八年级几何辅助线专题训练e1e5f7eec4d74f209d622e0c64fd4e4b.pdf
《八年级几何辅助线专题训练e1e5f7eec4d74f209d622e0c64fd4e4b.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《八年级几何辅助线专题训练e1e5f7eec4d74f209d622e0c64fd4e4b.pdf(15页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、- 1 - D C B A E D F C B A ABC 常见的辅助线的作法 1. 等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题 2. 倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形 3. 角平分线在三种添辅助线:( 1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,( 2)可以在角平分线上的一点 作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度 的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。 4. 垂直平分线联结线段两端:在垂直平分线上的某点向该线段的两个端
2、点作连线,出一对全等三角形。 5. 用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长, 6. 图形补全法:有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形. 7. 角度数为30 度、 60 度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度,可以从角一边上一点向角的另一 边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相 等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 8.面积方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形 面积的知识解答 一
3、、等腰三角形“三线合一”法 1.如图,已知 ABC 中, A 90 ,AB AC ,BE 平分 ABC , CEBD 于 E, 求证: CE= BD. 中考连接: (2014?扬州,第7 题, 3 分)如图,已知AOB=60 ,点 P 在边 OA 上, OP=12,点 M,N 在边 OB 上, PM=PN,若 MN=2,则 OM=() A3B4C5D6 二、倍长中线(线段)造全等 例 1、 ( “希望杯”试题)已知,如图 ABC中, AB=5,AC=3 , 则中线 AD的取值范围是_. 例 2、如图, ABC中, E 、 F分别在 AB 、AC上, DE DF,D是中点,试比较BE+CF与 E
4、F的大小 . 例 3、如图, ABC中, BD=DC=AC,E是 DC的中点,求证:AD平分 BAE. E D C B A 中考连接: (09 崇文)以的两边AB、AC 为腰分别向外作等腰Rt 和等腰 Rt ACE, 90 ,BADCAE 连接 DE,M、N 分别是 BC、DE 的中点探究:AM 与 DE 的关系(1)如图当 ABC为直角三角形时, AM 与 - 2 - O E D CB A E D G F C B A DE 的位置关系是,线段 AM 与 DE 的数量关系是; (2)将图中的等腰RtABD绕点 A 沿逆时针方向旋转 (090)后,如图所示, (1)问中得到的两个结 论是否发生改
5、变?并说明理由 三、借助角平分线造全等 1、如图,已知在 ABC中,B=60,ABC的角平分线AD,CE相交于点O , 求证:OE=OD 2、如图,已知点C 是 MAN的平分线上一点,CEAB 于 E,B、D 分别在 AM 、AN 上,且 AE=(AD+AB ).问: 1 和 2 有何关系? 中考连接: (2012 年北京 )如图, OP 是 MON 的平分线, 请你利用该图形画一对以OP 所 在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题: (1)如图,在ABC 中, ACB 是直角, B=60, AD、CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线, AD、CE 相 交
6、于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系; (2)如图,在ABC 中,如果 ACB 不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍 然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 四, 垂直平分线联结线段两端 1. ( 2014?广西贺州, 第 17 题 3 分)如图, 等腰 ABC 中,AB=AC,DBC=15 , AB 的垂直平分线MN 交 AC 于点 D,则 A 的度数是 2、如图, ABC中, AD 平分 BAC ,DG BC且平分BC ,DE AB于 E,DFAC于 F. (1)说明 BE=CF的理由;(2)如果 AB=a,AC=b,求 AE 、
7、BE的长 . O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图图 - 3 - F E D CB A E D C B A D C B A P Q C B A 中考连接: (2014 年广东汕尾, 第 19 题 7 分) 如图,在 Rt ABC 中,B=90 , 分别以点 A、C 为圆心,大于AC 长为半径画弧,两弧相交于点M、N,连 接 MN,与 AC、BC 分别交于点D、 E,连接 AE (1)求 ADE; (直接写出结果) (2)当 AB=3,AC=5 时,求 ABE 的周长 补充:尺规作图 过直线外一点做已知直线的垂线 五、截长补短 1 、如图,ABC中, AB=2A
8、C ,AD平分BAC,且 AD=BD ,求证: CD AC 2、如图, AD BC ,EA,EB分别平分 DAB,CBA ,CD过点 E,求证 ;ABAD+BC 。 3、如图,已知在 ABC 内, 0 60BAC, 0 40C,P,Q分别在 BC ,CA上,并且 AP , BQ分别是BAC,ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP 4、 如 图, 在四 边形ABCD中 , BC BA,AD CD , BD 平 分 ABC, 求证: 0 180CA 5. 如图,已知正方形ABCD 中, E 为 BC 边上任意一点,AF 平分 DAE 求证: AEBE DF 6.如图, ABC 中, ABC
9、=60,AD 、CE 分别平分 BAC , ACB ,判断 AC 的长与 AE+CD 的大小关系并证明. 7.如图, Rt ABC 中, ACB=90, CDAB 于 D,AF 平分 CAB 交 CD 于 E,交 CB 于 F,且 EG AB 交 CB 于 G,判断 CF 与 GB 的大小关系并证明。 六、综合1、正方形 ABCD中, E为 BC上的一点, F 为 CD上的一点, BE+DF=EF ,求 EAF C D B A - 4 - N M E F A C B A 2、如图,ABC为等边三角形, 点,MN分别在,BC AC上,且BMCN,AM 与BN交于Q点。求AQN的度数。 3、已知四
10、边形ABCD中,ABAD,BCCD,ABBC,120ABC, 60MBN,MBN绕B点旋转,它的两边分别交ADDC,(或它们的延长 线)于EF,当MBN绕B点旋转到AECF时(如图1) ,易证AECFEF 当 MBN 绕B点旋转到 AECF 时,在图 2 和图 3 这两种情况下, 上述结论是否成立?若成立,请给予证明; 若不成立,线段AECF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明 4、D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点, DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。 当MDN绕点 D转动时,求证DE=DF 。若 AB=2 ,求四边形DECF的面积。 5、在等边ABC的两
11、边 AB 、AC 所在直线上分别有两点M、 N,D 为ABC外一点, 且 60MDN,120BDC,BD=DC. 探究:当M、N 分别在直线AB、AC 上移动时, BM 、 NC、 MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系 (I)如图 1,当点 M、N 边 AB、 AC 上,且DM=DN时, BM 、 NC 、 MN之 间 的 数 量 关 系 是; 此时 L Q ; (II)如图 2,点 M、N 边 AB 、 AC 上,且当 DMDN 时,猜想 (I) 问的两个结论还成立吗?写 出你的猜想并加以证明;(III ) 如图 3,当 M、N 分别在边AB 、CA 的延长
12、线上时,若AN=x,则 Q= (用x、L 表示) 中考连接:( 2014?抚顺第 25 题( 12 分) ) 已知: RtABC RtABC , A CB= ACB=90 , A BC = ABC=60 , Rt A BC可绕点B 旋转,设旋转过程中直线CC和 AA 相交于点D (1)如图 1 所示,当点C在 AB 边上时,判断线 段 AD 和线段 AD 之间的数量关系,并证明你的 结论; (2)将 RtABC由图 1 的位置旋转到图2 的位置时,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明; 若不成立, 请说明理由; (3)将 RtABC由图 1 的位置按顺时针方向旋转角(0 120) ,当 A、
13、C、A三点在一条直线上时, 请直接写出旋转角的度数 - 5 - D C B A E D F C B A 参考答案与提示 一、倍长中线(线段)造全等 例 1、 ( “希望杯”试题)已知,如图 ABC中, AB=5,AC=3 ,则中线AD的取值范围是 _. 解:延长AD至 E使 AE 2AD ,连 BE ,由三角形性质知 AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是1AD4 例 2、如图, ABC中, E 、 F分别在 AB 、AC上, DE DF,D是中点,试比较BE+CF与 EF的大小 . 解: ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 FD至 G使 FG 2EF ,连 BG
14、,EG, 显然 BG FC , 在EFG中,注意到DE DF,由等腰三角形的三线合一知 EG EF 在BEG中,由三角形性质知 EGBG+BE 故: EFBE+FC 例 3、如图, ABC中, BD=DC=AC,E是 DC的中点,求证:AD平分 BAE. EDCB A 解:延长AE至 G使 AG 2AE ,连 BG ,DG, 显然 DG AC , GDC= ACD 由于 DC=AC ,故ADC= DAC 在ADB与ADG 中, BDAC=DG ,AD AD , ADB= ADC+ ACD= ADC+ GDC ADG 故ADB ADG ,故有 BAD= DAG ,即 AD平分 BAE 应用: R
15、t ABD 和等腰Rt ACE ,1、 (09 崇文二模)以的两边AB、AC 为腰分别向外作等腰 90 ,BADCAE 连接 DE,M、N 分别是 BC、DE 的中点探究:AM 与 DE 的位置关系及数量关系 ABC - 6 - (1)如图当 ABC为直角三角形时, AM 与 DE 的位置关系是, 线段 AM 与 DE 的数量关系是; (2)将图中的等腰Rt ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转 (090)后,如图所示, (1)问中得到的两个结 论是否发生改变?并说明理由 解: (1)AMED2,EDAM; 证明:延长AM 到 G,使 AMMG ,连 BG,则 ABGC 是平行四边形 BGAC,
16、180BACABG 又 180BACDAE DAEABG 再证:ABGDAE AMDE2,EDABAG 延长 MN 交 DE 于 H 90DAHBAG 90DAHHDA EDAM (2)结论仍然成立 证明:如图,延长CA 至 F,使FAAC,FA 交 DE 于点 P,并连接BF BADA , AFEA EADDAFBAF90 在FAB和EAD中 DABA EADBAF AEFA EADFAB(SAS ) DEBF,AENF 90AENAPEFFPD DEFB 又AFCA,MBCM FBAM / ,且FBAM 2 1 DEAM,DEAM 2 1 二、截长补短 1、如图, ABC中, AB=2AC
17、 ,AD平分BAC,且 AD=BD ,求证: CD AC 解: (截长法)在AB上取中点F,连 FD ADB是等腰三角形,F 是底 AB中点,由三线合一知 DFAB,故 AFD 90 ADF ADC ( SAS ) ACD AFD 90即: CD AC G C H A B D M N E F C P A B D M N E - 7 - E D C B A D C B A P Q C B A 2、如图, AD BC ,EA,EB分别平分 DAB,CBA ,CD过点 E,求证 ;ABAD+BC 解: (截长法)在AB上取点 F,使 AFAD ,连 FE ADE AFE ( SAS ) ADE AF
18、E , ADE+ BCE 180 AFE+BFE 180 故 ECB EFB FBE CBE ( AAS ) 故有 BFBC 从而 ;ABAD+BC 3、 如图,已知在 ABC内, 0 60BAC, 0 40C, P , Q分别在 BC , CA上,并且 AP, BQ分别是BAC,ABC 的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP 解: (补短法 , 计算数值法)延长AB至 D,使 BD BP,连 DP 在等腰 BPD中,可得 BDP 40 从而 BDP 40 ACP ADP ACP ( ASA ) 故 AD AC 又 QBC 40 QCB 故 BQQC BD BP 从而 BQ+AQ=AB+BP
19、 4、如图,在四边形ABCD中, BC BA,AD CD ,BD平分ABC, 求证: 0 180CA 解: (补短法)延长BA至 F,使 BFBC,连 FD BDF BDC ( SAS ) 故 DFB DCB ,FDDC - 8 - P 2 1 D C B A 又 AD CD 故在等腰 BFD中 DFB DAF 故有 BAD+ BCD 180 5、如图在 ABC中, AB AC , 1 2,P为 AD上任意一点,求证;AB-AC PB-PC 解: (补短法)延长AC至 F,使 AFAB,连 PD ABP AFP ( SAS ) 故 BP PF 由三角形性质知 PB PCPF PC CFAFAC
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 年级 几何 辅助线 专题 训练 e1e5f7eec4d74f209d622e0c64fd4e4b
链接地址:https://www.31doc.com/p-5141549.html