9解析几何-1981-2018年历年数学联赛48套真题WORD版分类汇编含详细答案.pdf
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1、1981 年2018 年全国高中数学联赛一试试题分类汇编 9、解析几何部分 2018A 4、在平面直角坐标系xOy中,椭圆C1: 2 2 2 2 b y a x (0ba)的左右焦点分别 是 21,F F,椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴和y轴,且相交于点P,已知线段 PTPVPSPU,的长分别为6 ,3,2, 1,则 21F PF的面积为 答案:15 解 析 : 由 对 称 性 , 不 妨 设 点P 00, y x在 第 一 象 限 , 则2 2 0 PSPT x, 1 2 0 PUPV y 即1 ,2P。进而可得2,2U,1 ,4S,代入椭圆方程解得:20 2 a,5 2 b,从而 15
2、1152 2 1 2 1 021 21 yFFS FPF 。 2018B 6、 设抛物线xyC2: 2 的准线与x轴交于点A, 过点)0, 1(B作一直线l与抛物线C 相切于点 K,过点A作l的平行线,与抛物线C交于点NM , ,则 KMN的面积为为 答案: 2 1 解析 :设直线l与MN的斜率为k,:l1 1 y k x,:MN 2 11 y k x分别联立抛物线方 程得到: 02 2 2 y k y() ,和01 2 2 y k y() 对()由0得 2 2 k;对()得 24 4 2 k yy NM 所以 2 1 2 1 NMKBANBAMBMNKMN yyABSSSS 2017A 3、
3、在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为1 109 22 yx ,F是C的焦点,A为 C的右顶点,P是C上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF的面积最大值为 答案: 2 113 解析: 由题意得0,3A,1 ,0F,设P点的坐标为sin10,cos3,其中 2 , 0, 则 sin 2 113 cos3 2 1 sin103 2 1 OFPOAPOAPF SSS,可得面积最大 值为 2 113 。 2017B 7、设a为非零实数,在平面直角坐标系xOy中,二次曲线0 222 aayx的焦距 为4,则实数a的值为 答案: 2 171 解析: 二次曲线方程可写成 22 2 1 xy aa ,显然
4、必须0a,故二次曲线为双曲线,其 标准方程为 22 22 1 ()() yx aa ,则 2222 ()()caaaa,注意到焦距24c, 可知 2 4aa,又0a,所以 117 2 a. 2018A 11、 (本题满分20 分)在平面直角坐标系xOy中,设AB是抛物线xy4 2 的过点 )0, 1(F的弦,AOB的外接圆交抛物线于点P(不同于点BAO,) 若PF平分APB, 求PF的所有可能值。 解析: 设 1 2 1 , 4 y y A, 2 2 2 , 4 y y B, 3 2 3 , 4 y y A,由已知条件知 321 ,yyy两两不等且不 为 0. 设 直 线AB的 方 程 为1t
5、yx, 由 xy tyx 4 1 2 得044 2 tyy, 知4 21y y, tyy4 21 。 设外接圆的方程为0 22 eydxyx,由 xy eydxyx 4 0 2 22 得 0 4 1 16 1 24 eyy d y, 知 该 四 次 方 程 的 根 即 为 321 , 0yyy, 由 根 与 系 数 关 系 得00 321 yyy, 即 321 yyy, 又PF平分APB,由角平分线定理得 2 1 y y FB FA PB PA ,结合 所以 2 12 2 2 2 21 2 21 2 1 2 21 2 23 2 2 2 2 3 2 13 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2
6、1 216 216 44 44 yyyyy yyyyy yy yy yy yy PB PA y y 19264 19264 1614168 164168 2 2 4 1 2 1 4 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 yy yy yyy yyy 即 2 2 2 2 2 1 6 2 2 1 2 2 2 1 6 1 1926419264yyyyyyyy,0192 4 2 2 2 2 1 4 1 2 2 2 1 yyyyyy 当0 2 2 2 1 yy时, 12 yy,此时0 3 y,得P与O重合,舍去。 当01 9 2 4 2 2 2 2 1 4 1 yyyy时,由得208192
7、2 2 2 1 2 2 2 2 1 yyyy,得 21 2 2 2 1 28134yyyy,所以这样的 21,y y是存在的,对应的BA,也是存在的。 所以 113 4 42084 1 4 1 4 2 2 2 1 2 21 2 3 yyyyy PF 2018B 11、 (本题满分20 分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,BA,与DC,分别是椭 圆1: 2 2 2 2 b y a x (0ba)的左、右顶点与上、下顶点设QP,是椭圆上且位于第一 象限的两点,满足APOQ /,M是线段AP的中点,射线OM与椭圆交于点R. 证明:线段BCOROQ,能构成一个直角三角形。 证明 :设点P的坐标为
8、00, yx,由于APOQ /,则OAOPAP, 又OMOR/,所以OAOPOM 2 1 ,故存在实数,,使得 OAOPOQ,OAOPOR, 此 时 点RQ,的 坐 标 可 以 分 别 表 示 为 00 , yax, 00 ,yax。 由于点RQ,在椭圆上, 所以 1 1 1 2 2 0 2 2 02 2 2 0 2 2 02 2 2 0 2 2 0 b y a ax b y a ax b y a x , 化简整理得 1 2 2 2 2 0202 a x a x ,则 )(2 0 2 xa a , )(2 0 2 xa a () 因此, 2 0 2 0 22 0 2 0 2 22 yaxyax
9、OROQ, 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 )(2)(2 yax xa a yax xa a )(22)(22 0 2 00 0 2 00 xa ayxaa xa ayaxa 00 2 02 11 2xaxa ay a 2 0 2 2 02 2 2xa aay a 22 ba 2 BC 线段BCOROQ,能构成一个直角三角形。 2017B 11、 (本题满分20 分)在平面直角坐标系xOy中,曲线 1 C : xy4 2 ,曲线 2 C : 8)4( 22 yx经过 1 C上一点P作一条倾斜角为 0 45的直线l,与 2 C交于两个不 同的点RQ,,求PRPQ的取值范围。 解 析 :
10、设 2 (,2 )P tt, 则 直 线l的 方 程 为 2 2yxtt, 代 入 曲 线 2 C的 方 程 得 , 222 (4)(2)8xxtt, 化简可得: 2222 22(24)(2 )80xttxtt, 由于l与 2 C交于两个不同的点,故关于x的方程的判别式为正,计算得, 222222222 (24)2(2 )8)(2 )8(2 )162(2 )16 4 tttttttttt 222 (2 )8(2 )tttt 22 (2 )(28)tttt(2)(2)(4)t ttt, 因此有( 2,0)(2,4)t, 设,Q R的横坐标分别为 12 ,x x,由知, 2 12 24xxtt,
11、22 12 1 (2 )8) 2 x xtt, 因此,结合 l的倾斜角为45 可知, 2224 121212 | |2()2()22 ()2PQPRxtxtx xtxxt 22224 (2 )82(24)2tttttt 4324324 4482482ttttttt 42 48tt 22 (2)4t, 由可知, 2 2( 2,2)(2,14)t,故 22 (2)0,4)(4,196)t,从而由得: 22 | |(2)44,8)(8,200)PQPRt 注 1:利用 2 C的圆心到l的距离小于 2 C的半径,列出不等式 2 42 | 22 2 tt , 同样可以求得中t的范围 . 注 2:更简便的
12、计算| |PQPR的方式是利用圆幂定理,事实上, 2 C的圆心为(4,0)M,半 径为2 2r,故 22222242 | | |(4)(2 )(22)48PQPRPMrtttt. 2016A 7、双曲线C的方程为1 3 2 2 y x,左右焦点分别为 1 F、 2 F,过点 2 F作一直线与双 曲线C的右半支交于点P、Q,使得 0 1 90PQF,则PQF1的内切圆半径是 答案:17 解析: 由双曲线的性质知,4312 21F F,2 2121 QFQFPFPF 因PQF1 =90,故 2 21 2 2 2 1FFPFPF ,因此 72242)()(2 222 21 2 2 2 121 PFP
13、FPFPFPFPF从而直角PQF1的 内切圆半径是17)( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 212111 QFQFPFPFQFPQPFr 2016A 11、 (本题满分20 分)如图所示,在平面直角坐标系中,F是x轴正半轴上的一个动 点。设F为焦点,O为顶点作抛物线C。设P是第一象限内抛物线C上的一点,Q是x轴 负半轴上的一点,使得PQ为抛物线 C的切线,且2| PQ ,圆 1 C, 2 C均与直线PQ相切 于点P,且均与x轴相切。求点F的坐标,使得圆 1 C与 2 C的面积之和取到最小值。 解析: 设抛物线C 的方程是)0(2 2 ppxy, 点 Q 的坐标为)0)(0,(aa, 并设
14、21,C C 的圆心分别为),(),( 222111 yxOyxO 设 直 线PQ的 方 程 为)0(mamyx, 将 其 与C的 方 程 联 立 , 消 去x可 知 022 2 papmyy 因为PQ 与 C 相切于点P,所以上述方程的判别式为0244 22 pamp,解得 p a m 2 进而可知,点P 的坐标为)2,(),(paayx PP 于是 )2(22 2 1|0|1| 2 apapa p a ymPQ P 由 PQ =2 可得 424 2 paa5 分 注意到 OP 与圆 21,C C相切于点P,所以 21O OOP设 圆 21,C C与x轴分别相切于点M, N,则 21,OO
15、OO分别是PONPOM ,的平分线,故 21OO O=90从而由射影定理知 paayxOPPOPONOMOyy PP 2 2222 212121 结合,就有 22 21 342apaayy10 分 由 21 ,OPO共线,可得 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 y y NO MO PO PO yy yy ypa pay P P 化简得 2121 2 2 yy pa yy15 分 令 2 2 2 1 yyT,则圆 21,C C的面积之和为T根据题意,仅需考虑T 取到最小值的情况 根据、可知, 21 2 2 2 121 2 21 2 2 4 2)(yyyy pa yyyyT 2 22
16、 222 2 1 )2)(34( )34(2)34( 44 4 a aa aa a 作代换 2 1at,由于02444 2 paat,所以0t于是 4324 1 324 1 3 )1)(13( t t t t t tt T 上式等号成立当且仅当 3 3 t,此时 3 1 11ta,因此结合得, 33 1 33 3 3 1 1 1 2 2 tt a ap 从而 F 的坐标为)0 , 33 1 ()0 , 2 ( p 20 分 2016B 6、 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 , 圆0: 22 1 ayxC关 于 直 线l对 称 的 圆 为 0322: 22 2 ayxyxC, 则直线l的
17、方程为 答案: 2450.xy 解析: 12 ,C C 的标准方程分别为 22 222 12 :1,:12.CxyCxyaa 由于两圆关于直线l对称,所以它们的半径相等因此 2 20,aa解得2.a故 12 ,C C 的 圆心分别是 12 0,0 ,1,2 .OO直线l就是线段 12O O 的垂直平分线,它通过12O O 的中点 1 ,1 2 M,由此可得直线l的方程是 2450.xy 2016B 11、 (本题满分20 分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的方程为1 22 yx求 符合以下要求的所有大于1的实数a:过点0,a任意作两条互相垂直的直线 1 l与 2 l,若 1 l与 双曲线C
18、交于QP,两点, 2 l与C交于SR,两点,则总有RSPQ成立 解析: 过点,0a作两条互相垂直的直线 1: lx a 与 2 :0.ly 易知, 1 l 与 C交于点 22 00,1 ,1P aaQaa(注意这里1a) , 2 l 与 C交于点 00 1,0 ,1,0 ,RS由条件知 2 0000 212aPQR S,解得2.a 这意味着符合条件的a 只可能为2. 下面验证2a符合条件 事实上,当 12 ,l l 中有某条直线斜率不存在时,则可设 12 :,:0lxa ly,就是前面所讨论 的 12,l l 的情况,这时有 .PQRS 若 12,l l 的斜率都存在,不妨设 12 1 :2
19、,:20 ,lyk xlyxk k 注意这里1k(否则 1l 将与C的渐近线平行,从而1l 与C只有一个交点) 联立 1 l 与C的方程知, 2 22 210,xkx即 2222 12 2210,kxk xk 这是一个二次方程式,其判别式为 2 440k故 1 l 与 C有两个不同的交点,P Q 同样, 2l 与C也有两个不同的交点 , .R S由弦长公式知, 22 2 2 2 441 12. 1 1 kk PQk k k 用 1 k 代替k,同理可得 2 2 22 1 1 22. 1 1 k k RS k k 于是.PQRS 综上所述,2a为符合条件的值 2015A 11、 (本题满分20
20、分)在平面直角坐标系xOy中, 1 F, 2 F分别是椭圆1 2 2 2 y x 的 左右焦点, 设不经过焦点 1 F的直线l与椭圆交于两个不同的的BA,,点 2 F到直线l的距离为 d,如果直线 1 AF,l, 1 BF的斜率依次成等差数列,求d的取值范围。 解析: 由条件知, 点 1 F、 2 F的坐标分别为 (-1, 0)和 (l, 0) 设直线 l 的方程为ykxm, 点 A、B 的坐标分别为 11 (,)x y和 22 (,)xy,则 12 ,x x满足方程 2 2 ()1 2 x kxm,即 222 (21)4(22)0kxkmxm 由于点 A、B 不重合,且直线l 的斜率存在,故
21、 12 ,x x是方程的两个不同实根,因此有 的判别式 22222 (4)4 (21) (22)8(21)0kmkmkm,即 22 21km 由直线 11 ,BFlAF的斜率 12 12 , , 11 yy k xx 依次成等差数列知, 12 12 2 11 yy k xx ,又 1122 ,ykxm ykxm,所以 122112 ()(1)()(1)2 (1)(1)kxmxkxmxk xx, 化简并整理得, 12 ()(2)0mkxx 假如m k,则直线 l 的方程为ykxk,即 z 经过点 1F(-1, 0),不符合条件 因此必有 12 20xx,故由方程及韦达定理知, 122 4 ()2
22、 21 km xx k ,即 1 2 mk k 由、知, 2221 21() 2 kmk k ,化简得 2 2 1 4 k k ,这等价于 2 | 2 k 反之,当,m k满足及 2 | 2 k时, l 必不经过点 1 F(否则将导致mk,与矛盾) , 而此时,m k满足,故l 与椭圆有两个不同的交点A、B,同时也保证了 1 AF、 1 BF的斜率 存在(否则 12 ,x x中的某一个为- l,结合 12 20xx知 12 1xx,与方程有两个不 同的实根矛盾) 10 分 点 2 F(l , 0)到直线l: ykxm的距离为 2 22 2 |1111 | 2|(2) 22 1 11 1 km
23、dk kk kk k 注意到 2 | 2 k,令 2 1 1t k ,则(1, 3)t,上式可改写为 2 1313 ()() 222 t dt tt 考虑到函数 13 ( )() 2 f tt t 在1, 3上上单调递减,故由得,( 3)(1)fdf, 即( 3,2)d20 分 2015B 7、设P为椭圆1 34 22 xy 上的动点,点)1,0(),1 , 1(BA,则PBPA的最大值为 答案:5 解析: 取 F ( 0 , l ) ,则 F, B 分别是椭圆的上、下焦点,由椭圆定义知,|PF|+|PB|=4因此, | PA|+|PB|=4-|PF|+|PA| 4+| FA|=4+l= 5
24、当 P 在 AF 延长线与椭圆的交点 3 (,1) 2 时, |PA|+|PB|最大值为5 2015B 11、 (本题满分20 分)已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点为)0,(cF,存在经 过点F的一条直线l交椭圆于BA,两点,使得OBOA,求该椭圆的离心率的取值范围 解析: 设椭圆的右焦点F 的坐标为(c, 0)显然l 不是水平直线,设直线l 的方程为 xkyc,点 A、 B 的坐标分别为 11 (,)xy, 22 (,)xy将直线l 的方程与椭圆方程联立, 消去x得 22222222 ()24()0b kaykb cybca 由韦达定理 2 12 222 2
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