数学实验[—用计算机做数学].ppt
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1、数 学 实 验,用计算机做数学,科学实验 根据一定目的,运用仪器、设备等物质手段,在人为控制的条件下模拟自然现象,以认识自然界事物的本质和规律为目的和任务。,数学实验 以数据、图形等为“思想材料”,以计算机为手段,以数学软件为实验平台,通过对数学问题和实际问题的探索,得到相应问题的解,并进行计算机模拟。,【主要内容】首先介绍如何利用MATHEMATICA求解微分方程,然后讨论与微分方程相关的几个问题:微分方程的线素场、欧拉方法、最陡下降法、微分方程的稳定性。 【主要目的】本实验将借助MATHEMATICA研究与一阶常微分方程相关的几个问题,让我们了解几类微分方程模型、利用MATHEMATICA
2、求解微分方程的方法以及通过几何直观和数值计算的方法了解微分方程解的性态。,第二讲 微分方程实验,牛顿最早研究天体的运动规律时,假定行星是各自独立的对象,只受到太阳引力的作用,因此牛顿的分析只涉及两个对象,这类问题统称为“二体问题”.牛顿采用数学方法研究二体问题时,需要求解的运动方程就是微分方程. 1864年英国数学家勒维耶由引力定律建立了一个微分方程模型,经严密分析后断定了海王星的存在性,并确定了海王星在天空中的位置.,利用MATHEMATICA解微分方程,DSolveyx=fx,yx,yx,x,求一阶微分方程 的特解,DSolveyx =fx,yx,yx0=y0,yx,x,求一阶微分方程 的
3、通解,例1 利用MATHEMATICA求微分方程 的通解及在初始条件 下的特解.,DSolveyx=(1+x2) yx,yx,x DSolveyx=(1+x2) yx,y0=1,yx,x,s=DSolveyx=(1+x2) yx,y0=1,yx,x; yx_=yx/.s1,1,Plotyx,x,-1,2,微分方程的积分曲线,求一阶微分方程组 的通解,DSolvext=ft,xt,yt,yt=gt,xt,yt, xt,yt,t,求一阶微分方程组 的特解,DSolvext=ft,xt,yt,yt=gt,xt,yt, xt0=x0,yt0=y0,xt,yt,t,例2 利用Mathematica求微分
4、方程组 的通解和在初始条件 下的特解.,DSolvext=3xt-2yt,yt=2xt-yt, xt,yt,t DSolvext=3xt-2yt,yt=2xt-yt, x0=1,y0=0,xt,yt,t,轨线,解曲线,s=DSolvext=3xt-2yt,yt=2xt-yt, x0=1,y0=0, xt,yt,t ; xt_=xt/.s1,1; yt_=yt/.s1,2; f1=ParametricPlot3D 0,xt,yt,t,0,1 f2=ParametricPlot3D t,xt,yt,t,0,1 Showf1,f2,NDSolveyx=fx,yx,yx0=y0,yx,x,x0,x1,
5、求一阶微分方程 的数值解,例3 求黎卡提(Riccati)方程 在初始条件 下的数值解.,NDSolveyx=x2+yx2,y0=0.5,yx,x,0,1,实验一:磁场的分布微分方程的线素场,磁力线演示,磁力线是用来形象地描述磁场状态的一种工具,以力线上某一点的切线方向表示该点的磁场强度的方向,以力线的疏密程度表示磁场的强度。,斜率,方程 的积分曲线与线素,积分曲线,由MATHEMATICA描绘方程的线素场(方向场),ClearAllf,h directionalFieldf_,x_,xmin_,xmax_,y_,ymin_,ymax_,m_,n_,h_,opts_:= Modules,s1,
6、x,y,a,b,k,i,j,lines, s=Solvey-b=k (x-a),(x-a)2+(y-b)2=h2,x,y/Simplify; s1=Flattens; xa_,b_,k_=x/.s14; ya_,b_,k_=y/.s13; h1=(xmax-xmin)/m; h2=(ymax-ymin)/n; a=xmin+i h1;b=ymin+j h2; k=f/.xa,yb; lines=TableLinea,b,xa,b,k,ya,b,k,i,0,m,j,0,n; ShowGraphicslines,opts,Axes-Automatic,AspectRatio-Automatic,这
7、是一个通用程序,只要给定右端函数,线素场的区域和选取点的个数,就可自动生成该方程对应的线素场.,fx_,y_:=x2+y2-1 directionalFieldfx,y,x,-2,2,y,-2,2,20,20,0.1,在平面 和 处分别放置两个正、负单位电荷,则它们在平面上产生一磁场.,磁场的分布图,实验二:炮弹飞行的轨迹欧拉方法,考虑初值问题,取一列点 ,记 则有,欧拉(Euler)方法,用欧拉方法和MATHEMATICA求微分方程近似解,ClearAllf eulerf_,x_,x0_,x1_,h_,y_,y0_, opt_:= Modulepoints,y0=y0;xn_:= x0+n
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