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1、1 巧添辅助线解证几何题 引出问题 在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点: 一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题;二是通过添加辅助线, 使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题;三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解 决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。下面我们分别举例加以说明。 例题解析 一、 倍角问题 例 1:如图 1,在 ABC中, AB=AC,BD AC于 D。 求证: DBC= 1 2 BAC. C A B D 2 二、中点问题 例 3已知:如图,ABC中, AB=AC,在 A
2、B上取一点D,在 AC的延长线上取一点E,连接 DE交 BC于 点 F, 若 F是 DE的中点。求证:BD=CE 3 例 4如图,已知AB CD ,AE平分 BAD ,且 E是 BC的中点 . 求证: AD=AB+CD 4 三角平分线问题 例 5如图( 1) ,OP是 MON 的平分线,请你利用图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考这个全等三角形的方法,解答下列问题。 (1)如图( 2) ,在 ABC中, ACB是直角, B=60,AD、 CE分别是 BAC 、 BCA的平分线, AD 、CE相交于点F, 请你判断并写出EF与 FD之间的数量关系。 (2)如图( 3) ,在
3、ABC中,如果 ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,请问,你在(1) 中所得的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 N F PA M E O ( 1 ) D E F B CA ( 2 ) F ED B C A ( 3 ) 5 四、线段的和差问题 例 6 如图,在 ABC中, AB=AC, 点 P是边 BC上一点, PD AB于 D,PEAC于 E,CMAB于 M,试探究线 段 PD、PE 、CM 的数量关系,并说明理由。 6 五、垂线段问题 例 7 在平行四边形ABCD 中, P是对角线BD上一点,且 ,PEAB PFBC 垂足分别是E、F 求证: ABPF BCPE
4、 例 8 求证:三角形三条边上的中线相交于一点。 F E DC BA P 7 六、梯形问题 例 9以线段a=16,b=13 为梯形的两底,以c=10 为一腰,则另一腰长d 的取值范围是 例 10如图,已知梯形ABCD 中, AB DC,高 AE=12,BD=15,AC=20,求梯形 ABCD 的面积。 例 11. 如图,在梯形ABCD中, AD BC,B+C=90,M、N分别是 AD 、BC的中点, 8 模式归纳 通过上面各例的分析、解证,发现添加适当的辅助线能使解题思路畅通,解答过程简捷。但辅助线 的添加灵活多变,好像比较难以把握。其实添什么样的辅助线?怎么添辅助线?与已知条件的特征和 所求
5、问题的形成关系密切。下面分类归纳几种常用的辅助线的添加方法。 一、倍角问题 研究 2 或 = 1 2 问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形: 1.与 在两个三角形中,常作的平分线,得1= 1 2 ,然后证明 1= ;或把 翻折,得 2=2 ,然后证明 2=(如图一) 2.与 在同一个三角形中,这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构造等腰 三角形的方法添加辅助线(如图二) 二 中点问题 已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。这类问题常用三种方法添加辅助线 (1)延长中线至倍(或者倍长中线),如图一。若图形中没有明显的三角形的中线,也可以构造 中线后,再倍长中线,如图二。 (2)
6、构造中位线,如图三 (3)构造直角三角形斜边上的中线,如图四。 图一图二图三图四 2 1 图一 图二 9 三、角平分线问题 已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题。常用的辅助线有两种: 1.以角平分线所在直线为对称轴,构造全等三角形,如图一、二所示。 2.由角平分线上的点向角的两边做垂线,构造全等三角形,如图二所示。 图一图二图三 四、线段的和差问题 已知条件或所求问题中含有a+b=c 或 a=c-b ,称为线段的和差问题,常用的辅助线有两种: 1.短延长:若AB=a,则延长 AB到 M,使 BM=b,然后证明AM=c ; 2.长截短:若AB=c,则在线段AB上截取 AM=a,然后证明MB
7、=b 。 五、垂线段问题 已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时,而所研究的问题关系又不明显时,可 以借助于可求图形的面积转化。常用的面积关系有: 1.同(等)底的两个三角形的面积与其高的关系; 2.同(等)高的两个三角形的面积与其底的关系。 六、梯形问题 梯形可以看作是一个组合图形,组成它的基本图形是三角形、平行四边形、矩形等。因此,可以 通过添加适当的辅助线,把梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等问题求解,其基本思想为: 梯形问题三角形或者平行四边形问题 在转化、分割、拼接时常用的辅助线: 1.平移一腰。即从梯形一个顶点作另一个腰的平行线,把梯形分成一个平行四边形和一个三
8、角形(如图一) 。研究有关腰的问题时常用平移一腰。 2.过顶点作高。即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线,把梯形转化成一个矩形和两个 直角三角形(如图二) 。研究有关底或高的问题时常过顶点作高。 3.平移一条对角线。即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线,把梯形转化成平行四边形 和三角形(如图三) 。研究有关对角线问题时常用平移对角线。这种添加辅助线的方法, 可以将梯形两条对角线及两底的和集中在一个三角形内,使梯形的问题转化为三角形的问 题。此三角形的面积等于梯形的面积。 4.延长两腰交于一点。把梯形问题转化为两个相似的三角形问题(图四); 5.过底的中点作两腰的平行线。当已知中有底的中点时
9、,常过中点做两腰的平行线,把梯形 转化成两个平行四边形和一个三角形(图五); 6.过一腰中点作直线与两底相交。当已知中有一腰的中点时,常连接梯形一顶点和此中点, 并延长交另一底于一点,将梯形问题转化为一对全等三角形和一个含有梯形两底之和的三 转化 分割、拼接 10 角形。此三角形的面积等于梯形的面积(图六); 7.作梯形中位线。 当已知中有一腰的中点时,常取另一腰的中点,作梯形的中位线, (图七), 利用梯形中位线性质解题。 图一图二图三 图四图五图六 图七 11 拓展延伸 1.已知:如图,ABC中, D是 BC的中点, F 是 CA延长线上一点,连接FD交 AB于 E,若 AE=AF求 证: BE=CF 2、如图, ABC中, BC=2AB,D是 BC中点, E是 BD中点 求证: AD平分 EAC 。 3. 已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD BC,ABC=90 , C=45 ,BECD于 E,AD=1, 2 2CD , 求 BE的值。
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