函数的基本性质知识总结大全.pdf
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1、函数的基本性质知识总结大全 沛县第二中学数学组张驰 1. 单调性 函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势,是研 究函数图象在定义域内的局部变化性质。 函数单调性的定义 一般地,设函数( )yf x的定义域为A,区间IA如果对于区间I内的 _两 个值 1 x, 2 x,当 1 x 2 x时,都有 1 ()f x_ 2 ()f x,那么( )yf x在区间I上是单调增函 数,I称为yfx的单调 _区间 . 如果对于区间I内的 _两个值 1 x, 2 x,当 1 x 2 x时,都有 1 ()f x_ 2 ()f x,那么( )yf x在区间I上是单调减函数,I称为 (
2、 )yf x的单调 _区间 . 如果函数( )yf x在区间I上是单调增函数或单调减函数,那 么函数( )yf x在区间I上具有 _. 点评单调性的等价定义: )(xf在区间M上是增函数, 21 Mxx当 21 xx时,有0)()( 21 xfxf 0)()()( 2121 xfxfxx00 )()( 21 21 x y xx xfxf ; )(xf在区间M上是减函数, 21 Mxx当 21 xx时,有0)()( 21 xfxf 0)()()( 2121 xfxfxx00 )()( 21 21 x y xx xfxf ; 函数单调性的判定方法 定义法;图像法;复合函数法;导数法;特值法(用于小
3、题),结论法等 . 注意 : 定义法 (取值作差变形定号结论):设 12 xxab,且 12 xx,那 么0)()()( 2121 xfxfxx0 )()( 21 21 xx xfxf )(xf在区间 ,ba 上是增函 数;0)()()( 2121 xfxfxx0 )()( 21 21 xx xfxf )(xf在区间 ,ba 上是减函 数。 导数法(选修) :在( )f x区间()ab,内处处可导,若总有 ( )0fx( ( ) 0fx) ,则 ( )f x在区间()ab,内为增(减)函数;反之,( )f x在区间()ab,内为增(减)函数,且 处处可导,则 ( ) 0fx( ( )0fx)
4、。请注意两者之间的区别,可以“数形结合法”研究。 点评判定函数的单调性一般要将式子)()( 21 xfxf进行因式分解、配方、通分、分子 (分母)有理化处理,以利于判断符号;证明函数的单调性主要用定义法和导数法。 提醒求单调区间时,不忘定义域;多个单调性相同的区间不一定能用符号“”连接; 单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示。判定函数不具有单调性时,可举反例。 与函数单调性有关的一些结论 若( )f x与( )g x同增(减),则( )f x( )g x为增(减)函数,( )f g x为增函数; 若( )f x增,( )g x为减, 则( )f x( )g x为增函数,( )g x(
5、 )f x为减函数,( ( )fg x 为减函数; 若函数( )yf x在某一范围内恒为正值或恒为负值,则( )yf x与 1 ( ) y f x 在相同 的单调区间上的单调性相反; 函数( )yfx与函数( )(0)yf xk k具有相同的单调性和单调区间; 函数( )yfx与函数( )(0)ykf xk具有相同的单调性和单调区间,函数( )yf x 与函数( )(0)ykf x k具有相同单调区间上的单调性相反。 2. 奇偶性 函数的奇偶性是研究函数在定义域内的图象是否关于原点中心对称,还是关于y轴成轴 对称,是研究函数图象的结构特点; 函数奇偶性的定义 一般地,设函数( )yf x的定义
6、域为A 如果对于 _的xA, 都有()fx_, 那么函数( )yfx是偶函数 . 一般地,设函数( )yf x的定义域为 A如果对于 _的 xA,都有()fx_,那么函数( )yf x是奇函数 .如果函数( )yf x是奇函数 或偶函数,那么函数( )yf x具有 _. 注意具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称,因此, 确定函数奇偶性时,务必先 判定函数定义域是否关于原点对称。 图象特征 函数( )yf x为奇(偶)函数函数( )yf x的图象关于原点( y轴)成中心(轴) 对称图形。 注意定义域含0的偶函数图象不一定过原点;定义域含0的奇函数图象一定过原点;利 用函数的奇偶性可以把研究整
7、个函数问题转化到一半区间上,简化问题。 点评 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 . )(xf是奇函数 () ()( )()( )01 ( ) fx fxf xfxf x f x . )(xf是偶函数 () ()( )()( )01 ( ) fx fxf xfxf x f x . 奇函数)(xf在原点有定义,则0)0(f. 在关于原点对称的单调区间内: ()奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性; ()奇函数有相反的最值(极值),偶函数有相同的最值(极值)。 )(xf是偶函数(|)( )fxf x. 奇偶性的判定方法 若所给函数的解析式较为复杂,应先考虑其定义域并等价变形化
8、简后,再判断其奇偶性. 如判断函数 2 1 ( ) |2| 2 x f x x 的奇偶性。判定函数奇偶性方法如下:定义(等价定义) 法;图像法;结论法等. 点评定义法判定函数的奇偶性先求定义域,看其是否关于原点对称,若对称,再求 ()fx,接着考察()fx与( )f x的关系,最后得结论. 判断函数不具有奇偶性时,可用反 例。 与函数的奇偶性有关的一些结论 若( )f x与( )g x同奇(偶),则( )f x( )g x为奇(偶)函数,( )f x( )g x和 ( ) ( ) f x g x 为 偶函数,( ( )f g x为奇(偶)函数; 若( )f x与( )g x一奇一偶,则( )f
9、 x( )g x和 ( ) ( ) f x g x 为奇函数,( ( )fg x为偶函数; 定义域关于原点对称的函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和的形式。 函数按奇偶性分类 奇函数非偶函数,偶函数非奇函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数。 点评既奇又偶的函数有无数个。如( )0f x定义域关于原点对称即可。如函数( )f x 22 11xx。 3. 周期性 函数的周期性是研究一些函数图象在定义域内具有某种一定的周期变化规律; 函数周期性的定义 一般地,对于函数( )f x,如果存在一个_的常数T,使得定义域内的_ x值,都满足()_f xT,那么函数( )f x称为周期函数,_常数T叫
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