中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题及答案.pdf
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1、第六届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题 第一天 (2009 年 7 月 28 日上午 8:0012:00)江西 南昌 1. 试求满足方程 22 21262009xxyy的所有整数对( , )x y (张鹏程供题) 2. 在凸五边形 ABCDE 中,已知,ABDE BCEA ABEA,且,B C D E 四点共圆 证明:,A B C D四点共圆的充分必要条件是ACAD (熊斌供题) 3. 设, ,x y zR, 222 () ,() ,()ax yzby zxcz xy; 求证: 222 2()abcabbcca (唐立华供题) 4. 在一个圆周上给定十二个红点;求n的最小值,使得存在以红点为顶
2、点的 n个三角形,满足:以红点为端点的每条弦,都是其中某个三角形的一条边 (陶平生供题) 第六届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题 第二天 (2009 年 7 月 29 日上午 8:0012:00)江西 南昌 5设1,2,9的所有排列 129 (,)Xx xx的集合为 A;XA,记 1239 ()239fXxxxx,()Mf XXA ;求 M (其中 M 表示集合 M 的元素个数) (熊斌供题) 6已知O 、I 分别是ABC的外接圆和内切圆;证明:过O 上的任意一 点 D ,都可以作一个三角形DEF ,使得O 、I 分别是 DEF 的外接圆和内切圆 (陶平生供题) 7 设 (2)(2)(2) (
3、 , , ) 131313 xyzyzxzxy fx y z xyyzzx ,其 中,0x y z,且 1xyz求( , , )f x y z的最大值和最小值 (李胜宏供题) 8在 88 方格表中,最少需要挖去几个小方格,才能使得无法从剩余的方格 表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块? (孙文先供题) 1. 试求满足方程 22 21262009xxyy的所有整数对( , )x y (张鹏程供题) 解:设整数对( , )x y满足方程 22 212620090xxyy( 1) ,将其看作 关于x的一元二次方程,其判别式 2222 441262009500(4)36yyy的值 应为一完全平方
4、数; F E IO BC A D 若 22 4y,则0; 若 22 4y,则 2 y可取 222 0,1 , 2 , 3,相应的值分别为8036,7536,6036和3536,它 们皆不为平方数; 因此,仅当 22 4y时, 222 500 4366y为完全平方数 若4y,方程( 1)化为 2 870xx, 解得1x或7x; 若4y,方程( 1)化为 2 870xx,解得1x或7x 综上可知,满足原方程的全部整数对为:,1,4 , 7,4 ,1, 4 ,7, 4x y 2. 在凸五边形ABCDE中,已知,ABDE BCEA ABEA,且,B C D E 四点共圆 证明:,A B C D四点共圆
5、的充分必要条件是ACAD (熊斌供题) 证明:必要性:若,A B C D共圆,则由 ,ABDE BCEA,得BACEDA,ACBDAE, 所以ABCDEA,故得ACAD; 充分性:记BCDE所共的圆为O,若ACAD,则圆心O在CD的中垂线AH上, 设点B关于AH的对称点为F,则F在O上,且因ABEA,即DEDF,所以,E F 不共点,且 AFDABC,又由,ABDE BCEA,知AEDCBA,因此, AEDDFA,故由AEDDFA,得AEFD共圆,即点A在DEF上,也即点A 在O上,从而,A B C D共圆 3. 设,x y zR, 222 () ,() ,()ax yzby zxcz xy;
6、 求证: 222 2()abcabbcca (唐立华供题) 证明:先证,abc不能构成三角形的三边因为 ()()(),bcayz zxxy ()()()cabzxxyyz, ()()()abcxyyzzx F H B A CD E 所以(bca)(cab)(abc) 2 () () () () () ()0yzzxxyyzzxxy, 于是 222 2 ()()a bb cc aabc ()(abcbca)(cab)(abc) 0, 故 222 2 ()abca bb cc a 4. 在一个圆周上给定十二个红点;求n的最小值,使得存在以红点为顶点的n个三角形, 满足:以红点为端点的每条弦,都是其
7、中某个三角形的一条边 (陶平生供题) 解:设红点集为: 1212 ,AA AA,过点 1 A 的弦有11条,而任一个含顶点1 A 的三 角形,恰含两条过点 1 A的弦,故这11条过点 1 A的弦,至少要分布于6个含顶点 1 A的三角形 中; 同理知,过点(2,3,12) i Ai的弦,也各要分布于 6个含顶点iA的三角形中,这样 就需要12672个三角形,而每个三角形有三个顶点,故都被重复计算了三次,因此至少 需要 72 24 3 个三角形 再说明, 下界24可以被取到 不失一般性, 考虑周长为12的圆周, 其十二等分点为红点,以红点为端点的弦共有 2 12 66C条若某弦所对 的劣弧长为k,
8、就称该弦的刻度为k;于是红端点的弦只有6种刻度, 其中,刻度为1,2,5的弦各12条,刻度为6的弦共6条; 如果刻度为, ,a b c(a bc)的弦构成三角形的三条边,则必满足以下两条件之一: 或者abc;或者12abc; 于是红点三角形边长的刻度组, ,a b c只有如下12种可能:1,1,2 , 2,2,4 , 3,3,6 , 2,5,5 , 1,2,3 , 1,3,4 , 1,4,5 , 1,5,6 , 2,3,5 , 2,4,6 , 3,4,5 , 4,4,4; 下面是刻度组的一种搭配:取1,2,3 , 1,5,6 , 2,3,5型各六个,4,4,4型四个;这时 恰好得到66条弦,且
9、其中含刻度为1,2,5的弦各12条,刻度为6的弦共6条; 今构造如下:先作1,2,3 , 1,5,6 , 2,3,5型的三角形各六个,4,4,4型的三角形 三个,再用三个2,4,6型的三角形来补充 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1,2,3型六个:其顶点标号为:2,3,5 , 4,5,7 , 6,7,9 , 8,9,11 , 10,11,1 , 12,1,3; 1,5,6型六个:其顶点标号为:1,2,7 , 3,4,9 , 5,6,11 , 7,8,1 , 9,10,3 , 11,12,5; 2,3,5型六个:其顶点标号为:2,4,11 , 4,6,1 , 6,8,3 ,
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- 中国 东南 地区 数学 奥林匹克 竞赛 试题 答案
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