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1、2017 年高考数学大题精练一(理) 17.( 本小题满分12 分) 数列 n a的前n项和是 n S,且 1 1 2 nnSa. 求数列 n a的通项公式; 记 2 3 log 4 n n a b,数列 2 1 nn bb 的前n项和为 n T,若不等式 n Tm,对任意的正整 数n恒成立,求m的取值范围。 18.(本小题满分12 分)如图, 四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形,PA平面ABCD, 点E是棱PD的中点,点F是PC的中点F. ()证明: PB平面 AEC; ()若ABCD为正方形,探究在什么条件下,二面角CAFD大小为 60 ? 19 (本小题满分12 分)现有 4 个人去参
2、加春节联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参 加者选择 . 为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪 个项目联欢,掷出点数为1 或 2 的人去参加甲项目联欢,掷出点数大于2 的人去参加乙 项目联欢 . ()求这4 人中恰好有2 人去参加甲项目联欢的概率; ()求这4 个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率; ()用X,Y分别表示这4 个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记|XY,求 随 机变量的分布列与数学期望E. 20.(本小题满分12 分) 直角坐标系xOy 平面内, 已知动点M到点( 4,0)D与( 1,0)E的距 离之比为2 ()求动点 M
3、的轨迹c的方程; ()是否存在经过点( 1,1)的直线l,它与曲线c相交于A,B两个不同点,且满足 13 22 OMOAOB(O为坐标原点) 关系的点 M也在曲线 c上,如果存在, 求出直线 l 的方程;如果不存在,请说明理由 21 ( 本小题满分l2 分) 已知函数,R (I) 讨论函数的单调性; ( ) 当时,恒成立,求的取值范围 )1(ln)(xaxxfa )(xf 1x)(xf 1 ln x x a 22 (本题满分10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的参数 方程为 22cos 2sin x y (为参数,且
4、02) , 曲线l的极坐标方程为 23 2sin2 cos k k (k是常数,且kR) ()求曲线C的普通方程和曲线l直角坐标方程; ()若曲线l被曲线C截的弦是以 3 (,1) 2 为中点,求k的值 参考答案 17. 解: (1) 由题设得: 11 1 1 2 nnSa 1 1 2 nnSa - 可得 11 11 0 22 nnn aaa,则 1 1 3 nn aa 当1n时 11 1 1 2 Sa,则 1 2 3 a,则 n a是以 2 3 为首项, 1 3 为公比的等比数列, 因此 11 1 212 ( ) 333 nn nn aaq. (2) 2 2 33 loglog 32 4 n
5、n n a bn,所以 2 11111 11 () 22(2)4(2)82 nn bbnnn nnn 。 所以 1 1111111111113 ()(1) 8 1324112821216 n T nnnnnn 。 所以 3 16 m 18解析:()连接BD,设 ACBDO ,连结OE, 四边形ABCD为矩形, O是BD的中点, 点E是棱PD的中点, PBEO, 又PB平面AEC,EO平面AEC, PB平面AEC。 另解析: 易知AD,AB,AP两两垂直,建立如图所示空间直角坐标系Axyz ,设2ABa, 2ADb,2APc则(0,0,0)A ,(2 ,0,0)Ba,(2 ,2,0)Cab,(0
6、,2,0)Db,(0,0,2)Pc 。 设 ACBDO ,连结OE,则( , ,0)O a b,(0, )Eb c 。 ()因为(2 ,0,2 )PBac ,( ,0,)EOac , 所以2PBEO ,所以 PB EO ,即PBEO。 PB平面AEC,EO平面AEC,从而得PB平面AEC。 ()此时,ab, (0,0,0)A, (2 ,0,0)Ba, (2,2,0)Caa, (0,2,0)Da, (0,0,2)Pc , (0, )Ea c , (, , )F a a c , 因为 z轴平面CAF, 所以设平面CAF的一个法向量为( ,1,0)xn, 而( 2 , 2 , 0 )A Ca a,
7、所以220ACaxan,得1x,所以( 1,1,0)n。 因为y轴平面DAF, 所以设平面DAF的一个法向量为(1,0,) zm, 而( , ,)A Faac, 所以0AFaczm,得 a z c , 所以(1,0,) a c m( ,0,)cam。 | cos60 | n m nm 22 1 2 2() c ac ,得 a c 。 即当AP等于正方形ABCD的边长时,二面角CAFD的大小为 60 19解:依题意,这4 个人中,每个人去参加甲项目联欢的概率为 1 3 ,去参加乙项目联欢 的概率为 2 3 . 设“这4 个人中恰有i人去参加甲项目联欢”为事件 i A,(0,1,2,3, 4)i,
8、 则 4 4 12 ()( ) ( ) 33 iii i P AC. ()这4 个人中恰好有2 人去参加甲项目联欢的概率 222 24 128 ()( ) () 3327 P AC -4分 ()设“这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件 B, 34 BAA,故 3344 3444 1211 ()()()( ) ( )( ) 3339 P BP AP ACC. 这4 人 中 去 参 加 甲 项 目 联 欢 的 人 数 大 于 去 参 加 乙 项 目 联 欢 的 人 数 的 概 率 为 1 9 .-8分 (III)的所有可能取值为0,2,4. 2 8 (0)() 27
9、 PP A, 13 40 (2)()(), 81 PP AP A 04 17 (4)()(), 81 PP AP A 所以的分布列是 0 2 4 P 8 27 40 81 17 81 148 81 E.-12 20解析:()设(, )M x y ,则 2 2 |4DMxy, 2 2 |1EMxy,依题意, 2 2 2 2 4 2 1 xy xy ,化简整理,得 22 4xy, 所以曲线 c的方程为 22 4xy ()假设直线l存在,设 11 ,A x y, 22 ,B xy, 00 ,Mxy (1)若直线l的斜率存在 ,设直线l的方程为:1(1)yk x。 联立 22 11 40 yk x x
10、y 消去y得, 222 121230kxk kxkk, 由韦达定理得, 12 2 21 1 k k xx k 2 22 2 1 k k , 2 12 2 23 1 kk x x k 2 24 1 1 k k , 22 121212 (1)(1)y yk x xk kxxk 2 24 3 1 k k 。 因为点 11 ,A xy, 22 ,B xy在圆c上,因此,得 22 11 4xy, 22 22 4xy。 由 13 22 OMOAOB得, 12 0 3 2 xx x, 12 0 3 2 yy y。 由于点M也在圆c上,则 22 1212 33 ()()4 22 xxyy , 整理得, 22
11、11 4 xy 22 22 3 4 xy 1212 31 34 22 x xy y, 即 1212 0x xy y,所以 2 24 1 1 k k 2 24 (3)0 1 k k , 从而得, 2 210kk, 即1k, 因此,直线l的方程为11yx, 即20xy; ( 2)若直线l的斜率不存在, 则 A(1,3),B(1,3) , 1333 (,) 22 M 22 1333 ()()434 22 ,故此时点M不在曲线 c 上, 综上所知:1k, 直线方程为20xy 21. 解:( )的定义域为, 若则在上单调递增; ,2 分 若则由得,当时,当 时,在上单调递增,在单调递减 . 所以当时,在
12、上单调递增;当时,在上单调递 增,在单调递减 . ,4 分 ( ), 令, ,令, , ,6 分 , , , . ,8 分 (2), 以下论证. ,10 分 , , , 综上所述,的取值范围是,12 分 )(xf), 0( x ax xf 1 )( ,0a ( )0,fx)(xf),0( 0,a0)( xf a x 1 ) 1 ,0( a x, 0)( xf ), 1 ( a x0)( xf)(xf) 1 ,0( a ), 1 ( a 0a( )f x),0(0a( )f x) 1 ,0( a ), 1 ( a 1 )1(ln 1 ln )( 2 x xaxx x x xf) 1)(1(ln)
13、( 2 xxaxxxg axxxg21ln)( )( )ln12F xgxxax 12 ( ) ax Fx x (1)a0,若( )0Fxg (x)1,g (x)g (1)1-2a0在递增, 0) 1()(, 1)(gxgxg递增在 不符合题意从而, 0 1x lnx -f(x) 111 0a,),( )0,( )(1,) 2 1 22 xFxgx aa 若当在递增 g (x)g (1)1-2a,从而(1)同一样,所以不符合题意 1 (3),( )01, 2 aFx若在恒成立 02a-1(1)g(x)g1,(x)g递减,在 0 1 ln )(,0)1 ()(, 1g(x) x x xfgxg递减在从而 a, 2 1 22 解析: ()由 22cos 2sin x y , 得 2 2c o s 2 s i n x y , 则 2222 (2 )( 2 c o s )( 2 s i n )xy, 即曲线C的普通方程为 2 2 24xy; 由互换公式,cosx,siny ,得 2223ykxk , 即曲线l的直角坐标方程为 3 1() 2 yk x ()由()知,曲线C是圆,曲线l是直线,且以 3 (,1) 2 为弦的中点, 则 10 1 3 2 2 k,则 1 2 k
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