017 年江苏数学高考试 卷 一 .填空题 1 ( 5 分)已知集合A=1 , 2 ,B= a , a 2+3 若 A B=1 ,则实 数a 的值为 2 ( 5 分)已知复数z=( 1+i )(1+2 i),其中 i 是虚数单位,则z 的模是 3 ( 5 分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400 , 300, 100 件为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取件 4 ( 5 分)如图是一个算法流程图:若输 入x 的值为,则输出 y 的值是 5 ( 5 分)若tan( )= 则tan = 6 (
2、 5 分)如图,在圆柱O1O2 内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相 切 , 记 圆柱 O 1O2 的体积 为 V1,球O 的体积 为V 2,则 的值是 7 ( 5 分)记函数f( x)= 定义域为D在区间 4,5上随机取一个数x,则 xD 的概率是 2017 数学1 - 8 ( 5 分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线 y 2 =1 的右准线与它的两条渐近线分别交 于点 P,Q,其焦点是F1, F2,则四边 形 F1PF 2Q 的面积是 9 ( 5 分)等比数列a n 的各项均为实 数, 其前 n 项为 Sn,已知 S3= ,S6= , 则 a8= 10(5 分)某公司一年购买某
3、种货物600 吨,每次购买x 吨,运费为6 万元 /次,一年的总 存储费用为4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之 和最小 , 则x 的值是 3 2x+ e x ,其中 e 是自然对数的底数若 f(a1)+f( 2a 2) 11 ( 5 分)已知函数f( x)=x 0则实数a 的取值范围 是 12(5 分)如图,在同一个平面内,向量 ,的模分别为1,1,与的 夹角为 ,且 tan =7,与的夹角为45 若=m +n (m,nR),则 m+ n= 13(5 分)在平面直角坐标系xOy 中, A(12,0),B( 0, 6),点P 在圆O: x 2+y2=50 上若20,则点P 的横坐标的取值范
4、围 是 14 ( 5 分)设(fx)是定义在R 上且周期为1 的函数, 在区间 0,1)上,f ( x)= , * 其中集合D= x |x= , nN ,则方程 f( x)lgx =0 的解的个数是 二 .解答题 15(14 分)如图,在三棱 锥 ABCD 中, ABAD, BCBD,平面ABD 平面BCD ,点 E、 F( E 与 A、 D 不重合)分别在棱 AD, BD 上,且EFAD 求证:(1)EF平面ABC ; (2) ADAC * - 2017 数学2 - 16(14 分)已知向量=(cosx, sinx) ,=(3,),x 0, (1)若 ,求x 的值; (2)记f( x) =
5、,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的x 的值 17(14 分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭 圆E:=1( ab 0)的左、右 焦点分别为 F1,F2,离心率为 ,两准线之间的距 离为8点 P 在椭圆 E 上,且位于第一象 限,过点F1 作直线PF 1的垂线l1,过点F2 作直线PF2 的垂线l2 (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若直线l1, l2 的交点Q 在椭圆 E 上,求点P 的坐标 18(16 分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器 和正四棱台形玻璃容器 的高均为 32cm,容器 的底面对角线AC 的长为10 cm,容器 的两底面对角线EG,E1G1的长分 别为14cm
6、 和 62cm 分别在容器 和容器 中注入水,水深均为 12cm现有一根玻璃棒l, 其长度为 40cm(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计) (1)将 l 放在容器 中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧 棱CC1上,求l 没入水中部分 的长度; (2)将 l 放在容器 中,l 的一端置于点E 处,另一端置于侧 棱GG1 上,求l 没入水中部分 的长度 2017 数学3 - 19 ( 16 分)对于给定的正整数k,若数列 an 满足:an k+an k+1+?+an 1+an+1+?an+k 1+an+ k=2kan 对任意正整数n( n k)总成立,则称数列 an 是 “P( k)数列 ” (
7、1)证明:等差数列 an是“ P(3)数列 ”; (2)若数列 an 既是 “P(2)数列 ” ,又是 “P( 3)数列 ” ,证明: an 是等差数列 3 2 20(16 分)已知函数f( x) =x +ax + bx+1( a0, bR)有极值,且导函数f( x)的极值 点是 f( x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2 3a; (3)若f(x),f( x)这两个函数的所有极值之和不小于 ,求 a 的取值范围 二 .非选择题,附 加 题 (21-24 选做题)【选修 4-1:几何证明选讲 】(本小题满分0 分
8、) 21如图,AB 为半圆O 的直径,直线 PC 切半圆 O 于点C, AP PC, P 为垂足 求证:(1)PAC= CAB ; 2 = AP?AB (2) AC 选修4-2:矩阵与 变换 22已知矩阵A= , B= (1)求AB; * - (2)若曲线 C1:=1 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C2,求 C2 的方程 2017 数学4 - 选修4-4:坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系xOy 中,已知直线 l 的参数方程为( t 为参数),曲线 C 的 参数方程为( s 为参数)设 P 为曲线C 上的动点,求点 P 到直线l 的距离的最小 值 选修 4-5:不等式选讲 24已
9、知a, b, c, d 为实数,且a 2+b2=4, c2+d2=16,证明 ac+ bd 8 【必做题】 25如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1 中, AA1 平面ABCD ,且 AB=AD =2,AA1= , BAD =120 (1)求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值; (2)求二面角BA1DA 的正弦值 *,n 2),这些球除颜色外全部相同 现 26已知一个口袋有 m 个白球,n 个黑球(m,n N 将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2, 3,?, m+n 的抽屉内,其 中第 k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(k=1, 2, 3, ?, m+ n
10、) 1 2 3 ?m+n (1)试求编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率p; (2)随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是 X 的数学期望, 证明E(X) 2017 数学5 - 2017 年江苏高考数学参考答案与试题解析 一 .填空题 1(5 分)(2017? 江苏)已知集合A=1 , 2 , B= a ,a 2+3 若 AB=1 ,则实数 a 的值为 1 【分析】利用交集定义直接求解 2 【解答】解:集合A=1 , 2 ,B= a , a +3 AB=1 , a=1 或 a 2+3=1 , 解得 a=1 故答案为:1 【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要
11、认真审题,注意交集定义及性质的合 理运用 2 ( 5 分)(2017? 江苏) 已知复数z=( 1+i ) ( 1+2i ),其中i 是虚数单位,则 z 的模是 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】解:复数z=(1+i)(1+2 i) =12+3 i= 1+3 i, |z|= = 故答案为: 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题 3(5 分)(2017? 江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200 , 400, 300 ,100 件为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进
12、行检验,则应从丙种型号的产品中抽取18 件 【分析】由题意先求出抽样比例即为,再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取 的数目 【解答】解:产品总数为200+400+300+100=1000 件,而抽取60 辆进行检验,抽样比例为 = , * - 2017 数学6 - 则应从丙种型号的产品中抽取300=18 件, 故答案为:18 【点评】 本题的考点是分层抽样分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一 致,按照一定的比例,即样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取 4 ( 5 分)(2017? 江苏)如图是一个算法流程图:若 输入x 的值为,则输出 y 的值是 2 【分析】直接模拟程
13、序即得结论 【解答】解:初始值x= ,不满足 x1, 所以 y=2+ log2 =2=2, 故答案为: 2 【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积 累, 属于基础题 5 ( 5 分)(2017? 江苏)若 tan( ) = 则 tan = 【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可 【解答】解:tan() = = = 6tan 6=tan +1, 2017 数学7 - 解得 tan =, 故答案为: 【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于 基础题 6 ( 5 分)(2017? 江苏)如图,在圆柱O1O2 内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母 线均相切,
14、记圆柱O1O2 的体积为V 1,球O 的体积为V2,则的值是 【分析】设出球的半径,求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果 【解答】解:设球的半径为R,则球的体积为:R 3, 2?2R=2R3 圆柱的体积为: R 则= = 故答案为: 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力 7 ( 5 分)(2017? 江苏)记函数f( x) = 定义域为D在区间4, 5上随机取一 个数 x,则 x D 的概率是 【分析】求出函数的定义域,结合几何概型的概率公式进行计算即可 2 0 得 x2 x6 0,得 2 x 3, 【解答】解:由6+x x 则 D= 2, 3, * -
15、 则在区间4,5上随机取一个数x,则 xD 的概率P= = , 2017 数学8 - 故答案为: 【点评】 本题主要考查几何概型的概率公式的计算,结合函数的定义域求出D,以及利用几 何概型的概率公式是解决本题的关键 2 8(5 分)(2017? 江苏)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线 y =1 的右准线与它的两条 渐近线分别交于点P, Q,其焦点是F1, F2,则四边形F1PF2Q 的面积是 【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程,得到P,Q 坐标,求出焦点坐标,然后求解 四边形的面积 2=1 的右准线: x= ,双曲线渐近线方程为:y= x, 【解答】解:双曲线 y 所以 P(,) ,Q
16、(,),F1( 2, 0)F2(2, 0) 则四边形F1PF 2Q 的面积是:=2 故答案为:2 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力 9 ( 5 分)(2017? 江苏) 等比数列 an 的各项均为实数,其前 n 项为Sn,已知S3= ,S6= , 则 a8= 32 【 分 析 】 设 等 比 数 列 an 的 公 比 为q 1, S3= , S6= , 可 得= , = ,联立解出即可得出 【解答】解:设等比数列a n 的公比为q 1, S3= , S6= ,= ,= , 解得 a1= ,q=2 则 a8= =32 故答案为:32 * - 【点评】 本题考查了等比数列的通项
17、公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中 2017 数学9 - 档题 10(5 分)(2017? 江苏)某公司一年购买某种货物600 吨,每次购买x 吨,运费为6 万元 / 次,一年的总存储费用为4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之 和最小 , 则x 的值是 30 【分析】 由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和= +4 x,利用基本不等式的性 质即可得出 【解答】解:由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和= +4x 4 2=240 (万元) 当且仅当x=30 时取等号 故答案为:30 【点评】 本题考查了基本不等式的性质及其应 用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 3 2
18、x+e x ,其中e 是自然对数的底数若f 11(5 分)(2017? 江苏)已知函数f( x) =x (a1) +f( 2a 2) 0则实 数 a 的取值范围是1, 【分析】求出f( x)的导数,由基本不等式和二次函数的性质,可得f( x)在R 上递增; 2 1 a,运用二次不等式的解再由奇偶性的定义,可得f(x)为奇函数,原不等式即为2a 法即可得到所求范围 【解答】解:函数f( x)=x 3 2x+e x 的导数为: 2 2+ ex+ 2+2 =0, f( x)=3x 可得 f( x)在 R 上递增; 又 f(x) +f( x) =(x) 3 xx 3 2x+ ex=0, e +2x+
19、e+x 可得 f( x)为奇函数, * - 则 f(a1) +f( 2a 2) 0, 即有 f( 2a 2) f( a1) =f( 1a) , 2 即有 2a 1a, 2017 数学10 - 解得 1 a, 故答案为:1, 【点评】 本题考查函数的单调性和奇偶性的判断 和应用,注意运用导数和定义法,考查转化 思想的运用和二次不等式的解法,考查运算能力,属于中档题 12(5 分)(2017? 江苏)如图,在同一个平面内,向 量,的模分别 为1,1, 与的夹角为 ,且tan=7 ,与的夹角为45 若=m +n (m, n R),则 m+ n= 3 【分析】如图所示,建立直角坐标系A( 1,0)由与
20、的夹角为 ,且 tan =7可得 ) = sin( +45) = B 利 cos =, sin = C 可得 co(s +45 用=m +n (m, n R),即可得出 【解答】解:如图所示,建立直角坐标系 A(1, 0) 由与的夹角为 ,且 tan =7 cos = , sin = C )= ( cos sin ) = cos( +45 ) = ( sin +cos )= sin( +45 B =m +n ( m, n R) , =mn,=0+ n, * - 2017 数学11 - 解得 n= , m= 则 m+n=3 故答案为:3 【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式,考查了推理能
21、力与计算能力,属于中档 题 13(5 分)( 2017? 江苏)在平面直角坐标系xOy 中,A(12,0),B( 0,6),点 P 在圆 O: x 2+y2=50 上若 20,则点P 的横坐标的取值范围 是5, 1 【分析】根据题意,设 P( x0,y0),由数量积的坐标计算公式化简变 形 可 得2x0+y0+5 0,分 析可得其表示表示直线2x+y+5 0 以及直线下方的区域,联立直线与圆的方程可得交点的横 坐标,结合图形分析可得答案 2+y 02=50 , 【解答】解:根据题意,设 P( x0, y0),则有x0 2 2 =(12x0,y0)? (x0,6y0)=( 12+x0)x0y0(
22、 6y0)=12 x0+6y+ x0 +y0 20, 化为: 12x0+6y0+30 0, 即 2x0+y0+50,表示直线2x+ y+5 0 以及直线下方的区域, 联立,解可得x0=5 或 x0=1 , 结合图形分析可得:点P 的横坐标x0 的取值范围 是 5,1, 故答案为:5,1 * - 2017 数学12 - 【点评】 本题考查数量积的运算以及直线与圆的位 置 关 系 ,关键是利用数量积化简变形得到 关于 x0、 y0 的关系式 14(5 分)(2017? 江苏)设 f( x)是定义在R 上且周期为1 的函数,在区间 0, 1)上, f * ,则方程 f( x) lgx=0 的解的个数
23、是(x)= ,其中集合D= x |x= ,n N 8 【分析】由已知中( f x)是定义在R 上且周期为1 的函数,在区间 0, 1)上,(f x) = , * ,分析 f( x)的图象与y= lgx 图象交点的个数,进而可得答 其中集合D= x |x= , n N 案 【解答】解: 在区间0, 1)上, f(x) = , 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数, 又 f(x)是定义在R 上且周期为1 的函数, 在区间1, 2)上, f( x)= ,此时f( x)的图象与y= lgx 有且只有一个 交点; 同理: 区间2, 3)上, f(x)的图象与y= lgx 有且只有一个交点; 区间3, 4
24、)上, f(x)的图象与y= lgx 有且只有一个交点; * - 区间4, 5)上, f(x)的图象与y= lgx 有且只有一个交点; 2017 数学13 - 区间 5, 6)上, f(x)的图象与y= lgx 有且只有一个交点; 区间 6, 7)上, f(x)的图象与y= lgx 有且只有一个交点; 区间 7, 8)上, f(x)的图象与y= lgx 有且只有一个交点; 区间 8, 9)上, f(x)的图象与y= lgx 有且只有一个交点; 在区间 9, +)上, f( x)的图象与y= lgx 无交点; 故 f(x)的图象与y= lgx 有 8 个交点; 即方程f( x) lgx =0 的
25、解的个数是8, 故答案为:8 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质,转化思想, 难度中档 二 .解答题 15(14 分)(2017? 江苏)如图,在三棱锥A BCD 中,AB AD,BCBD,平面ABD 平面 BCD ,点E、 F( E 与 A、D 不重合)分别在棱AD,BD 上,且EF AD 求证:(1)EF平面ABC ; (2) AD AC 【分析】( 1)利用AB EF 及线面平行判定定理可得结论; (2)通过取线段CD 上点G,连结FG、EG 使得FG BC,则 EG AC,利用线面垂直的 性质定理可知FG AD,结合线面垂直的判定定理可知AD平面EFG
26、 ,从而可得结论 【解答】证明:(1)因为AB AD, EFAD,且A、B、E、 F 四点共面, 所以 AB EF, 又因为EF? 平面ABC, AB? 平面 ABC , 所以由线面平行判定定理可知:EF 平面ABC ; (2)在线段CD 上取点G,连结FG、 EG 使得 FG BC,则 EG AC , 因为 BC BD,所以FG BC, 2017 数学14 - 又因为平面ABD 平面BCD , 所以 FG 平面ABD,所以FG AD, 又因为ADEF,且EF FG=F , 所以 AD 平面EFG,所以AD EG, 故 AD AC 【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力,考
27、查转化思想,涉及线 面平行判定定理,线面垂直的性质及判定定理,注意解题方法的积累,属于中档题 16(14 分)(2017? 江苏)已知向量=( cosx,sinx) ,=( 3,),x 0, (1)若 ,求x 的值; (2)记f( x) = ,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的x 的值 【分析】( 1)根据向量的平行即可得到tanx= ,问题得以解决 , (2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出 【解答】解:(1)=( cosx ,sinx) ,=(3,) , , cosx=3 sinx, tanx =, x 0, x= , (2) f( x) = =3 cosxsi
28、nx =2 (cosxsinx) =2 cos( x+ ) , x 0, x+ , 2017 数学15 - 1cos(x+ ) , 当 x=0 时, f( x)有最大值,最大值3, 当 x= 时, f(x)有最小值,最大值2 【点评】 本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质,属 于基础 题 17 (14 分)(2017? 江苏) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 E:=1( ab 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 ,两准线之间的距 离为8点 P 在椭圆E 上,且位 于第一象限,过点F1 作直线PF1 的垂线l1,过点F 2 作直线PF2
29、的垂线l2 (1)求椭圆E 的标准方程; (2)若直线l1, l2 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标 【分析】( 1)由椭圆的离心率公式求得a=2 c,由椭圆的准线方程x=,则2=8, 2=a2 c2=3,即可求得椭圆方程; 即可求得a 和 c 的值,则b (2)设P 点坐标,分别求得直线PF2 的斜率及直线PF1 的斜率,则即可求得l2 及 l 1 的斜率 2=x 021,联立即可求得P 点坐标; 及方程,联立求得Q 点坐标,由Q 在椭圆方程,求得y0 【解答】解:(1)由题意可知:椭圆的离心率e= = ,则 a=2 c, 椭圆的准线方程x=,由 2=8, 由解得:a=2 , c=1
30、, 2=a2 c2=3, * - 则 b 椭圆的标准方程:; 2017 数学16 - (2)设P( x0, y0),则直线PF2 的斜率= , 则直线l2 的斜率k2=,直线l2 的方程y=(x 1) , 直线 PF1 的斜率= , 则直线l2 的斜率k2=,直线l2 的方程y=(x+1) , 联立,解得:,则Q( x0,) , 2=x 02 1, 由 Q 在椭圆上,则 y0= ,则 y0 则,解得:,则, 又 P 在第一象限,所以P 的坐标为: P(,) 【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查直线的斜率公式,考查数 形结合思想,考查计算能力,属于中档题 2017 数学17
31、 - 18(16 分)(2017? 江苏)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器 和正四棱台形玻璃容器 的高均为32cm ,容器 的底面对角 线 AC 的长为10 cm,容器 的两底面对角 线 EG, E1G1 的长分别为14cm 和 62cm分别在容器 和容器 中注入水,水深均为12cm 现有一 根玻璃棒l,其长度为40cm(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计) (1)将 l 放在容器 中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧 棱CC1上,求l 没入水中部分 的长度; (2)将 l 放在容器 中,l 的一端置于点E 处,另一端置于侧 棱GG1 上,求l 没入水中部分 的长度 【分析】( 1)设玻璃棒
32、在CC1 上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过N 作 NP MC, 交 AC 于点P,推导出CC1 平面ABCD , CC1AC, NP AC,求出MC =30cm ,推导出 ANP AMC ,由此能出玻璃棒l 没入水中部分的长度 (2)设玻璃棒在GG1 上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过点N 作 NP EG,交 EG 于点 P,过点 E 作 EQ E1G1,交 E1G1 于点Q,推导出EE1G1G 为等腰梯形,求出E1Q =24 cm, E1E=40 cm,由正弦定理求出sin GEM = ,由此能求出玻璃棒l 没入水中部分的长度 【解答】解:(1)设玻璃棒在CC1 上的点为M ,玻璃
33、棒与水面的交点为N, 在平面ACM 中,过N 作 NP MC,交AC 于点 P, ABCD A1B1C1D1 为正四棱柱, CC1 平面ABCD , 又AC? 平面ABCD ,CC1 AC,NP AC, NP =12cm ,且 AM 2=AC2+MC 2,解得 MC =30cm , NP MC , ANP AMC , = ,得AN=16 cm 玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm 2017 数学18 - (2)设玻璃棒在GG1 上的点为M ,玻璃棒与水面的交点为N, 在平面E1EGG1 中,过点N 作 NPEG,交 EG 于点P, 过点 E 作 EQE1G1,交 E1G1 于点Q, EFGH
34、 E1F1G1H1 为正四棱台, EE1=GG1, EG E1G1, EG E1G1, EE1G1G 为等腰梯形,画出平面E1EGG 1的平面图, E1G1=62 cm, EG =14cm, EQ=32 cm, NP=12 cm, E1Q=24cm , 由勾股定理得:E1E=40 cm, sin EE1G1= , sin EGM =sin EE1G1= , cos , 根据正弦定理得:= ,sin , cos , sinGEM = sin(EGM + EMG ) =sin EGMcos EMG + cos EGMsin EMG = , EN= = =20cm 玻璃棒l 没入水中部分的长度为20
35、cm 【点评】本题考查玻璃棒l 没入水中部分的长度的求法,考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思 想、化归与转化思想,是中档题 2017 数学19 * - 19 ( 16 分)(2017?江苏)对于给定的正整数k,若数列 an 满足:an k+an k+1+? +a n 1+an+1+?an+k 1+an+ k=2kan 对任意正整数n( n k)总成立,则称数列 an 是 “P( k)数列 ” (1)证明:等差数列 an是“ P(3)数列 ”; (2)若数列 an 既是 “P(2)数列 ” ,又是 “P( 3)数列 ”
36、 ,证明: an 是等差数列 【分析】( 1)由题意可知根据等差数列的性质,an 3+a n+3) 3+an 2+an 1+a n+1+an+2+an+3=( an +( an 2+an +2) +( an 1+an+1) 2 3an,根据 “P( k)数列 ” 的定义,可得数列 an 是 “P( 3) 数列 ”; (2)由“ P ( k)数列 ” 的定义, 则 an 1+an+1+an +2=4an,an 1+an+1+an +2+an+3=6an, 2+an 3+an 2+an 变形整理即可求得2an=an 1+an+1,即可证明数列 an 是等差数列 【解答】解:(1)证明:设等差数列a
37、n 首项为 a1,公差为 d,则 an=a1+(n 1) d, 则 an 3+an 2+an 1+an+1+an+2+an+3, =(an 3+an+3) +(an 2+an+2) +( an 1 +an+1) , =2an+2 an+2 an, =23an, 等差数列 an 是“ P( 3)数列 ”; (2)证明:由数列 an 是“ P( 2)数列 ”则 an 1+an+1+an+2=4a n, 2+a n 数列 an 是“ P( 3)数列 ”an 1+an+1+an+2+an+3=6an, 3+an 2+an 由可知:an 3+an 2+an+an+1=4 an 1, an 1+a n+a
38、n+2+an +3=4an +1, 由( +): 2an=6a n 4an 14an+1, 整理得:2an=an 1+an+1, 数列 an 是等差数列 【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运 算,考查转化 思想,属于中档题 20(16 分)( 2017? 江苏)已知函数f(x) =x 3+ ax2+ bx+1(a 0, b R)有极值,且导函数 f( x)的极值点是f(x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) * - (1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b 2 3a; 2017 数学20 - (3)若f(x),f( x)这两
39、个函数的所有极值之和不小于 ,求 a 的取值范围 3+ax2+bx+1 求导可知 g( x)=f( x) =3x 2+2 ax+b ,进而再求导 【分析】( 1)通过对 f(x) =x 可知 g( x)=6x+2a ,通过令g( x)=0 进而可知f( x)的极小值点为 x=,从而 f() =0,整理可知b= + ( a 0),结合f( x) =x 3+ax2+bx+1 ( a 0,bR)有极值可知 f (x) =0 有两个不等的实根,进而可知a 3 (2)通过(1)构造函数h( a)=b 2 3a=+= ( 4a 3 27) ( a327),结 合 a 3 可知 h( a) 0,从而可得结论
40、 ; (3)通过(1)可知f( x)的极小值为 f( ) =b ,利用韦达定理及完全平方关系 可知 y=f (x)的两个极值之和为 +2,进而问题转化为 解不等式b+ +2= ,因式分解即得结论 【解答】( 1)解:因为 f( x) =x 3+ax2+bx+1 , 2+2ax+b , g ( x)=6x+2 a, 所以 g( x)=f ( x) =3x 令 g( x) =0,解得x= 由于当x时g( x) 0, g( x) =f( x)单调递增 ;当x时g( x) 0,g( x) =f( x)单调递减 ; 所以 f( x)的极小值点为 x=, 由于导函数f( x)的极值点是原函数f( x)的零
41、点, 所以 f() =0,即 +1=0 , 所以 b= + ( a0) 3 2 因为f( x) =x +ax +bx+1 (a0, b R)有极值, * - 2+2 ax+b=0 有两个不等的实根, 所以 f( x)=3x 所以 4a 2 12b 0,即a2+ 0,解得a 3, 所以 b= + ( a3) 2017 数学21 - (2)证明:由(1)可知h(a) =b 2 3a=+= ( 4a 3 27)(a327) , 由于 a 3,所以h(a) 0,即b 2 3a; (3)解:由(1)可知f( x)的极小值为f( ) =b, 设x1,x2 是 y=f ( x)的两个极值点,则 x1+x2=
42、 , x1x2= , 所以 f( x1) +f( x2) = + +a(+ )+b( x1+x2) +2 =(x1+x2) (x1+x2) 2 3x1x2+ a( x1+x2) 2 2x1x2+ b( x1+x2) +2 =+2, 又因为f( x),f( x)这两个函数的所有极值之和不小于 , 所以 b+2= , 因为 a 3,所以2a 3 63a54 0, 所以 2a( a236) +9 ( a6) 0, 2+12 a+9) 0, 所以( a 6)(2a 2+12 a+9 0, 由于 a 3 时2a 所以 a6 0,解得a 6, 所以 a 的取值范围是(3, 6 【点评】 本题考查利用导数研
43、究函数的单调性、极值,考查运算求解能力,考查转化思想, 注意解题方法的积累,属于难题 二 .非选择题,附 加 题 (21-24 选做题)【选修 4-1:几何证明选讲 】(本小题满分0 分) 21(2017? 江苏)如图 ,AB 为半圆O 的直径,直线 PC 切半圆O 于点 C,APPC,P 为垂 足 求证:(1)PAC= CAB ; 2 = AP?AB (2) AC * - 2017 数学22 - 【分析】( 1)利用弦切角定理可得:ACP= ABC 利用圆的性质可得ACB =90 再利 用三角形内角和定理即可证明 (2)由( 1)可得:APC ACB ,即可证明 【解答】证明:(1) 直线P
44、C 切半圆O 于点C, ACP= ABC AB 为半圆O 的直径, ACB=90 AP PC ,APC=90 PAC =90 ACP,CAB =90 ABC , PAC = CAB (2)由( 1)可得:APC ACB , = AC 2=AP ?AB 【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质 定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 选修4-2:矩阵与变换 22(2017? 江苏)已知矩阵A= , B= (1)求AB; (2)若曲线 C1:=1 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另 一 曲 线C2,求 C2 的方程 【分析】( 1)按矩阵乘法规律计算;
45、(2)求出变换前后的坐标变换规律,代 入曲线C1 的方程化简即可 【解答】解:(1) AB= = , (2)设点P( x, y)为曲线 C1 的任意一点, 点 P 在矩阵AB 的变换下得到 点P( x0, y0) , 则= ,即 x0=2y ,y0=x, 2017 数学23 - x= y0, y= , 2+y 02=8, ,即x0 2 2 曲线C2 的方程为x +y =8 【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换,属于中档 题 选修4-4:坐标系与参数方程 23 ( 2017? 江苏)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线 l 的参数方程为( t 为参数), 曲线C 的参数方程为( s 为参数)设 P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的 距离的最小值 【分析】求出直线 l 的直角坐标方程,代入距离公式化简得出距离d 关于参数s 的函数,从 而得出最短距离 【解答】解:直线 l 的直角坐标方程为x2y+8=0 , P 到直线l 的距离d= = , 当 s= 时, d 取得最小值= 【点评】本题考查了参数方程的应用,属于基 础 题 选修 4-5:不等式选讲 24(2017? 江苏)已知a, b, c, d 为实数,且a 2+b2=4, c2+d2=16,证明 ac+bd 8 2+b2=4,c2+d2
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