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1、1 第 2 章 2.1 第 2 课时数列的递推公式 (选学) 一、选择题 1已知数列 an 中,a11,a23,anan1 1 an2( n3),则a5( ) A. 55 12 B. 13 3 C4 D5 答案 A 解析 令n3,4,5 ,求a5即可 2已知数列 an 中,an 1an2an,a12,a25,则a6( ) A 3 B 4 C 5 D 2 答案 A 解析 由an 1an 2an得a33, a4 2,a5 5,a6 3. 3正项数列 an 中,an 1 an 13an, a12,则a4 ( ) A. 16 5 B. 2 19 C. 8 5 D. 8 7 答案 B 解析 由递推关系可
2、得a22 7, a3 2 13,a 4 2 19. 4已知数列 an 满足a1x,a2y,且an1anan1(n2),则a2007( ) Ax B y C yx D x 答案 C 解析 根据递推关系可得x,y,yx,x,y,xy,这 6 个数值重复出现a2007a33463 a3. 5已知Sk表示数列的前k项和,且SkSk1ak1(kN * ) ,那么此数列是( ) A递增数列B递减数列 C常数列D摆动数列 答案 C 解析 由ak1Sk1SkSkSk1 Sk0(kN *) 可知此数列每一项均为0,即an0 是常数列 6观察下图,并阅读图形下面的文字,像这样10 条直线相交,交点的个数最多的是(
3、 ) 2 A40 个 B 45 个 C 50 个 D 55 个 答案 B 解析 交点个数依次组成数列为1,3,6 ,即 21 2 , 23 2 , 34 2 ,由此猜想ann n1 2 , a10 109 2 45. 二、填空题 7 已知数列 an的通项公式an3n1(nN * ) , 通过公式bn an1 an 构造一个新数列bn , 那么 bn 的前五项为 _ 答案 5 2, 8 5, 11 8 ,14 11, 17 14 解析 an3n 1(nN *) an13(n1) 13n2, bn an1 an 3n2 3n1 . b1 5 2, b28 5, b3 11 8 ,b414 11,
4、b5 17 14. 8已知数列 an 的通项公式ann 24n12( n N * ) ,则 (1) 这个数列的第四项是_; (2)65是这个数列的第_项; (3) 这个数列从第_项起以后各项都为正数 答案 12; 11;7 解析 (1)a44 244 12 12. (2) 令 65n 24n12, n 24n770, n11 或n 7(舍去 ) 故 65 是这个数列的第11 项 (3) 令n 24n120,得 n6 或n2. 这个数列从第7 项起以后各项都为正数 3 三、解答题 9在数列 an 中,已知a1 1,且满足an1an an n1,求通项公式 解析 由an 1an an n1,得 a
5、n1 n2 n1a n, 即 an1 an n2 n1. a2 a1 3 2, a3 a2 4 3, a4 a3 5 4, an an 1 n1 n (n2) 将以上各式相乘,得 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an1 3 2 4 3 5 4 n1 n an a1 n1 2 ,an n1 2 (n2), 又a11 满足上式 an n1 2 (nN *) 10设数列 an的前n项的和为Sn,且方程x 2 anxan0,有一根为Sn1,n1,2,3 , 求a1、a2. 解析 当n1 时,x 2 a1xa10 有一根为S11a11,于是 (a11) 2 a1(a11) a1 0, 解得a1
6、 1 2. 当n2 时,有一根为S21a2 1 2,于是 ( a2 1 2) 2 a2(a2 1 2) a20,解得a21 6. 能力提升 一、选择题 1在数列 an 中,a12,an1anln(1 1 n) ,则 an( ) A2lnnB2(n1)lnn C2nlnnD1n lnn 答案 A 解析 解法一:取n2,则a2a1ln2 2 ln2 ,排除 C、D; 取n3,则a3a2ln(1 1 2) 2ln2 ln 3 22ln3 ,排除 B,选 A. 解法二:直接将选项依次代入验证 当an2lnn时,an1anln(1 1 n) 4 2lnnln(1 1 n) 2ln(n1) 满足,故选A.
7、 解法三:an 1anln(1 1 n) , a2a1ln(1 1 1) ln2 , a3a2 ln(1 1 2) ln 3 2, a4a3 ln(1 1 3) ln 4 3, anan 1ln(1 1 n1 ) ln n n1. 相加得:ana1ln2 ln 3 2 ln n n1ln n,a12,an2lnn. 2已知数列 an 满足a10,an1 an3 3an 1( nN) ,则a20( ) A0 B 3 C.3 D. 3 2 答案 B 解析 a10,a2 a13 3a1 1 3,a3 a23 3a2 1 3,a4 a33 3a31 0, 至此可知:数列an 的各项的值依次为0,3,3
8、,0,3,3,0,周而复始 203 6 余 2,a20a23. 二、填空题 3设f(n) 1 n1 1 n2 1 2n( nN * ),那么f(n1) f(n) _. 答案 1 2n1 1 2n2 解析 f(n1) 1 n2 1 n3 1 n4 1 2n 1 2n1 1 2n2, f(n 1)f(n) 1 2n 1 1 2n 2 1 n1 1 2n1 1 2n2. 4若数列 an 中,a13,且an1a 2 n(n是正整数 ) ,则数列的通项 an_. 答案 an32 n1 解析 a13,a23 2, a33 4, a43 8,猜想 an32 n 1. 5 三、解答题 5数列 an 的通项公式
9、是an 2n 219n23,则数列 an中最大的一项是第几项?并求出该 项 解析 an 2n 219n23 2( n 19 4 ) 22319 2 8 2(n19 4 ) 2177 8 , nN *,当 n5 时,an最大, a525 2195 2322. 故数列 an最大的一项是第5 项,且a522. 6设函数f(x) log2xlogx4(0x1),数列 an 的通项an满足f(2 an) 2n( nN * ) ,求数列 an 的通项公式 解析 f(x) log2xlogx4, f(2 a n) log 22 anlog 2 a n 4 2n, 即an 2 an2n ,a 2 n2nan2
10、0, annn 22. 又 0x1, 02 an 1 , an0(nN * ),annn 22( nN *) 7一辆邮车每天从A地往B地运送邮件,沿途( 包括A,B) 共有 8 站,从A地出发时,装上发 往后面7 站的邮件各一个,到达后面各站后缷下前面各站发往该站的一个邮件,同时装上该站发往 下面各站的邮件各一个,试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列,画出该数列的图 象,并判断该数列的增减性 解析 将A、B之间所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号,通过计算,上面各站剩余邮件数依次 排成数列: 7,12,15,16,15,12,7,0.填写下表: 站号12345678 剩余邮
11、件数7121516151270 该数列的图象如图所示 6 它在 1,2,3,4上是递增的,在4,5,6,7,8上是递减的 8某林区改变植树计划,第一年植树增长率200% ,以后每年的植树增长率都是前一年植树增 长率的 1 2. (1) 假设成活率为100% ,经过四年后,林区的树木量是原来的树木量的多少倍? (2) 如果每年都有5% 的树木死亡,那么经过多少年后,林区的树木量开始下降? 解析 (1) 设林区原有的树木量为a,调整计划后,第n年的树木量为an(n1,2,3 ,) ,则 a1a(1200%)3a, a2a1(1 100%)2a16a, a3a2(1 1 2) 3 2a 2 9a a4a3(1 1 4) 5 4a 3 45 4 a. 所以经过四年后,林区树木量是原来树木量的 45 4 倍; (2) 若每年损失树木量的5% ,则第n年后的树木量与第(n1) 年的树木量之间的关系为: anan 1(1 1 2 n 2)(1 5%) 19 20(1 1 2 n2)an1(n2) 设第n年后树木量开始减少, 则 anan1 anan1 , 即 19 20 1 1 2 n2an1an1 19 20 1 1 2 n1anan , 7 1 2 n2 1 19 1 2 n1 1 19 , 1 76 1 2 n 1 38,解得 n6.
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