数学建模讲义_微分方程模型.ppt
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1、数学建模讲义,微分方程模型,微分方程模型,1、人口预报问题,3、作战模型,4、捕食问题,5、火箭发射问题,2、传染病问题,6、药物吸收、真假绘画作品鉴定、交通管理/堵塞问题,0、简例,趣题,下图是一个物体的顶部和前部视图,物体的侧视图?,例1 (理想单摆运动)建立理想单摆运动满足的微分方程,并得出理想单摆运动的周期公式。,从图3-1中不难看出,小球所受的合力为mgsin,根据牛顿第二定律可得:,这是理想单摆应满足的运动方程,(a)是一个两阶非线性方程,不易求解.当很小时,sin, 此时,可考察(a)的近似线性方程:,由此即可得出,(a) 的近似方程,例2 市场价格模型 对于纯粹的市场经济来说,
2、商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程. 建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型。,假设在某一时刻 t, 商品的价格为 p(t), 它与该商品的均衡价格间有差别, 此时, 存在供需差, 此供需差促使价格变动. 对新的价格, 又有新的供需差, 如此不断调节, 就构成市场价格形成的动态过程, 假设价格p(t)的变化率dp/dt 与需求和供给之差成正比
3、, 并记 f(p) 为需求函数, g(p) 为供给函数, 于是,其中 为参数. 一般我们假设需求与价格呈负线形关系,而供给与价格呈正线性关系,故可设 , 则上式变为,其中 均为正常数,其通解为,令 ,得 ,这就是(静态) 均衡价格,显然它满足 即供需到达平衡。初始价格高于均衡价格时, 动态价格就要逐步降低, 且单调趋近均衡价格; 初始价格低于均衡价格时, 动态价格就要逐步升高, 单调趋近均衡价格. 进一步还可以分析出, 若初始价格等于均衡价格, 整个动态价格应保持不变.,为了保持自然资料的合理开发与利用,人类必须保持并控制生态平衡,甚至必须控制人类自身的增长。 这里针对单种群增长模型,简略分析
4、一下这方面的问题。一般复杂生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究,大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。,美丽的大自然,种群的数量本应取离散值,但由于种群数量一般较大,可将种群数量看作连续变量,甚至允许它为可微变量,由此引起的误差将是十分微小的,讨论其变化率,建立微分方程模型!,离散化为连续,方便研究,建模示例1 如何预报人口的增长 Malthus模型与Logistic模型,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,模型一:指数增长模型(Malthus模型 ),常用的计算公式,马尔萨斯(1788-1834)提出的指数增长模型(1798
5、),x(t) 时刻t人口,r 人口(相对)增长率(常数),今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加人口按指数规律无限增长!,模型检验,比较历年的人口统计资料,可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符,例如,1961年世界人口数为30.6 (即3.06109),人口增长率约为2%,人口数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数量,发现两者几乎完全一致,且按马氏模型计算,人口数量每34.6年增加一倍,两者也几乎相同。,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理,到总数增大时,生物群体的各成员之间由于有限的生存空间,有限的自然资源及
6、食物等原因,就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数,它应当与人口数量有关。,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,模型2 Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关,即: r=r(N),r(N)是未知函数,但根据实际背景,它无法用拟合方法来求 。,为了得出一个有实际意义的模型,我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时,总是采用尽可
7、能简单的方法。,r(N)最简单的形式是常数,此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项(竞争项),模型2 Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关,即: r=r(N),(*)被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律,是由荷兰数学生物学家弗赫斯特(Verhulst)首先提出的。一次项系数是负的,因为当种群数量很大时,会对自身增大产生抑制性,故一次项又被称为竞争项。,模型2 Logistic模型,该式还有另一解释,由于空间和资源都是有限的,不可能供养无限增长的种群个体,当种群数量过多时,由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因,出生率将
8、降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K(近似地将K看成常数),N表示当前的种群数量,K-N恰为环境还能供养的种群数量,该式指出,种群增长率与两者的乘积成正比,正好符合统计规律,得到了实验结果的支持,这就是该式也被称为统计筹算律的原因。,求解分离变量:,两边积分并整理得:,令N(0)=N0,求得:,N(t)的图形请看右图,模型的参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报, 必须先估计模型参数 r 或 r, K,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例:美国人口数据(单位百万),专家估计,模 型 检 验(1),用模型预报1990年美国人口,与实际数据比较,实际为251.4 (百万)
9、,模 型 应 用人 口 预 报,用美国17901990年人口数据重新估计参数,Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),实际: 282.4 310.4,大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长,效果还是相当不错的。例如,高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管,他发现,开始时草履虫以每天230.9%的速率增长,此后增长速度不断减慢,到第五天达到最大量375个,实验数据与r=2.309,a=0.006157,N(0)=5的Logistic曲线: 几乎完全吻合。,CFGauss,Malthus模型和Logistic模型的总结,Malthus模型和Lo
10、gistic模型均为对微分方程(*)所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数,(r被称为该种群的内禀增长率)。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群,从而引入了一个竞争项。,用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验,看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好,否则就得找出不相符的主要原因,对模型进行修改。,Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的,但它们也可用来研究其他实际问题,只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。,模型3:人口发展方程,其中t时间段、r年龄;,t 时刻的人口年龄 r 密度
11、函数,t时刻、r年龄的人口相对死亡率(可统计量),t时刻的单位时间出生的婴儿数(可控量),偏微分方程模型,基本关系式,江苏省人口统计,作业:设法查找一部分人口数据(国家(内外)、地方皆可),或有限区域内的某一种群数据,进行建模预报,并与实际数据比较,希望进一步改进模型。,作业格式一篇较完整的论文!(格式见下),难题解答,物体的侧视图,建模的论文参考结构:,1、摘要问题、模型、方法、结果,2、问题重述,4、分析与建立模型,5、模型求解,6、模型检验,7、模型推广,8、参考文献,9、附录,3、模型假设,建模示例二:传染病模型,模型1 最简单模型(早期模型) 假设1:每个病人在单位时间内传染的人数是
12、常数r; 假设2:不考虑死亡问题;,问题分析: 记x(t)表示t时刻病人数, 且初始病人数x(0)=x0;,则t, t+t时间段内增加的病人数为:,得到微分方程:,模型评价: 与传染初期比较吻合,以后的误差大。,模型2 中期模型 假设1:每个病人在单位时间内传染的人数与未被传染的人数成正比r; 假设2:不考虑死亡问题; 假设3:总人数有限,问题分析: 记x(t)表示t时刻病人数, 且初始病人数x(0)=x0; y(t)为t时 刻未被传染的人数; 总人数为n, 即x(t) y(t)=n.,则t, t+t时间段内增加的病人数为:,得微分方程:,模型分析评价:,1. 不加控制,则最终人人得病;,2.
13、 计算传染高峰期t1:,说明: 人口n越多、传染强度r越大,高峰来得越早!,缺点: 没有考虑治愈问题和免疫问题。,模型3 精确模型 假设1:研究对象分成三类:传染源x(t)、敏感群y(t) 和免疫群z(t); 假设2:单位时间内每个传染源传染的人数与敏感群的人数成正比; 假设3:单位时间内传染源康复为免疫群的人数正比与传染源人数; 假设4:不考虑死亡且总人数有限。,问题分析: 记a传染率, b康复率; 初始条件为:,得微分方程:,解此微分方程组:,是非线性方程组,不易求解,变形以y为自变量:,结论: 当yb/a时,传染源减少直至平息; 当yb/a时,传染源先增加再减少直至平息; 控制y非常关键
14、研制疫苗、增强体质; 增大b/a也非常关键隔离、治愈 ;,数值分析法!,建模示例三:作战模型,Lanchester战斗模型 设x部队和y部队相互交战,x(t)和y(t)分别是两部队在t时刻的战斗力,其连续可导。,战斗力的变化率后勤补给率自然损失率对方的杀伤率,常规战,游击对常规战,游击战,损失率,后勤补给,双方战斗力,开始时双方战斗力,战斗时刻,为讨论方便,简化模型为:,常规战,1. 常规战平方律,结论:常规战胜负取决于开战前力量(人数)对比,且此比值平方放大。 集中优势兵力(三大战役),射击率,命中率,简化模型为:,游击战,2. 游击战线性律,结论:战前力量对比与队员活动面积对比同样重要.,
15、射击率,一次射击的有效面积,游击队员的活动面积,简化模型为:,游击战,3. 游击队常规部队(抛物律),结论:该模型适合以弱胜强.,射击率,一次射击的有效面积,游击队员的活动面积,举例:游击甲方x兵力100,命中率0.1, 活动范围0.1平方公里,射击率是正规乙方的一半,乙方每次有效射击面积1平方米,则乙方取胜需要兵力y0:,需10倍的兵力!,模型检验:1) 1954年J. H. Engel用常规战模型分析了美日硫磺岛战役,结果与美方战地记录吻合! 2) 游击常规战应用越南战争美国撤军:,1968年美方兵力只有6倍,且只能增援到6.7倍,故没有增援,而于1973年撤军。,军备竞赛博弈微分方程模型
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