中考数学总复习-有理数、统计、概率-超级强度训练--理科尖子必备2013.4.21.pdf
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1、卓越个性化教案 GFJW0901 学生姓名邱年级 初三授课时间2013.4.28 教师姓名刘课时2 课题有理数、统计、概率 教学目标掌握有理数一些基本概念和性质、概率分析的方法 重点 有理数的性质、概率问题的分析方法 难点 概率问题的分析方法 一、知识点: (一)有理数: (1) 凡能写成)0pq,p( p q 为整数且形式的数,都是有理数. 正整数、 0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分 数;整数和分数统称有理数.注意: 0 即不是正数,也不是负数;-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;不是 有理数; (2) 有理数的分类: 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有
2、理数 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 (3) 注意:有理数中,1、0、-1 是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这 四个区域的数也有自己的特性; (4) 自然数 0 和正整数; a0 a 是正数; a0 a 是负数; a0 a 是正数或0 a 是非负数; a 0 a 是负数或0 a 是非正数 . 2数轴: 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3相反数: (1) 只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0 的相反数还是0; (2) 注意: a-b+c的相反数是 -a+b-c ;a-b 的相反数是b-a ;a+b 的
3、相反数是 -a-b ; (3) 相反数的和为0 a+b=0 a 、b 互为相反数 . (相反数的证明) 4. 绝对值: (1) 正数的绝对值是其本身,0 的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某 数的点离开原点的距离; (2) 绝对值可表示为: )0a(a )0a(0 )0a(a a或 )0a(a )0a(a a;绝对值的问题经常分类讨论; (3)0a1 a a ;0a1 a a ; (4)|a|是重要的非负数,即|a| 0;注意: |a| |b|=|ab|, b a b a . 5. 有理数比大小: (1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0 大,
4、负数永远比0 小; (3)正数大于 一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小; (5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大; (6) 大数 -小数 0,小数 - 大数 0. 卓越个性化教学讲义 2 6. 互为倒数: 乘积为 1 的两个数互为倒数;注意: 0 没有倒数;若a0,那么 a 的倒数是 a 1 ;倒数是本身的数是 1;若 ab=1 a 、b 互为倒数;若ab=-1 a 、b 互为负倒数 . 7. 有理数加法法则: (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; (2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; (3)一个数与0 相加,仍得这个数.
5、 8有理数加法的运算律: (1)加法的交换律:a+b=b+a; ( 2)加法的结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 9有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+( -b). 10 有理数乘法法则: (1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘; (2)任何数同零相乘都得零; (3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律: (1)乘法的交换律:ab=ba; (2)乘法的结合律: (ab)c=a(bc) ; (3)乘法的分配律:a( b+c)=ab+ac . 12有理数除法法则:除以一个数等于
6、乘以这个数的倒数;注意 :零不能做除数,无意义即 0 a . 13有理数乘方的法则: (1)正数的任何次幂都是正数; (2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:当n 为正奇数时 :(-a) n=-an 或(a -b) n=-(b-a)n, 当 n 为 正偶数时 :(-a) n =an 或(a-b) n=(b-a)n. 14乘方的定义: (1)求相同因式积的运算,叫做乘方; (2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂; (3)a 2 是重要的非负数,即a 2 0;若 a2+|b|=0 a=0,b=0 ; (4)据规律 10010 11 01.01.0 2
7、 2 2 底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位. 15科学记数法:把一个大于10 的数记成a10 n 的形式,其中a 是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学 记数法 . 16. 近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位. 17. 有效数字: 从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字. 18. 混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减;注意:怎样算简单,怎样算准确,是数学计算的最重要的原则. 19. 特殊值法: 是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法, 但不能用于证明. 有理数运算的技巧: 卓越
8、个性化教学讲义 3 一、 归类运算 进行有理数的加减运算时,运用交换律、结合律归类加减,常常可以使运算简捷如整数与整数结合、如分 数与分数结合、同分母与同分母结合等 例 1 计算: (0.5)(3 4 1 ) + 2.75 (7 2 1 ) 解法一: (0.5)(3 4 1 ) + 2.75 (7 2 1 ) = (0.5 + 2.75) + (3 4 1 7 2 1 ) = 2.254 4 1 =2 解法二: (0.5)(3 4 1 ) + 2.75 (7 2 1 ) =0.5 + 3 4 1 + 2.757 2 1 = (3 + 2 7 ) + ( 0.5 + 4 1 + 0.75 2 1
9、 = 2 评析:解法一是小数与小数相结合,解法二整数与整数结合,这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运 算问题同学们遇到类似问题时,应学会灵活选择解题方法 二、 凑整求和 将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加),可以降低解题难度,提高解题效率 例 2 计算: 19299399949999 解: 19299399949999 =2013001 40001500001 = (20300400050000) 4 = 543204 = 54316 在有理数的运算中,为了计算的方便,常把非整数凑成整数,一般凑成整一、整十、整百、整千等数,这样 便于迅速得到答案 三、 变换顺序 在
10、有理数的运算中,适当改变运算顺序,有时可以减少运算量,在具体运算过程中,技巧是恰到好处地运用 交换率、结合律和分配律等运算律简化运算 例 3 计算: 4 12 5 ( 7 1 )( 7 2 )6 12 7 解:412 5 ( 7 1 )( 7 2 )6 12 7 = 4 12 5 ( 7 1 )( 7 2 )6 12 7 = 4 12 5 6 12 7 ( 7 2 )( 7 1 ) = 11( 7 3 ) = 10 7 4 评析:在运算前,首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等,适当交换一下各数的位置,达到简化 运算、快速解题的目的 四、 逆用运算律 在处理有理数的数字运算中,若能根据题
11、目所显示的结构、关系特征,对此加以灵活变形,便可巧妙地逆用 分配律,使解题简洁明快 例 4 计算: 17.4837174.81.98.7488 解: 17.4837 174.81.98.7488 =17.4837(17.4810)1.9 17.4844 =17.48 3717.481917.4844 = 17.48(37 1944) 卓越个性化教学讲义 4 = 1748 评析:很明显,灵活变形,逆用分配律,减少了运算量,提高了解题效率 五、 巧拆项 把一项拆成两项的和或积,使得算式可以消去某些项,使运算简捷 例 5 计算 2005 2004 2003 1001 1002 1001 解: 200
12、5 2004 2003 1002 10011001 = (20041) 2004 2003 (10021) 1002 1001 = (20031001)( 2004 2003 1002 1001 ) =1003 2004 2001 评析:对于这些题目结构复杂,长度较大的数, 用常规的方法不易解决解这类问题要根据题目的结构特点, 找出拆项规律,灵活巧妙地把问题解决 六、 变量替换 通过引入新变量转化命题结构,这样不但可以减少运算过程,还有利于寻找接题思路,其中的新变量在解题 过程中起到桥梁作用 例 6 计算 5 1 2 7 6 9) 3 2 3 4 1 7(125.0 3 2 3 4 1 7 (
13、0.125 3 2 3 4 1 7 5 1 2 7 6 9 ) 解:设 a = 3 2 3 4 1 7,b = 0.125,c = 5 1 2 7 6 9,则 5 1 2 7 6 9) 3 2 3 4 1 7(125. 0 3 2 3 4 1 7 (0.125 3 2 3 4 1 7 5 1 2 7 6 9 ) = cab a (b a c ) = cab a a cab = 1 评析:此题横看纵看都显得比较复杂,但若仔细观察, 整个式子可分为三个部分: 3 2 3 4 1 7, 0.125, 5 1 2 7 6 9, 因此,采用变量替换就大大减少了计算量 七、 分组搭配 观察所求算式特征,巧
14、妙运用分组搭配处理,可以简化运算 例 7 计算: 234567 89 66676869 解: 2 3456789 666768 69 = (2345)(6789) (66676869) = 000 0 = 0 卓越个性化教学讲义 5 评析:这种分组运算的过程,实质上是巧妙地添括号或去括号问题 八、 倒序相加 在处理多项式的加减乘除运算时,常根据所求式结构,采用倒序相加减的方法把问题简化 例 8 计算 2 1 ( 3 1 3 2 )( 4 1 4 2 4 3 )( 5 1 5 2 5 3 5 4 ) ( 60 1 60 2 60 58 60 59 ) 解:把式括号内倒序后,得: 2 1 ( 3
15、2 3 1 )( 4 3 4 2 4 1 )( 5 4 5 3 5 2 5 1 ) ( 60 59 60 58 60 2 60 1 ), 得: 1234 58 59 = 1770, 2 1 ( 3 1 3 2 )( 4 1 4 2 4 3 ) ( 5 1 5 2 5 3 5 4 ) ( 60 1 60 2 60 58 60 59 ) = 2 1 (1770) = 885 评析:显然,此类问题是不能“硬算”的,倒序相加可提高运算速度,降低复杂程度 九、 添数配对 例 9 计算 111921993 19994 1999951999996199999971999999981999999999 解:添
16、上98 7654321,依次与各数配对相加,得: 11 1921993199941999951999996 199999971999999981999999999 = 20200210 3 210 4 210 9 (987 654321) = 222222222045 = 2222222175 评析:添数配对实质上也是一种凑整运算 十、 整体换元 对于较复杂的算式直接运算很困难,若能抓住其特征,运用整体运算的思维,创造性地加以解决,就能收到 事半功倍的效果 例 10 计算 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 解;设 1 2 1 4 1 8 1 16
17、 1 32 1 64 1 128 1 256 1 = x, 则 ( 2 1 ),得 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 512 1 = 2 1 x, ,得1 512 1 = 2 3 x,解得 x = 256 171 ,故 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 = 256 171 评析:整体换元可以避开局部细节的麻烦,它利用前后项之间的倍数关系,使用的是错位相加法 (二)统计和概率 数据的分析 数据的代表:平均数、众数、中位数、极差、方差 1.平均数 当给出的一组数据,都在某一常数a 上下波动时,一般选用简化平
18、均数公式,其 中 a 是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;? 当所给一组数据中有重复多次出现的数据,常选 卓越个性化教学讲义 6 用加权平均数公式。 2.众数与中位数 平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有 关,任何一个数的波动都会引起平均数的波动,当一组数据中有个数据太高或太低,用平均数来描 述整体趋势则不合适,用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关,个别数据的波动对中位 数没影响;当一组数据中不少数据多次重复出现时,可用众数来描述。 3.极差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围,用这种方法得到 的差称为极差,极
19、差最大值最小值。 统计初步与概率初步 考点一、平均数(3 分) 1、平均数的概念 (1)平均数:一般地,如果有n 个数, 21n xxx那么,)( 1 21n xxx n x叫做这 n 个数的平均数,x 读作“ x 拔” 。 (2)加权平均数: 如果 n 个数中, 1 x出现 1 f次, 2 x出现 2 f次, k x出现 k f次(这里nfff k21 ) , 那么,根据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为 n fxfxfx x kk2211 ,这样求得的平均数x叫做 加权平均数,其中 k fff, 21 叫做权。 2、平均数的计算方法 (1)定义法 当所给数据, 21n xxx比较分
20、散时,一般选用定义公式:)( 1 21n xxx n x (2)加权平均数法: 当所给数据重复出现时,一般选用加权平均数公式: n fxfxfx x kk2211 ,其中nfff k21 。 (3)新数据法: 当所给数据都在某一常数a 的上下波动时,一般选用简化公式:axx。 其中,常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数,axx 11 ,axx 22 ,axx nn 。 )( 1 21n xxx n x是新数据的平均数(通常把, 21n xxx叫做原数据,, 21n xxx叫做新数据) 。 考点二、统计学中的几个基本概念(4 分) 1、总体 所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体 总体
21、中每一个考察对象叫做个体。 3、样本 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 卓越个性化教学讲义 7 4、样本容量 样本中个体的数目叫做样本容量。 5、样本平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 6、总体平均数 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。 考点三、众数、中位数(35 分) 1、众数 在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 2、中位数 将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位 数。 考点四、方差(3 分) 1、方差的概念 在一组数据, 21n xxx中,各
22、数据与它们的平均数x的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差。通常用“ 2 s” 表示,即 )()()( 122 2 2 1 2 xxxxxx n s n 2、方差的计算 (1)基本公式: )()()( 122 2 2 1 2 xxxxxx n s n (2)简化计算公式() : )( 1 2 22 2 2 1 2 xnxxx n s n 也可写成 2 22 2 2 1 2 )( 1 xxxx n s n 此公式的记忆方法是:方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 (3)简化计算公式() : )( 1 2 22 2 2 1 2 xnxxx n s n 当一组数据中的数据较大时,可以依照简化
23、平均数的计算方法,将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的 常数 a,得到一组新数据axx 11 ,axx 22 ,axx nn ,那么, 2 22 2 2 1 2 )( 1 xxxx n s n 此公式的记忆方法是:方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。 (4)新数据法: 原数据, 21n xxx的方差与新数据axx 11 ,axx 22 ,axx nn 的方差相等,也就是说,根 据方差的基本公式,求得, 21n xxx的方差就等于原数据的方差。 3、标准差 方差的算数平方根叫做这组数据的标准差,用“s”表示,即 )()()( 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n ss
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