【步步高通用(理)】2014届高三《考前三个月》高考题型冲刺练中档大题规范练——立体几何与空间向量.pdf

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1、中档大题规范练立体几何与空间向量 1 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球， 并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度 解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面 根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为3r， 则容器内水的体积为VV圆锥V球 1 3 (3r) 2 3r4 3 r 35 3 r 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为 3 3 h， 从而容器内水的体积是V 1 3 ( 3 3 h) 2 h1 9 h 3， 由 V V，得 h 3 15r.即容器中水的深度为 3 15

2、r. 2 如图 1 所示，正三角形ABC 的边长为2a，CD 是 AB 边上的高， E，F 分别是 AC，BC 的中点现将 ABC 沿 CD 翻折， 翻折后平面ACD 平面 BCD(如图 2) 求三棱锥 CDEF 的体积 图 1图 2 解过点 E 作 EMDC 于点 M， 因为平面ACD 平面 BCD ，平面 ACD平面 BCDCD， 而 EM? 平面 ACD， 所以 EM平面 BCD . 即 EM 是三棱锥ECDF 的高 又 CD BD，ADCD， F 为 BC 的中点， 所以 SCDF 1 2S BCD 1 2 1 2CDBD 1 4 2a 2 a2a3 4 a 2， 因为 E 为 AC

3、的中点， EMCD， 所以 EM1 2AD 1 2a. 所以三棱锥CDEF 的体积为 VCDEFVECDF 1 3S CDFEM1 3 3 4 a 21 2a 3 24 a 3. 3 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形， EFAB，EFFB， AB2EF， BFC 90 ， BFFC，H 为 BC 的中点 (1)求证： FH 平面 EDB ； (2)求证： AC平面 EDB . 证明(1)设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点 如图，连接EG、GH，又 H 为 BC 的中点， GH 綊1 2AB. 又 EF 綊 1 2AB，EF 綊 GH. 四边形 EF

4、HG 为平行四边形EGFH . 又 EG? 平面 EDB，FH ?平面 EDB， FH 平面 EDB. (2)由四边形ABCD 为正方形，得ABBC. 又 EFAB，EF BC. 又 EFFB，BCFBB， EF平面 BFC.EFFH.ABFH . 又 BFFC，H 为 BC 的中点， FH BC. FH 平面 ABCD .FH AC. 又 FHEG，ACEG.又 ACBD，EGBDG， AC平面 EDB. 4 如图所示，已知三棱锥ABPC 中， APPC，AC BC，M 为 AB 的中点， D 为 PB 的 中点，且 PMB 为正三角形 (1)求证： DM 平面 APC； (2)求证：平面A

5、BC平面 APC； (3)若 BC4，AB20，求三棱锥DBCM 的体积 (1)证明由已知，得MD 是 ABP 的中位线，所以MDAP. 又 MD ?平面 APC，AP? 平面 APC， 故 MD 平面 APC. (2)证明因为 PMB 为正三角形， D 为 PB 的中点， 所以 MDPB.所以 APPB. 又 APPC，PBPCP，所以 AP平面 PBC. 因为 BC? 平面 PBC，所以 AP BC. 又 BCAC，AC APA，所以 BC平面 APC. 因为 BC? 平面 ABC，所以平面ABC平面 APC. (3)解由题意，可知MD平面 PBC， 所以 MD 是三棱锥DBCM 的一条高

6、， 所以 VDBCM VMDBC 1 3S BCDMD 1 32 215 3107. 5 如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD 中， PA底面 ABCD，E，F 分别是 PC，PD 的 中点， P AAB1，BC2. (1)求证： EF平面 PAB； (2)求证：平面P AD平面 PDC . 证明(1)以 A 为原点， AB 所在直线为x 轴， AD 所在直 线为 y 轴， AP 所在直线为z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(1,0,0)， C(1,2,0)， D(0,2,0)，P(0,0,1)， E，F 分别是 PC，PD 的中点， E 1 2，1， 1 2 ，

7、F 0，1，1 2 ， EF 1 2，0，0 ，PB (1,0， 1)，PD (0,2， 1)，AP (0,0,1)，AD (0,2,0)，DC (1,0,0)，AB (1,0,0) EF 1 2AB ，EF AB ，即 EF AB， 又 AB? 平面 P AB，EF?平面 P AB， EF平面 P AB. (2)AP DC (0,0,1)(1,0,0)0， AD DC (0,2,0)(1,0,0)0， AP DC ，AD DC ，即 APDC，AD DC. 又 APADA，DC平面 PAD. DC? 平面 PDC，平面 P AD平面 PDC. 6 如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 A

8、BCD，ABCD 是直角梯形， ABAD，ABCD， AB2AD2CD2.E 是 PB 的中点 (1)求证：平面EAC平面 PBC； (2)若二面角PACE 的余弦值为 6 3 ，求直线PA 与平面 EAC 所成角的正弦值 (1)证明PC平面 ABCD ，AC? 平面 ABCD ， ACPC，AB2，ADCD 1，ACBC2， AC2BC 2 AB2， ACBC， 又 BCPCC， AC平面 PBC， AC? 平面 EAC， 平面 EAC平面 PBC. (2)解如图，以C 为原点， DA 、CD 、CP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)， A(1,

9、1,0)，B(1， 1,0) 设 P(0,0，a)(a 0)， 则 E1 2， 1 2， a 2， CA (1,1,0)，CP (0,0，a)， CE 1 2， 1 2， a 2， 设 m(b，p， m)为面 PAC 的法向量，则m CA m CP 0， 即 bp0 am 0 ，取 m(1， 1,0)， 设 n (x， y，z)为面 EAC 的法向量，则n CA n CE 0， 即 x y0， x yaz 0， 取 xa，y a，z 2， 则 n (a， a， 2)， 依题意， |cosm，n | |m n| |m|n| a a 2 2 6 3 ，则 a2. 于是 n(2， 2， 2)，PA (1,1， 2) 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ， 则 sin |cosPA ，n| |P A n| |PA |n| 2 3 ， 即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 2 3 .