中考中圆的最值问题.pdf
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1、会滚的几何图形里的最值 1在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为 (3,0) ,点 B 为 y 轴正半轴上的一点,点 C 为第一象限内一点,且 AC=2 , 设 tanBOC=m ,则 m 的取值范围是() Am 0 BCD 2如图 BAC=60 ,半径长1 的 O 与 BAC 的两边相切,P 为 O 上一动点,以P为圆心, PA 长为半径的P 交射线 AB 、AC 于 D、E 两点,连接DE,则线段DE 长度的最大值为() A3 B6 C D 第 2 题图第 3 题图第 4 题图第 5 题图 3如图, P为 O 内的一个定点,A 为 O 上的一个动点,射线AP、AO 分别与 O 交于 B、C
2、两点若 O 的半 径长为 3,OP=,则弦 BC 的最大值为() A2 B3 CD3 4如图,扇形AOD 中, AOD=90 ,OA=6 ,点 P 为弧 AD 上任意一点(不与点A 和 D 重合) ,PQOD 于 Q, 点 I 为 OPQ 的内心,过O,I 和 D 三点的圆的半径为r则当点P 在弧 AD 上运动时, r 的值满足() A0r3 Br=3 C3 r3Dr=3 5如图,已知A、B 两点的坐标分别为(2,0) 、 (0, 2) , C 的圆心坐标为(1,0) ,半径为1若 D 是 C 上 的一个动点,线段DA 与 y 轴交于点E,则 ABE 面积的最小值是() A2 B1 CD 6如
3、图,已知A、B 两点的坐标分别为(8,0) 、 (0, 6) , C 的圆心坐标为(0,7) , 半径为 5若 P 是 C 上的一个动点,线段PB 与 x 轴交于点D,则 ABD 面积的最大值 是() A63 B31C32 D30 7如图,已知线段OA 交 O 于点 B,且 OB=AB ,点 P 是 O 上的一个动点,那么 OAP 的最大值是() A90 B60 C45 D30 二填空题 8如图, E,F 是正方形ABCD 的边 AD 上两个动点,满足AE=DF 连接 CF 交 BD 于点 G,连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为2,则线段DH 长度的最小值是 第 8 题图第 9 题
4、图第 10 题图第 11 题图 9如图,在RtABC 中, ACB=90 ,AC=4 ,BC=3 ,点 D 是平面内的一个动点,且AD=2 ,M 为 BD 的中点, 在 D 点运动过程中,线段CM 长度的取值范围是 10如图, ABC 中, BAC=60 , ABC=45 ,AB=2, D 是线段 BC 上的一个动点,以AD 为直径画 O 分 别交 AB ,AC 于 E,F,连接 EF,则线段 EF 长度的最小值为 11如图,已知直线l 与 O 相离, OA l 于点 A,OA=10 ,OA 与 O 相交于点P,AB 与 O 相切于点B,BP 的 延长线交直线l 于点 C若 O 上存在点Q,使
5、 QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形,则半径r 的取值范围 是: 12如图,在 ABC 中, C=90 , AC=12,BC=5 ,经过点C 且与边 AB 相切的动圆与CA、CB 分别相交于点P、 Q,则 PQ 长的最小值为 第 12 题图第 13 题图第 14 题图第 15 题图 13如图, AB 是 O 的一条弦,点C 是 O 上一动点,且ACB=30 ,点 E、F 分别是 AC、BC 的中点,直线EF 与 O 交于 G、H 两点若 O 的半径为7,则 GE+FH 的最大值为 14如图,在RtAOB 中, OA=OB=3, O 的半径为1,点 P 是 AB 边上的动点,过点P 作 O
6、的一条切线 PQ(点 Q 为切点),则切线 PQ 的最小值为 15在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为圆心的圆过点A(13,0) ,直线 y=kx 3k+4 与 O 交于 B、C 两点, 则弦 BC 的长的最小值为 16如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为圆心, 2 为半径画 O,P是 O 是一 动点且 P在第一象限内,过 P 作 O 切线与 x 轴相交于点A,与 y 轴相交于点B则线段 AB 的最小值是 O A DBC E F O D C E AB 17如图, O 与正方形 ABCD 的两边 AB 、AD 相切,且DE 与 O 相切于 E 点若正方形ABCD 的周长为 28, 且
7、DE=4 ,则 sinODE= 第 17 题图第 18 题图第 19 题图 18如图所示,已知A(1,y1) ,B(2,y2)为反比例函数 y=图象上的两点,动点P(x, 0)在 x 轴正半轴上运 动,当线段AP 与线段 BP 之差达到最大时,点P 的坐标是 19如图,定长弦CD 在以 AB 为直径的 O 上滑动(点C、D 与点 A、B 不重合),M 是 CD 的中点,过点C 作 CPAB 于点 P,若 CD=3,AB=8 , PM=l ,则 l 的最大值是 20、如图,在等腰RtABC中, C=90 , AC=BC=4 ,D是 AB的中点,点E在 AB边上运动(点E不与点 A重合) , 过
8、A、D、E三点作 O, O交 AC于另一点 F,在此运动变化的过程中, 线段 EF长度的最小值为 第 20 题图第 21 题图 21 、如图,线段AB=4 ,C为线段 AB上的一个动点,以AC 、BC为边作等边 ACD和等边 BCE , O外接于 CDE , 则 O半径的最小值为( ). A.4 B. 2 3 3 C. 3 2 2 D. 2 三解答题 22如图,在边长为1 的等边 OAB 中,以边 AB 为直径作 D,以 O 为圆心 OA 长为半径作圆O,C 为半圆 AB 上不与 A、B 重合的一动点,射线AC 交 O 于点 E,BC=a,AC=b (1)求证: AE=b+a; (2)求 a+
9、b 的最大值; (3)若 m 是关于 x 的方程: x 2+ ax=b 2+ ab 的一个根,求m 的取值范围 23已知:如图,AB 是 O 的直径,在AB 的两侧有定点C 和动点 P,AB=5 ,AC=3 点 P 在上运动(点P 不 与 A,B 重合) ,CP 交 AB 于点 D,过点 C 作 CP 的垂线,与PB 的延长线交于点Q (1)求 P的正切值; (2)当 CPAB 时,求 CD 和 CQ 的长; (3)当点 P 运动到什么位置时,CQ 取到最大值?求此时CQ 的长 24如图,已知半径为2 的 O 与直线 l 相切于点A,点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点,过点P 作直线 l
10、的垂线, 垂足为 C,PC 与 O 交于点 D,连接 PA、PB,设 PC 的长为 x(2x4) (1)当 x=时,求弦PA、PB 的长度; (2)当 x 为何值时, PD?CD 的值最大?最大值是多少? 25、 如图,已知直角 AOB中,直角顶点O在半径为 1 的圆心上, 斜边与圆相切, 延长 AO , BO分别与圆交于C,D 试 求四边形ABCD 面积的最小值 2015 年 12 月 18 日王军的初中数学组卷圆的最值问题 参考答案与试题解析 一选择题(共7 小题) 1 (2014 春?兴化市月考)在平面直角坐标系中,点A 的坐标为( 3,0) ,点 B 为 y 轴正半轴上的一点,点C 为
11、第 一象限内一点,且AC=2 ,设 tanBOC=m ,则 m 的取值范围是() Am 0 BCD 【考点】 直线与圆的位置关系;坐标与图形性质;锐角三角函数的定义 【分析】 C 在以 A 为圆心,以2 为半径的圆周上,只有当OC 与圆 A 相切(即到C 点)时, BOC 最小,根据勾 股定理求出此时的OC,求出 BOC= CAO ,根据解直角三角形求出此时的值,根据tanBOC 的增减性,即可求 出答案 【解答】 解: C 在以 A 为圆心,以2 为半径作圆周上,只有当OC 与圆 A 相切(即到C 点)时, BOC 最小, AC=2 ,OA=3 ,由勾股定理得:OC=, BOA= ACO=9
12、0 , BOC+AOC=90 , CAO+ AOC=90 , BOC=OAC, tanBOC=tan OAC=, 随着 C 的移动, BOC 越来越大, C 在第一象限, C 不到 x 轴点, 即 BOC90 , tanBOC, 故选 B 【点评】 本题考查了解直角三角形,勾股定理,切线的性质等知识点的应用,能确定BOC 的变化范围是解此题的 关键,题型比较好,但是有一定的难度 2 (2013?武汉模拟)如图BAC=60 ,半径长1 的 O 与 BAC 的两边相切,P 为 O 上一动点,以P为圆心, PA 长为半径的P交射线 AB、AC 于 D、 E 两点,连接DE,则线段DE 长度的最大值为
13、() A3 B6 C D 【考点】 切线的性质 【专题】 计算题 【分析】 连接 AO 并延长,与圆O 交于 P 点,当 AF 垂直于 ED 时,线段DE 长最大,设圆O 与 AB 相切于点 M, 连接 OM,PD,由对称性得到AF 为角平分线,得到FAD 为 30 度,根据切线的性质得到OM 垂直于 AD ,在直 角三角形 AOM 中,利用30 度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO 的长,由AO+OP 求出 AP 的长,即为圆P 的半径,由三角形AED 为等边三角形,得到DP 为角平分线,在直角三角形PFD 中,利用 30 度所对的直角边等于 斜边的一半求出PF的长,再利用勾股定理求出FD
14、 的长,由DE=2FD 求出 DE 的长,即为DE 的最大值 【解答】 解:连接 AO 并延长,与ED 交于 F 点,与圆O 交于 P 点,此时线段ED 最大, 连接 OM,PD,可得 F 为 ED 的中点, BAC=60 ,AE=AD , AED 为等边三角形, AF 为角平分线,即FAD=30 , 在 RtAOM 中, OM=1 , OAM=30 , OA=2 , PD=PA=AO+OP=3 , 在 RtPDF 中, FDP=30 ,PD=3, PF=, 根据勾股定理得:FD=, 则 DE=2FD=3 故选 D 【点评】 此题考查了切线的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,含30 度直
15、角三角形的性质,熟练掌握切 线的性质是解本题的关键 3 (2014?武汉模拟)如图,P 为 O 内的一个定点,A 为 O 上的一个动点,射线AP、AO 分别与 O 交于 B、C 两点若 O 的半径长为3,OP=,则弦 BC 的最大值为() A2 B3 CD3 【考点】 垂径定理;三角形中位线定理 【分析】 当 OPAB 时,弦 BC 最长,根据三角形相似可以确定答案 【解答】 解:当 OPAC 时,弦 BC 最长, 又 AC 是直径, CBA=90 ,所以 APO ABC , , 又 OP=, BC=2 故答案选 A 【点评】 本题考查了直径所对的圆周角是900这一性质的应用,以及如何取线段最
16、值问题的做法,用好三角形相似 是解答本题的关键 4 (2015?黄陂区校级模拟)如图,扇形AOD 中, AOD=90 ,OA=6 ,点 P 为弧 AD 上任意一点(不与点A 和 D 重合) ,PQOD 于 Q,点 I 为 OPQ 的内心,过O,I 和 D 三点的圆的半径为r则当点P 在弧 AD 上运动时, r 的值满足() A0r3 Br=3 C3 r3Dr=3 【考点】 三角形的内切圆与内心 【分析】 连 OI, PI, DI , 由OPH 的内心为I, 可得到 PIO=180 IPO IOP=180 ( HOP+OPH) =135 , 并且易证 OPI ODI ,得到 DIO= PIO=1
17、35 ,所以点I 在以 OD 为弦,并且所对的圆周角为135 的一段劣弧 上;过 D、I、O 三点作 O,如图,连 OD,OO,在优弧 AO 取点 P,连 PD,P O,可得 DPO=180 135 =45 , 得 DO O=90 ,OO=3 【解答】 解:如图,连OI,PI,DI , OPH 的内心为I, IOP=IOD , IPO=IPH, PIO=180 IPO IOP=180 ( HOP+OPH) , 而 PHOD,即 PHO=90 , PIO=180 ( HOP+ OPH)=180 (180 90 )=135 , 在OPI 和ODI 中, , OPI ODI (SAS) , DIO=
18、 PIO=135 , 所以点 I 在以 OD 为弦,并且所对的圆周角为135 的一段劣弧上; 过 D、I、O 三点作 O ,如图,连OD,OO, 在优弧 DO 取点 P ,连 P D,PO, DIO=135 , DP O=180 135 =45 , DO O=90 ,而 OD=6 , OO =DO =3, r 的值为 3 故选: D 【点评】 本题考查的是三角形的内切圆与内心,根据题意作出辅助线,构造出全等三角形是解答此题的关键 5 ( 2010?苏州)如图,已知A、B 两点的坐标分别为(2,0) 、 (0,2) , C 的圆心坐标为(1,0) ,半径为 1若 D 是 C 上的一个动点,线段D
19、A 与 y 轴交于点E,则 ABE 面积的最小值是() A2 B1 CD 【考点】 切线的性质;坐标与图形性质;三角形的面积;相似三角形的判定与性质 【专题】 压轴题;动点型 【分析】由于 OA 的长为定值, 若 ABE 的面积最小,则 BE 的长最短,此时 AD 与 O 相切; 可连接 CD, 在 RtADC 中,由勾股定理求得AD 的长,即可得到ADC 的面积;易证得AEO ACD ,根据相似三角形的面积比等于 相似比的平方,可求出AOE 的面积,进而可得出AOB 和AOE 的面积差,由此得解 【解答】 解:若 ABE 的面积最小,则AD 与 C 相切,连接CD,则 CDAD ; Rt A
20、CD 中, CD=1,AC=OC+OA=3 ; 由勾股定理,得:AD=2; SACD= AD ?CD=; 易证得 AOE ADC , =() 2=( ) 2= , 即 SAOE= SADC=; SABE=SAOBSAOE= 2 2=2; 另解:利用相似三角形的对应边的比相等更简单! 故选: C 【点评】 此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识;能够正确的判断出BE 面 积最小时 AD 与 C 的位置关系是解答此题的关键 6 (2013?市中区模拟)如图,已知A、B 两点的坐标分别为(8,0) 、 (0, 6) , C 的圆心坐标为(0,7) ,半径 为 5若 P是
21、C 上的一个动点,线段PB 与 x 轴交于点D,则 ABD 面积的最大值是() A63 B31C32 D30 【考点】 一次函数综合题 【分析】 当直线 BP 与圆相切时, ABD 的面积最大,易证OBD PBC,根据相似三角形的对应边的比相等即 可求得 OD 的长,则AD 的长度可以求得,最后利用三角形的面积公式即可求解 【解答】 解:当直线BP 与圆相切时,ABD 的面积最大 连接 PC,则 CPB=90 , 在直角 BCP 中, BP=12 CPB=90 DOB= CPB=90 又 DBP=CBP, OBD PBC, =, OD=PC= AD=OD+OA=+8=, SABD= AD ?O
22、B= 6=31 故选 B 【点评】 本题考查了切线的性质,以及相似三角形的判定与性质,理解ADB 的面积最大的条件是关键 7 ( 2013?枣庄)如图,已知线段OA 交 O 于点 B,且 OB=AB ,点 P 是 O 上的一个动点,那么OAP 的最大值 是() A90 B60 C45 D30 【考点】 切线的性质;含30 度角的直角三角形 【分析】 当 AP 与 O 相切时, OAP 有最大值,连结OP,根据切线的性质得OPAP,由 OB=AB 得 OA=2OP , 然后根据含30 度的直角三角形三边的关系即可得到此时OAP 的度数 【解答】 解:当 AP 与 O 相切时, OAP 有最大值,
23、连结OP,如图, 则 OPAP, OB=AB , OA=2OP , PAO=30 故选 D 【点评】 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径也考查了含30 度的直角三角形三边的关系 二填空题(共12 小题) 8 (2013?武汉)如图, E,F 是正方形ABCD 的边 AD 上两个动点,满足AE=DF 连接 CF 交 BD 于点 G,连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为2,则线段DH 长度的最小值是1 【考点】 正方形的性质 【专题】 压轴题 【分析】 根据正方形的性质可得AB=AD=CD , BAD= CDA , ADG= CDG ,然后利用 “ 边角边 ” 证明 ABE
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