几何压轴题第二部分(含答案).pdf
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1、1.如图 1、2 是两个相似比为1: 2 的等腰直角三角形,将两个三角形如图3 放置,小直角 三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合 (1)在图 3 中,绕点 D 旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC 交于点 E、F,如 图 4 求证: AE 2BF2EF2 ; (2) 若在图 3 中,绕点 C 旋转小直角三角形, 使它的斜边和CD 延长线分别与AB 交于点 E、 F,如图 5,此时结论AE 2BF2EF2 是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请 说明理由; (3)如图,在正方形ABCD 中, E、F 分别是边BC、CD 上的点,满足CEF 的周长等于 正方形 ABCD 的周
2、长的一半,AE、AF 分别与对角线BD 交于 M、N,试问线段BM、MN、 DN 能否构成三角形的三边长?若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理 由 ; 解: (1)如图 4,由 于 AD BD,将 AED 绕点 D 旋转 180 ,得 BE D 则 AEBE,ED E D,连接 EF FBEABC ABEABC CAB90 在 RtBE F 中有 BE 2BF2E F 2 又 FD 垂直平分EE, EFE F AE 2BF2EF2 6 分 B 图 2 A C B 图 3 A C D D 图 1 B 图 4 A C D E F B 图 5 A C D E F B A C D E
3、F M N (2)如图 5,由于 AC BC,将 AEC 绕点 C 旋转 90 ,得 BE C 则 AEBE,CE CE ,连接 E F FBE ABC CBE ABC CAB90 在 RtBE F 中有 BE 2BF2E F 2 E CFECBBCFACEBCF 90ECF9045 45 ECF CECE ,CFCF CEF CE F, EFEF AE 2BF2EF2 12 分 (3)将 ADF 绕点 A 顺时针旋转90 ,得 ABG,且 FD GB, AFAG 因为 CEF 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半,所以 CEEFCFCDCBCFFD CEBE EFFD BEGBBEGE 从
4、而可得 AEGAEF, EAGEAF 又 EAGEAB BAG, BAG DAF EAFEABDAF ,而 EABEAFDAF90 EAF45 由( 2)知 BM 2DN2MN2 由勾股定理的逆定理知:线段BM、MN、DN 能构成直角三角形 18 分 2 ( 1)操作发现 如图,矩形ABCD 中, E 是 AD 的中点,将 ABE 沿 BE 折叠后得到 GBE,且点 G 在矩形 ABCD 内部小明将BG 延长交 DC 于点 F,认为 GFDF,你同意吗?说明理由 (2)问题解决 保持( 1)中的条件不变,若DC 2DF ,求 AB AD 的值; (3)类比探究 保持( 1)中的条件不变,若DC
5、 nDF ,求 AB AD 的值 解: (1)同意连接EF,则 EGFD90 ,EGAEED,EFEF RtEGFRtEDF , GFDF 3 分 (2)由( 1)知 GFDF ,设 DF x, BCy,则有 GFx,ADy DC2DF, CFx,DCABBG2x BFBGGF3x 在 RtBCF 中, BC 2CF2BF2,即 y 2 x2(3x)2 y22x, AB AD x y 2 2 6 分 (3)由( 1)知 GFDF ,设 DF x, BCy,则有 GFx,ADy B A C D E F M N G B 图 5 A C D E F E G B C E F A D G B C E F
6、 A D DCnDF , DCAB BGnx CF( n1) x,BFBGGF( n1) x 在 RtBCF 中, BC 2CF2BF2,即 y 2 ( n 1) x 2 ( n1) x 2 yn2x, AB AD nx y n n2 (或 n 2 ) 10 分 3如图 1 所示,在直角梯形ABCD 中,ADBC,ABBC, DCB75o,以 CD 为一边的 等边 DCE 的另一顶点E 在腰 AB 上 (1)求 AED 的度数; (2)求证: ABBC; (3)如图 2 所示,若 F 为线段 CD 上一点, FBC30o 求 DF FC 的值 解: (1) BCD 75o ,ADBC, ADC
7、105o 1 分 由等边 DCE 可知: CDE60o,故 ADE 45o 由 ABBC,ADBC 可得: DAB90o, AED45o 3 分 (2)方法一:由(1)知: AED 45o , ADAE,故点A 在线段DE 的垂直平 分线上 AC 就是线段DE 的垂直平分线,即ACDE 5 分 连接 AC, AED45o, BAC45o 又 ABBC, ABBC 7 分 方法二:过D 点作 DHBC 于 H,则 DH AB 4 分 易证 DHC CBE, DH BC 6 分 ABBC 7 分 (3) FBC30o , ABF60o 连接 AF,设 BF、AD 的延长线相交于点G FBC30o
8、, DCB75o , BFC75o,故 BCBF 由( 2)知: BABC,故 BA BF ABF60o , ABBFFA, 又 ADBC,ABBC, FAG G 30o FGFAFB 10 分 A B C D E 图 1 A B C D E 图 2 F A B C D E 图 1 H A B C D E F G G FBC30o , DFG CFB ,FBFG BCF GDF 11分 DF CF,即点 F 是线段 CD 的中点 DF FC 1 12 分 4.如图,在等腰梯形ABCD 中, ADBC,AEBC 于点 E,DF BC 于点 FAD2cm, BC6cm,AE 4cm点 P、Q 分别
9、在线段AE、 DF 上,顺次连接B、P、Q、C,线段 BP、 PQ、QC、CB 所围成的封闭图形记为M若点 P 在线段 AE 上运动时,点Q 也随之在线段 DF 上运动,使图形M 的形状发生改变,但面积始终 为 10cm 2设 EPx cm,FQ y cm, 解答下列问题: (1)直接写出当x3 时y的值; (2)求y与 x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)当 x 取何值时,图形M 成为等腰梯形?图形M 成为三角形? (4)直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积 解: (1)y 2 2 分 (2)由等腰梯形的性质得BEEFFC 2 SBEPS梯形 PEFQSF
10、CQS图形M 2 1 2x 2 1 (xy)2 2 1 2y10 yx 5 4 分 由 0 x4 0x54 得 1x4 5 分 (3)若图形M 为等腰梯形(如图) ,则 EPFQ 即 xx5,解得 x 2 5 当 x 2 5 时,图形M 为等腰梯形 6 分 若图形 M 为三角形,分两种情形: 当点 P、Q、C 在一条直线上时(如图),EP 是 BPC 的高 2 1 BCEP10,即 2 1 6x10,解得 x 3 10 7 分 A B C D E F (备用图) A B C D E F Q P 图 A B C D E F Q P 图 A B C D E F Q P 图 当点 B、P、 Q 在一
11、条直线上时(如图),FQ 是 BQC 的高 2 1 BCFQ 10,即 2 1 6(x5) 10,解得 x 3 5 8 分 当 x 3 10 或 3 5 时,图形M 为三角形 (4)3cm2 10 分 评分说明:( 4)中不写单位不扣分,线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域为图 中的阴影部分 5 (贵州省铜仁地区)已知:如图,在RtABC 中, ACB 90 , A30 ,CDAB 交 AB 于点 E,且 CD AC,DF BC 分别与 AB、AC 交于点 G、F (1)求证: GEGF; (2)若 BD1,求 DF 的长 解: (1)证明: DFBC, ACB90 , CFD 90 CDAB
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