中考数学专题训练——几何变换综合题.pdf
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1、最新中考数学专项练习(历年真题汇编) 专题四几何变换综合题 类型一 涉及一个动点的几何问题 (2018 长春中考 )如图,在 RtABC 中,C90 ,A30 ,AB4,动 点 P从点 A 出发,沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点B 运动过点 P作 PDAC 于点 D(点 P不与点 A,B 重合),作DPQ60 ,边 PQ交射线 DC 于 点 Q.设点 P的运动时间为 t 秒 (1)用含 t 的代数式表示线段DC 的长; (2)当点 Q 与点 C 重合时,求 t 的值; (3)设 PDQ 与 ABC 重叠部分图形的面积为S,求 S与 t 之间的函数关系式; (4)当线段 PQ 的垂直
2、平分线经过 ABC 一边中点时,直接写出t 的值 【分析】(1)先求出 AC,用三角函数求出AD,即可得出结论; (2)利用 ADDQAC,即可得出结论; (3)分两种情况,利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论; (4)分三种情况,利用锐角三角函数,即可得出结论 【自主解答】 1(2018 江西中考 )在菱形 ABCD 中,ABC60 ,点 P 是射线 BD 上一动 点,以 AP 为边向右侧作等边 APE,点 E的位置随着点 P 的位置变化而变化 (1)如图 1,当点 E 在菱形 ABCD 内部或边上时,连接CE,BP 与 CE 的数量关 系是_,CE 与 AD 的位置关系是 _; (2)
3、当点 E 在菱形 ABCD 外部时, (1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证 明;若不成立,请说明理由(选择图 2,图 3 中的一种情况予以证明或说理); (3)如图 4,当点 P 在线段 BD 的延长线上时,连接BE,若 AB2 3,BE 2 19,求四边形 ADPE 的面积 类型二 涉及两个动点的几何问题 (2018 青岛中考 )已知:如图,四边形ABCD ,ABDC,CBAB,AB 16 cm,BC6 cm,CD8 cm,动点 P从点 D 开始沿 DA 边匀速运动,动点Q 从点 A 开始沿 AB 边匀速运动,它们的运动速度均为2 cm/s.点 P和点 Q 同时出 发,以 QA,QP
4、为边作平行四边形AQPE,设运动的时间为t(s),0t5. 根据题意解答下列问题: (1)用含 t 的代数式表示 AP; (2)设四边形 CPQB 的面积为 S(cm 2),求 S 与 t 的函数关系式; (3)当 QPBD 时,求 t 的值; (4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点 E 在ABD 的平分线上?若存 在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由 【分析】(1)作 DHAB 于点 H,则四边形 DHBC 是矩形,利用勾股定理求出 AD 的长即可解决问题; (2)作 PNAB 于 N,连接 PB,根据 SSPQBSBCP计算即可; (3)当 QPBD 时,PQNDBA 90 ,Q
5、PNPQN90 ,推出 QPN DBA,由此利用三角函数即可解决问题; (4)连接 BE 交 DH 于点 K,作 KM BD 于点 M.当 BE 平分ABD 时,KBH KBM ,推出 KH KM. 作 EFAB 于点 F,则 AEFQPN,推出 EFPN, AFQN,由 KHEF 可得 KH EF BH BF ,由此构建方程即可解决问题 【自主解答】 2(2018 黄冈中考 )如图,在平面直角坐标系xOy 中,菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴正半轴上,点B,C 在第一象限, C120 ,边长 OA8.点 M 从原点 O 出 发沿 x 轴正半轴以每秒1 个单位长的速度作匀速运动,点N 从
6、 A 出发沿边 AB BCCO 以每秒 2 个单位长的速度作匀速运动,过点M 作直线 MP 垂直于 x 轴并交折线 OCB 于 P,交对角线 OB 于 Q,点 M 和点 N 同时出发,分别沿各自 路线运动,点 N 运动到原点 O 时,M 和 N 两点同时停止运动 (1)当 t2 时,求线段 PQ 的长; (2)求 t 为何值时,点 P与 N 重合; (3)设 APN 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围 类型三 图形的平移变换 (2017 扬州中考 )如图,将 ABC 沿着射线 BC方向平移至 ABC,使点 A 落在ACB 的外角平分线 CD 上,连接 AA. (1)判
7、断四边形 ACC A的形状,并说明理由; (2)在 ABC 中,B90 ,AB24,cosBAC12 13,求 CB 的长 【分析】(1)根据平行四边形的判定定理(有一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形 )知四边形ACC A是平行四边形再根据对角线平分对角的平行四边 形是菱形知四边形ACC A是菱形 (2)通过解直角 ABC 得到 AC,BC 的长度,由 (1)中菱形 ACC A的性质推知 AC AA ,由平移的性质得四边形ABB A是平行四边形,则AA BB ,所以 CB BB BC. 【自主解答】 平移变换命题的呈现形式主要有:(1)坐标系中的点、函数图象的平移问题;(2) 涉及基本图
8、形平移的几何问题;(3)利用平移变换作为工具解题其解题思路: (1)特殊点法:解题的关键是学会运用转化的思想,如坐标系中图象的平移问 题,一般是通过图象上一个关键(特殊)点的平移来研究整个图象的平移;(2)集 中条件法:通过平移变换添加辅助线,集中条件,使问题获得解决;(3)综合 法:已知条件中涉及基本图形的平移或要求利用平移作图的问题时,要注意找 准对应点,看清对应边,注意变换性质的理解和运用 3(2018 安徽中考 )如图,直线 l1,l2都与直线 l 垂直,垂足分别为M,N,MN 1.正方形 ABCD 的边长为2,对角线 AC 在直线 l 上,且点 C位于点 M 处将 正方形 ABCD
9、沿 l 向右平移,直到点 A 与点 N 重合为止记点 C平移的距离为 x,正方形 ABCD 的边位于 l1,l2之间部分的长度和为y,则 y关于 x 的函数图 象大致为 ( ) 4如图,在平面直角坐标系中, AOB 的顶点 O 为坐标原点,点A 的坐标为 (4,0),点 B 的坐标为 (0,1),点 C 为边 AB 的中点,正方形OBDE 的顶点 E 在 x 轴的正半轴上,连接CO,CD,CE. (1)线段 OC 的长为 _; (2)求证: CBDCOE; (3)将正方形 OBDE 沿 x 轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1,其中点 O,B,D, E 的对应点分别为点O1,B1,D1,E1
10、,连接 CD1,CE1,设点 E1的坐标为 (a, 0),其中 a2 , CD1E1的面积为 S. 当 1a2 时,请直接写出S与 a之间的函数解析式; 在平移过程中,当S1 4时,请直接写出 a 的值 类型四 图形的旋转变换 (2017 潍坊中考 )边长为 6 的等边ABC 中,点 D,E 分别在 AC,BC 边 上,DEAB,EC2 3. (1)如图 1,将 DEC 沿射线 EC 方向平移,得到 DEC,边 DE与 AC 的交点 为 M,边 C D与ACC 的角平分线交于点N.当 CC 多大时,四边形MCND 为 菱形?并说明理由 (2)如图 2,将DEC 绕点 C旋转(0 AC ,其他条
11、件不变,小明发现的上述结论还 成立吗?请说明理由 (3)深入探究:如图3,小明在 (2)的基础上,又作了进一步探究,向 ABC 的内 侧分别作等腰直角三角形ABD ,ACE.其他条件不变,试判断 GMN 的形状, 并给予证明 【分析】(1)利用 SAS 判断出 AEB ACD ,得出EBCD,AEB ACD,进而判断出 EBCD,最后用三角形中位线定理即可得出结论; (2)同(1)的方法即可得出结论; (3)同(1)的方法得出MGNG,最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得 出结论 【自主解答】 8(2018 日照中考 )问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个 性质:在直角三角形
12、中,如果一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等于斜 边的一半即:如图1,在 RtABC 中,ACB90 ,ABC30 ,则 AC 1 2AB. 探究结论:小明同学对以上结论作了进一步探究 (1)如图 1,连接 AB 边上中线 CE,由于 CE 1 2AB,易得结论: ACE 为等 边三角形; BE 与 CE 之间的数量关系为 _; (2)如图 2,点 D 是边 CB 上任意一点,连接AD,作等边 ADE,且点 E 在 ACB 的内部,连接 BE.试探究线段 BE 与 DE 之间的数量关系,写出你的猜想并 加以证明; (3)当点 D 为边 CB 延长线上任意一点时,在(2)条件的基础上,线段B
13、E 与 DE 之间存在怎样的数量关系?请直接写出你的结论_; 拓展应用:如图3,在平面直角坐标系xOy 中,点 A 的坐标为 ( 3,1),点 B 是 x 轴正半轴上的一动点,以AB 为边作等边 ABC.当 C 点在第一象限内,且 B(2,0)时,求 C 点的坐标 参考答案 类型一 【例 1】 (1)在 RtABC 中,A30 ,AB4, AC2 3. PDAC,ADPCDP90 . 在 Rt ADP 中,AP2t, DPt,AD 3t,CDACAD2 33t(0t2) (2)在 Rt PDQ 中, DPQ60 ,PQD30 A,PAPQ. PDAC,ADDQ. 点 Q 和点 C 重合, AD
14、DQAC,2 3t2 3,t1. (3)当 0t 1 时,SSPDQ 1 2DQ DP 1 2 3t t 3 2 t2. 如图,当 1t2 时, CQAQAC2ADAC 2 3t2 32 3(t1) 在 Rt CEQ 中,CQE30 , CECQ tanCQE2 3(t1) 3 3 2(t1), SSPDQSECQ 1 2 3t t 1 2 2 3(t1) 2(t1) 3 3 2 t24 3t2 3, S 3 2 t2(0t 1), 3 3 2 t24 3t2 3(1t2). (4)如图,当 PQ 的垂直平分线过AB 的中点 F 时, PGF90 ,PG1 2PQ 1 2APt,AF 1 2A
15、B2. AAQP30 , FPG60 ,PFG30 ,PF2PG2t, APPF2t2t2, t1 2. 如图,当 PQ的垂直平分线过 AC 的中点 N 时, QMN90 , AN1 2AC 3, QM 1 2PQ 1 2APt. 在 Rt NMQ 中,NQ MQ cos 30 2 3 3 t. ANNQAQ,32 3 3 t2 3t, t3 4. 如图,当 PQ的垂直平分线过 BC 的中点 F 时, BF 1 2BC1,PE 1 2PQt,H30 . ABC60 , BFH30 H, BHBF1. 在 Rt PEH 中,PH2PE2t. AHAPPHABBH,2t2t5, t5 4. 即当线
16、段 PQ的垂直平分线经过 ABC 一边中点时, t 的值为 1 2或 3 4或 5 4 . 变式训练 1解: (1)BPCECEAD 提示:如图,连接AC. 四边形 ABCD 是菱形, ABC60 , ABC, ACD 都是等边三角形, ABDCBD30 ,ABAC. 又APE 是等边三角形, APAE,BACPAE60 ,BAPCAE, BAPCAE, BPCE,ABPACE30 . 延长 CE 交 AD 于点 H. CAH60 , CAHACH90 , AHC90 ,即 CEAD. (2)结论仍然成立 理由:如图,连接AC 交 BD 于点 O,设 CE 交 AD 于点 H. 四边形 ABC
17、D 是菱形, ABC60 , ABC, ACD 都是等边三角形, ABDCBD30 , ABAC. APE 是等边三角形, APAE,BACPAE60 , BAPCAE, BAPCAE, BPCE,ABPACE30 . CAH60 ,CAHACH90 , AHC90 ,即 CEAD. 也可选用图 3 进行证明,方法同上 (3)如图,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 CE 交 AD 于点 H, 由(2)可知 ECAD,CEBP. 在菱形 ABCD 中,AD BC, ECBC. BCAB2 3,BE2 19, 在 Rt BCE 中, EC(2 19) 2(2 3)28, BPCE8. AC 与
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