八年级数学上册_知识点总结(北师大版).pdf
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1、数学(八年级上册)知识点总结(北师大版) 1 数学(八年级上册)知识点总结(北师大版) 第一章勾股定理 1、勾股定理 -已知直角三角形,得边的关系 直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边c 的平方,即 222 cba 2、勾股定理的逆定理-由边的关系,判断直角三角形 如果三角形的三边长a,b,c 有关系 222 cba,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数 :满足 222 cba的三个正整数a,b, c,称为勾股数。 常见的勾股数有: (6,8,10 ) (3,4,5 ) (5,12 ,,13 ) (9,12,15 ) (7,24,25 ) (9,40,41 ) 规律:(1) 、短直角
2、边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数,两边之和是短直角边的 平方。即当a 为奇数且ab 时,如果 2 bca,那么 a,b,c就是一组勾股数. 如: (3,4,5 ) (5,12 ,,13 ) (7,24,25 ) ( 9,40,41 ) (2)大于 2 的任意偶数, 2n(n 1) 都可构成一组勾股数分别是: 22 2 ,1,1n nn 如: (6,8,10 ) (8,15,17 ) (10,24,26 ) 4、常见题型应用: (1)已知任意两条边的长度,求第三边/ 斜边上的高线/ 周长 / 面积 ( 2)已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系,求各边的长度/ 斜边上的高线/
3、 周长 / 面 积 (3)判定三角形形状: 222 abc锐角三角形, 222 abc直角三角形, 222 abc钝角三角形 判定直角三角形 a 找最长边; b. 比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系;c. 确定形状 第二章实数 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 数学(八年级上册)知识点总结(北师大版) 2 2 0 2 00 00 2 2 3 3 . . 无理数的表示 算术平方根定义如果一个非负数的平方等于,即 那么这个非负数就叫做的算术平方根,记为, 算术平方根为非负数 平方根 正数的平方根有个,它们互为相反数 的平方根是 负数没有平方根 定义:如果一个数的平
4、方等于,即,那么这个数就 叫做的平方根,记为 立方根 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 的立方根是 定义:如果一个数的立方等于,即,那么这个数 就叫做的立方根,记为 xaxa xaa a axa aa xaxax aa 3 0 .实数及其相关概念 概念有理数和无理数统称实数 分类 有理数 无理数 或 正数 负数 绝对值、相反数、倒数的意义同有理数 实数与数轴上的点是一一对应 实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则 运算规律相同。 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 无限不循环小数 负无理数 正无理数 无理数 数有限小数与无限循环小 负有理数 正有理数 有理数 实数 0 负实数 正实
5、数 实数 0 数学(八年级上册)知识点总结(北师大版) 3 2、无理数: 无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如 3 2,7等根号 a(a为非完全平方数或非立方数)。 (2)有特定意义的数,如圆周率(=3.14159265 ),或化简后含有 的数,如 3 +8 等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001 ; 0.585885888588885 (相邻两个 5 之间 8 的个数 逐次加 1 等; (4)某些三角函数值,如sin60 o 等; 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对
6、数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数 轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与 b 互为相反数,则有a+b=0,a= b,反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上, 一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。 (|a| 0) 。零的绝对值是它本 身,也可看成它的相反数,若|a|=a ,则 a0;若 |a|=-a ,则 a0。 3、倒数 如果 a与 b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1 和-1 。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不 可) 。 数学(八年级上
7、册)知识点总结(北师大版) 4 解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。 5、估算. 注意: (1)近似计算时,中间过程要多保留一位; (2)要求记忆: 414.12 732.1323 6.25 . 三、平方根、算数平方根和立方根 1平方根和算术平方根: (1)概念:如果 2 xa,那么x是a的平方根,记作:a;读作“正、负根号a” , 其中a叫做a的算术平方根,读作根号a。 (2)性质:当a0 时,a0;当a时,a无意义; 2 a a ; 2 aa。 (区分、) 性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 性质:一个正数有两个平方根,它们
8、互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (3)开平方:求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方。 注意:a的双重非负性: 0 0 a a (开平方的被开方数的条件) (算术平方根的非负性) 2立方根: (1)概念:若 3 xa,那么x是a的立方根(或三次方根),记作: 3 a; (2)性质: 33 aa; 3 3 aa; 3 a 3 a 性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意: 33 aa, 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 区分: 平方根 、立方根的性质 根源: 开平方是平方的逆运算;开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正,所以,只
9、有非 负数才可以开平方,因此一个非0 正数开平方后有2 个;而任何数的立方后的符号与原数的 符号一致,所以,任何数都可以开立方,一个数开立方后只有1 个,符号与原数的符号也一 致。 四、实数大小的比较 1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右 数学(八年级上册)知识点总结(北师大版) 5 边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表 示的数大。 2、实数大小比较的几种常用方法 (1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。 (2)求差比较:设a、b 是实数, ,0baba,0babababa
10、0 (3)求商比较法:设a、b 是两正实数,;1;1;1ba b a ba b a ba b a (4)绝对值比较法:设a、b 是两负实数,则baba。 (5)平方法 : 设0,0ab,则 22 abab 设0,0ab,则baba 22 。 同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。 如:比较 3 6 2 与3.4;3 6与53 ( 6)倒数法 :设0,0ab,则 11 ab ab ;设0,0ab,则 11 ab ab 规律:同号取倒(数)反向 五、算术平方根有关计算(二次根式) 1、含有二次根号“” ;被开方数a必须是非负数,即:0aa中。 2、性质: (1)非负性0a
11、 (2))0()( 2 aaa( 2 a中前提,被开方数0a) (3)aa 2 ,(0) ,(0) a a a a ( 2 a中隐含被开方数 2 0a) (4))0,0(babaab; ()0,0(baabba) (前提根号要有意义) 数学(八年级上册)知识点总结(北师大版) 6 (5))0,0(ba b a b a ; ()0, 0(ba b a b a ) (前提式子和根号要有意义,) 拓展:三个重要非负数: 2 0,0,0aaa.注意: 非负数之和为0 它们都是0. 3、运算结果若含有“a”形式,必须满足: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开 方数中不含能开得尽方的因数或
12、因式 六、实数的运算 (1)六种运算:加、减、乘、除、乘方、开方 (2)实数的运算顺序 先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。 (3)运算律 加法交换律abba 加法结合律)()(cbacba 乘法交换律baab 乘法结合律)()(bcacab 乘法对加法的分配律acabcba)( ( 4) 与实数有关的概念:在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义与有理数范围内的意义完 全一致;在实数范围内,有理数的运算法则和运算律同样成立。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数, 即实数和数轴上的点是一一对应的。因此,数轴正好可以被实
13、数填满。 第三章位置的确定 一、在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。 二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系 在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。其中,水平的数轴叫做 x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向;x 轴和 y 轴统称坐标 数学(八年级上册)知识点总结(北师大版) 7 四三 二一 0x y 0x y P a b (+,-) (-,-) (-,+) (+,+) 0 x y B A C D x2 y2 x3 y3 y1 x1 x4 y4 0 x y A(x1,0) D(0,y4) B(0,y2) C(x3,0)
14、45 45 0 x y B A C D 轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。 2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x 轴和 y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第 一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意: x 轴和 y 轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 对于平面内任意一点P,过点 P分别 x 轴、 y 轴向作垂线,垂足在上x 轴、 y 轴对应的数a,b 分 别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。 点的坐标用(a, b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间 有“,”分开,横
15、、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对, 当 ba 时, (a, b)和( b,a)是两个不同点的坐标。 平面内点的与有序实数对是一一对应的。 4、不同位置的点的坐标的特征 (1) 、各象限内点的坐标的特征 (结合图形,过点P分别 x 轴、y 轴向作垂线,垂足在上x 轴、y 轴对应的数, x y在坐标轴的正 向为正,负向为负) 点 11 (,)Axy在第一象限 11 0,0xy 点 22 (,)Bxy在第二象限 22 0,0xy 点 33 (,)Cxy在第三象限 33 0,0xy 点 44 (,)Dxy在第四象限 44 0,0xy (2) 、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y) 在
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