《人教版八年级数学下册第04课正方形性质与判定同步练习题.docx.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教版八年级数学下册第04课正方形性质与判定同步练习题.docx.pdf(15页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、初中数学试卷 鼎尚图文 * 整理制作 第 04课 正方形性质与判定同步练习题 【例 1】如图 ,四边形 ABCD 、DEFG 都是正方形 ,连接 AE、CG. (1)求证: AE=CG ; (2)观察图形 ,猜想 AE 与 CG 之间的位置关系,并证明你的猜想. 【例 2】如图 ,四边形 ABCD 是正方形 ,BEBF,BE=BF,EF 与 BC 交于点 G (1)求证: AE=CF ; (2)若 ABE=55 ,求 EGC 的大小 【例 3】正方形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,E 为 BD 上一点 ,延长 AE 到点 N,使 AE=EN, 连接 CN、CE (1)求证: A
2、E=CE (2)求证: CAN 为直角三角形 (3)若 AN=4,正方形的边长为6,求 BE 的长 【例 4】 如图 ,ABC 中,点 O 是边 AC 上一个动点 ,过 O 作直线 MN BC,设 MN 交 BCA 的平分线于点E,交 BCA 的外角平分线于点F (1)探究:线段OE 与 OF 的数量关系并加以证明; (2)当点 O 在边 AC 上运动时,四边形BCFE 会是菱形吗?若是,请证明;若不是,则说明理由; (3)当点 O 运动到何处,且ABC 满足什么条件时,四边形AECF 是正方形? 【例 5】在正方形ABCD 中,点 E,F 分别在边BC,CD 上,且 EAF= CEF=45
3、(1)将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转90,得到 ABG (如图) ,求证: AEG AEF; (2)若直线EF 与 AB,AD 的延长线分别交于点M,N (如图) ,求证: EF 2=ME2+NF2; (3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变 (如图) ,请你直接写出线段EF,BE,DF 之间数量关系 课堂同步练习 一、选择题 1、下列对正方形的描述错误的是( ) A正方形的四个角都是直角B正方形的对角线互相垂直 C邻边相等的矩形是正方形D对角线相等的平行四边形是正方形 2、已知四边形ABCD ,下列说法正确的是() A当 AD=BC ,ABDC 时,四边形ABCD 是平行四边
4、形 B当 AD=BC ,AB=DC 时,四边形ABCD 是平行四边形 C当 AC=BD ,AC 平分 BD 时,四边形ABCD 是矩形 D当 AC=BD ,ACBD 时,四边形ABCD 是正方形 3、如图 ,在 ABC 中, ACB90,BC 的垂直平分线EF 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,且 BEBF.添加下列一个条 件,仍不能证明四边形BECF 为正方形的是( ) A.BC AC B.CFBF C.BDDF D.AC BF 第 3 题图第 4 题图第 5 题图 4、如图,在正方形ABCD 外侧,作等边三角形ADE ,AC,BE 相交于点F,则 BFC 为 ( ) A75B60C
5、55D45 5、将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD, 转动这个四边形,使它形状改变,当 B 90时 , 如图 1,测得 AC2,当 B 60时,如图2,AC( ) A.B2 C.D2 6、在正方形ABCD 中, AB12,对角线AC, BD 相交于点O,则 ABO 的周长是 ( ) A1212B26C 12D246 第 6题图第 7 题图第 8 题图 7、如图,边长为1 的正方形ABCD 绕点 A 逆时针旋转45 度后得到正方形ABCD,边 BC与 DC 交于 点 O,则四边形ABOD 的周长是() A2B3 CD1+ 8、如图, E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角
6、线BD 上一点 ,且 BE=BC,P 为 CE 上任意一点 ,PQ BC 于点 Q,PR BE 于点 R,则 PQ+PR 的值为() A. B. C. D. 9、 如图 ,正方形 ABCD 的面积为 12,ABE 是等边三角形,点 E在正方形 ABCD 内,在对角线 AC上有一点 P,使 PD+PE 的和最小 ,则这个最小值为() A.B.C.D. 第 9题图第 10 题图 10、 小明和小凡是同班同学,被分到了同一个学习小组.在一次数学活动课上,他们各自用一张面积为100cm 2 的正方 形纸片制作了一副七巧板,并合作完成了如图所示的作品.请计算图中打圈部分的面积是( ) A.12.5cm
7、2 B.25cm 2 C.37.5cm 2 D.50cm 2 11、 如图 ,边长 12 的正方形ABCD 中 ,有一个小正方形EFGH ,其中 E、F、 G 分别在 AB、BC、FD 上.若 BF=3, 则小正方形的边长为() A.B.C.5 D.6 第 11 题图第 12 题图 12、如图 ,正方形 ABCD 边长为 6,点 E、F 分别在 AB,AD 上,若 CE=,且 ECF=45 ,则 CF 长为() A.B.C.D. 二、填空题 : 13、已知 E 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点 ,AE=AD, 过点 E 作 AC 垂线 ,交 CD 于 F,那么 FAD=_ 度 14、如
8、图 ,点 E 在正方形ABCD 的边 CD 上.若 ABE 的面积为8,CE=3,则线段 BE 的长为 第 14 题图第 15题图第 16 题图 15、如图 ,点 E 在正方形ABCD 的边 CD 上.若 ABE 的面积为8,CE=3,则线段 BE 的长为 16、 如图,已知正方形ABCD 的边长为4, 对角线 AC 与 BD 相交于点O, 点 E 在 DC 边的延长线上 若 CAE=15 ,则 AE= 17、如图 ,RtABC 中,C=90,以斜边 AB 为边向外作正方形ABDE, 且正方形对角线交于点O,连接 OC,已知 AC=5,OC=6,则另一直角边BC 的长为 第 17 题图第 18
9、题图第 19 题图 18、如图 ,正方形 ABCD 中,点 E、F 分别是 BC、CD 边上的点 ,且 EAF=45 ,对角线 BD 交 AE 于点 M,交 AF 于 点 N.若 AB=4,BM=2, 则 MN 的长为 19、如图 ,已知正方形ABCD 边长为 1,EAF=45 ,AE=AF. 则有下列结论: 1=2=22.5;点C 到 EF 的距离是; ECF 的周长为 2; BE+DF EF 其中正确的结论是(写出所有正确结论的序号) 20、 如图 ,已知正方形ABCD 边长为 3,点 E 在 AB 边上且 BE=1,点 P,Q 分别是边BC,CD 的动点(均不与顶点重合) , 当四边形A
10、EPQ 的周长取最小值时,四边形 AEPQ 的面积是 三、简答题: 21、如图 ,已知点 E 使正方形ABCD 的边 CD 上一点 ,点 F是 CB 的延长线上一点,且 DE=BF. 求证: EA AF 22、如图正方形ABCD 的边长为4,E、F 分别为 DC、 BC 中点 (1)求证: ADE ABF( 2)求 AEF 的面积 23、如图 ,在 Rt ABC 中, C=90,BD 是 ABC 的一条角平分线.点 O、E、F 分别在 BD 、BC、AC 上,且四边形 OECF 是正方形 (1)求证:点O 在 BAC 的平分线上;(2)若 AC=5 ,BC=12,求 OE 的长 24、已知正方
11、形ABCD 的边长为a,两条对角线AC、BD 相交于点O,P 是射线 AB 上任意一点 ,过 P 点分别作直线 AC、BD 的垂线 PE、PF,垂足为 E、F. (1)如图 1,当 P 点在线段AB 上时 ,PEPF 的值是否为定值?如果是,请求出它的值;如果不是,请加以说明; (2)如图 2,当 P 点在线段AB 的延长线上时,求PE-PF 的值 25、如图 ,正方形 ABCD 中,直线 a 经过点 A,且 BEa 于 E,DFa于 F. (1)当直线 a绕点 A 旋转到图1 位置时 .求证: ABE DAF ; EF=BE+DF ; (2)当直线 a绕点 A 旋转到图2 位置时 .试探究
12、EF、BE、DF 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并证明; (3)当直线 a绕点 A 旋转到图3 位置时 .试问 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,不证明 . 正方形性质与判定同步测试题 一、选择题: 1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是() A对角线互相垂直B对角线相等C对角线互相平分D对角相等 2、下列说法中错误的是() A两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B两条对角线相等的四边形是矩形 C两条对角线互相垂直的矩形是正方形D两条对角线相等的菱形是正方形 3、如图,在正方形ABCD 的外侧作等边ADE ,则 AEB 的度数为() A10B12.5C1
13、5D20 第 3题图第 4 题图第 5 题图 4、如图,在正方形ABCD 中, AB=4 ,P 是线段 AD 上的动点, PE AC 于点 E,PFBD 于点 F,则 PE+PF 的 值为() A.;B.4 ;C.;D.2 5、如图 ,在正方形ABCD 中 ,E 是 AB 上一点 ,BE=2,AE=3BE,P 是 AC 上一动点 .则当 PB+PE 的值为最小值时,点 P 的位置在() A.AC 的三等分点 B.AC 的中点C.连接 DE 与 AC 的交点 D.以上答案都不对 6、如图,边长分别为4 和 8 的两个正方形ABCD 和 CEFG 并排放在一起,连结BD 并延长交FG 于点 P,则
14、 DP 等于() A2B 4C2 D 1 第 6 题图第 7 题图第 8 题图 7、将五个边长都为2cm 的正方形按如图所示摆放,点A、B、C、D 分别是四个正方形的中心,则图中四块阴影 面积的和为() A2cm 2 B4cm 2 C 6cm 2 D8cm 2 8、如图,将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠,使得点A 落在 CD 边上的点E 处,折痕为MN 若 CE 的长为 7cm,则 MN 的长为() A.10 B.13 C.15 D.12 9、 如图,在正方形ABCD 中, 边长为 2 的等边三角形AEF 的顶点 E、 F 分别在 BC 和 CD 上, 下列结论: CE=CF ; AE
15、B=75 ; BE+DF=EF ; S正方形 ABCD=2+其中正确的有() A.1 个B.2个C.3个D.4 个 10、下列命题 :如图 ,正方形 ABCD 中,E、F 分别为 AB、AD 上的点 ,AF=BE,CE 、BF 交于 H,BF 交 AC 于 M,O 为 AC 的中点 ,OB 交 CE 于 N,连 OH. 下列结论中 :BF CE; OM=ON ;.其中正确的命 题有() A.只有B.只有C.只有D. 第 10 题图第 12 题图第 13题图 二、填空题 : 11、已知正方形的一条对角线长为4 cm ,则它的面积是 _cm 2 12、如图 ,已知正方形ABCD 中,CM=CD,M
16、N AC,连接 CN,则 MNC= 13、 如图 ,正方形 ABCD 的周长为 16cm, 顺次连结正方形ABCD 各边的中点, 得到四边形EFGH , 则四边形EFGH 的周长等于 _cm,四边形EFGH 的面积等于 _cm2 14、如图 ,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠 ,使得 AD 边落在 AB 边上 ,折痕为 AE,再将 AED 沿 DE 向右翻折 ,AE 与 BC 的交点为F,则 CEF 的面积为 _. 第 14题图 15、如图 ,已知正方形ABCD 的边长为1,连结 AC、BD,CE 平分 ACD 交 BD 于点 E,则 DE= 第 15 题图第 16 题图
17、 16、如图 ,边长为 4的正方形ABCD 中,点 E 为 AD 的中点 ,连接 CE 交 BD 于点 F,连接 AF,过 A 作 AM AF 交 CE 的延长线于点M,则 DM 的长为 三、简答题 : 17、 如图,点 P 是正方形ABCD 的对角线 BD 上的一点, PMBC, PNCD, 垂足分别为点M, N 求证:AP=MN 18、如图 1,在正方形ABCD 中,E,F 分别是边AD,DC 上的点 ,且 AF BE. (1)求证 :AF=BE. (2)如图 2,在正方形ABCD 中,M,N,P,Q 分别是边 AB,BC,CD,DA 上的点 ,且 MPNQ, 判断 MP 与 NQ 是否相
18、等 ?并说 明理由 . 19、如图,已知四边形ABCD 是边长为2 的正方形,以对角线BD 为边作正三角形BDE ,过 E 作 DA 的延长线 的垂线 EF,垂足为F (1)找出图中与EF 相等的线段,并证明你的结论; (2)求 AF 的长 20、如图 ,ABCD 是正方形 ,BEAC,AE=AC,CF AE.求证: AEB=2 BCF. 参考答案 例题答案详解 【例 1】( 1)略;( 2)AECG; 【例 2】【解答】( 1)证明:四边形ABCD 是正方形,ABC=90, AB=BC , BEBF, FBE=90 , ABE+ EBC=90, CBF+ EBC=90 , ABE= CBF,
19、 在 AEB 和 CFB 中, AEB CFB(SAS ), AE=CF ( 2)解: BEBF, FBE=90 ,又 BE=BF , BEF= EFB=45 , 四边形ABCD 是正方形,ABC=90 ,又 ABE=55 , EBG=90 55 =35, EGC= EBG+ BEF=45 +35=80 【例 3】【解答】( 1)证明:四边形ABCD 是正方形,ABD= CBD=45 , AB=CB , 在 ABE 和 CBE 中, ABE CBE(SAS), AE=CE ; (2)证明: AE=CE ,AE=EN , EAC= ECA,CE=EN , ECN= N , EAC+ ECA+ E
20、CN+ N=180 , ACE+ ECN=90 ,即 ACN=90 , CAN 为直角三角形; (3)解:正方形的边长为6, AC=BD=6, ACN=90 , AN=4, CN=2, OA=OC ,AE=EN , OE=CN=, OB=BD=3, BE=OB+OE=4 【例 4】 【解答】解:(1)OE=OF 证明如下:CE 是 ACB 的平分线,1=2 MN BC, 1= 3 2=3 OE=OC 同理可证OC=OF OE=OF 四边形BCFE 不可能是菱形,若四边形BCFE 为菱形,则BFEC, 而由( 1)可知 FCEC,在平面内过同一点F 不可能有两条直线同垂直于一条直线当点O 运动到
21、 AC 中点时, 且 ABC 是直角三角形(ACB=90 )时,四边形AECF 是正方形 理由如下:O 为 AC 中点, OA=OC , 由( 1)知 OE=OF ,四边形AECF 为平行四边形; 1=2, 4=5, 1+2+4+5=180, 2+5=90,即 ECF=90 , ? AECF 为矩形, 又 ACEF ? AECF 是正方形 当点 O 为 AC 中点且 ABC 是以 ACB 为直角三角形时,四边形AECF 是正方形(3 分) 【例 5】( 1)证明: ADF 绕着点 A 顺时针旋转90,得到 ABG , AF=AG , FAG=90 , EAF=45 , GAE=45 ,在 AG
22、E 与 AFE 中, AGE AFE(SAS); (2)证明:设正方形ABCD 的边长为a将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转90,得到 ABG ,连结 GM 则 ADF ABG ,DF=BG 由( 1)知 AEG AEF, EG=EF CEF=45, BME、 DNF 、 CEF 均为等腰直角三角形, CE=CF ,BE=BM ,NF=DF, aBE=aDF , BE=DF , BE=BM=DF=BG, BMG=45 , GME=45 +45=90, EG 2=ME2+MG2, EG=EF ,MG=BM=DF=NF , EF 2=ME2+NF2; (3)解: EF 2=2BE2+2DF2 如图
23、所示,延长EF 交 AB 延长线于M 点,交 AD 延长线于N 点,将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转90,得到 AGH ,连结 HM ,HE 由( 1)知 AEH AEF,则由勾股定理有(GH+BE )2+BG 2=EH2,即( GH+BE )2+ (BMGM) 2=EH2 又 EF=HE ,DF=GH=GM,BE=BM ,所以有( GH+BE ) 2+(BEGH)2=EF2,即 2(DF2+BE2)=EF2 课堂同步练习参考答案 1、D 2、B3、 D 4、 B 5、A 6、A 7、A 8、A 9、B 10、 B 11、B 12、A试题分析:如图,延长FD 到 G,使 DG=BE ,连接
24、CG、EF;四边形ABCD 为正方形,在BCE 与 DCG 中, CB=CD , CBE= CDG,BE=DG , BCE DCG (SAS ), CG=CE , DCG= BCE, GCF=45,在 GCF 与 ECF 中, GC=EC , GCF= ECF,CF=CF , GCF ECF(SAS), GF=EF , CE=,CB=6,BE=3, AE=3 , 设 AF=x ,则 DF=6 x,GF=3+ (6x) =9x, EF=, x=4,即 AF=4 , GF=5 , DF=2 , CF=,故选 A 13、答案为: 22.5 14、答案为: 5,15、答案为: 516、答案为 817、
25、答案为: 7 18、答案为: 19、答案为:20、答案为:21、略 22、( 1)证明:四边形ABCD 为正方形, AB=AD , =90, DC=CB , E、 F 为 DC、BC 中点, DE=DC ,BF=BC , DE=BF , 在 ADE 和 ABF 中, ADE ABF(SAS); (2)解:由题知ABF、 ADE 、 CEF 均为直角三角形,且AB=AD=4 ,DE=BF= 4=2,CE=CF= 4=2, SAEF=S正方形ABCDS ADESABFS CEF=44 42 4 2 22=6( 8 分) 23、【解答】(1)证明:过点O 作 OM AB, BD 是 ABC 的一条角
26、平分线,OE=OM , 四边形OECF 是正方形, OE=OF , OF=OM , AO 是 BAC 的角平分线,即点O 在 BAC 的平分线上; (2)解:在RtABC 中, AC=5 ,BC=12, AB=13, 设 CE=CF=x ,BE=BM=y ,AM=AF=z ,解得:, CE=2, OE=2 24、 (1)是定值四边形ABCD 为正方形, ACBD. PFBD, PFAC.同理: PEBD.四边形 PFOE 为矩形 PEOF. 又 PBF45, PFFB.PEPFOFFB OBa. (2)四边形ABCD 为正方形, ACBD.PFBD , PFAC. 同理: PEBD.四边形PF
27、OE 为矩形 PEOF. 又 PBF ABO 45, PFBF.PE PFOFBFOBa. 25、(1)证明:四边形ABCD 是正方形 AB=AD , BAD=90 o . BAE+ DAF=90 o 又 BEa,DFa, AEB= DFA=90 o BAE+ ABE=90 oABE= DAF ABE DAF. ABEDAF AE=DF,BE=AF 又 EF=AE+AF EF=BE+DF (2)EF=DF-BE 证明:四边形ABCD 是正方形 AB=AD , BAD=90 o , BAE+ DAF=90 o 又 BEa,DFa, AEB= DFA=90 oBAE+ ABE=90 o ABE=
28、DAF ABE DAF. AE=DF,BE=AF又 EF=AE-AF EF=DF-BE (3)EF=BE-DF 同步测试题参考答案 1、B 2、B 3、C 4、A;5、C 6、B 7、B; 8、B 9、C 10、B 【解答】解:AF=BE ,AB=BC , ABC= BAD=90 , ABF BEC, BCE= ABF, BFA= BEC, BEH ABF, BAF= BHE=90 ,即 BFEC,正确; 四边形是正方形,BOAC,BO=OC , 由题意正方形中角ABO= 角 BCO,在上面所证BCE= ABF, ECO= FBO , OBM ONC , ON=OM ,即正确; OBM ONC
29、 , BM=CN , BOM=90 ,当H 为 BM 中点时, OH=BM=CN (直角三角形斜边中线等于斜边的一半), 因此只有当H 为 BM 的中点时,故错误; 过 O 点作 OG 垂直于 OH ,OG 交 CH 与 G 点, 在 OGC 与 OHB 中,故 OGC OHB , OH OG , OHG 是等腰直角三角形, 按照前述作辅助线之后,OHG 是等腰直角三角形,OH 乘以根 2 之后等于HG, 则在证明证明三角形OGC 与三角形OHB 全等之后, CG=BH ,所以式成立 综上所述,正确故选B 11、 答案为: 8 12、 答案为: 67.5 13、 答案为:; 8cm14、 答案
30、为: 2 15 、答案为:、1 16、 答案为: 17、【解答】解:连接PC,四边形ABCD 为正方形,BCD=90 , ABD= CBD=45 , AB=BC , 又 PNDC,PM BC, PMC=90 , PNC=90,四边形PMCN 为矩形, PC=MN , 在 ABP 和 CBP 中, ABP CBP(SAS), AP=PC , AP=MN 18、【解析】 (1)在正方形ABCD 中 ,AB=AD, BAE= D=90 , DAF+ BAF=90 , AFBE, ABE+ BAF=90 , ABE= DAF, 在 ABE 和 DAF 中, ABE DAF(ASA), AF=BE. (
31、2)MP 与 NQ 相等 .理由如下 :如图 ,过点 A 作 AFMP 交 CD 于点 F,过点 B 作 BENQ 交 AD 于点 E, 则与 (1)的情况完全相同.而 MP=AF,NQ=BE, MP=NQ. 19、【解答】解:(1)AF=EF ;理由如下:连接AE, DBE 是正三角形,EB=ED AD=AB ,AE=AE , ABE ADE BEA= DEA=60=30 EDA= EDB ADB=60 45=15, EAF= AED+ ADE=45 EFAD , EFA 是等腰直角三角形EF=AF (2)设 AF=x , AD=2 ,BD=ED ,FD=2+x , 在 RtEFD 中,由勾股定理得EF 2+FD2=ED2 即 x2+(2+x) 2=( ) 2 x=1(x=1 舍去), AF=1 20、【答案】证明:连接BD 交 AC 于 O,过点 A 作 AH BE 于 H。 BEAC,AH BEAH AC 又在正方形ABCD 中, ACBD , AH OB , AO=BO ,AO BO四边形AOBH 正方形 AH=AO= AE=AC , AH= AEH=30 , 又 BE/AC , AE/CF ,四边形ACFE 是菱形,ACF= AEH=30 , AC 是正方形的对角线,ACB=45 , BCF=15, AEB=2 BCF。
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