北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学(理科)试题含答案.pdf
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1、1 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学(理科) 2019.1 本试卷共4 页, 150 分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共8 小题,每小题5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 1双曲线 22 1 22 xy 的左焦点坐标为 A ( 2,0)B (2,0)C ( 1,0)D( 4,0) 2.已知向量,a b满足=(t),1)a2,0b, 且aa b,则,a b的夹角大小为 A 6 B 4 C 3 D 5 12 3.已知等差数列 na满足1=2 a,公差0d,且 125 ,
2、a a a成等比数列,则=d A 0 B 1 2 C1D 2 2 4.直线+1ykx被圆 22 2xy截得的弦长为2,则k的值为 A 6 B 4 C 3 D 5.已正六边形的6 个顶点中的三个座位顶点的三角形中,等腰三角形的个数为 A6 B7 C8 D12 6.已知函数( )=ln a f xx x ,则“0a”是“函数( )f x 在区间(1,)上存在零点”的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 7.已知函数( )sincosf xxx ,( )g x 是( )f x 的导函数,则下列结论中错误的是 A.函数( )f x 的值域与( )g x
3、的值域相同 B.若 0 x是函数( )f x 的极值点,则 0 x是函数( )g x 的零点 C.把函数( )f x 的图像向右平移 2 个单位,就可以得到函数( )g x 的图像 D.函数( )f x 和( )g x 在区间(, 4 ) 4 上都是增函数 8.已知集合( , ) 150,150,As tstsN tN.若BA,且对任意的( , )a bB,( , )x yB,均 有()()0ax by,则集合B 中元素个数的最大值为 A25 B49 C 75 D99 2 二、填空题共6 小题,每小题5 分,共 30 分 9.以抛物线 2 4yx的焦点 F为圆心,且与其准线相切的圆的方程为 .
4、 10.执行如下图所示的程序框图,当输入的M 值为 15,n 值为 4 时,输出的S 值为. 11. 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 上 图 所 示 , 则 这 个 三 棱 锥 中 最 长 的 棱 与 最 短 的 棱 的 长 度 分 别 为,. 12.设关于,x y的不等式组 , 4, 2, yx x ykx 表示的平面区域为,若点 A( 1,-2), B(3,0),C(2,-3)中有且 仅有两个点在内,则k的最大值为. 13.在ABC 中,3ba ,且cos2cosAB,则cosA. 14.正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为1,动点 M 在线段 CC1上,动点 P 在平面
5、1111 A B C D上,且AP平面 1MBD . ()当点M与点 C重合时,线段AP的长度为; ()线段AP长度的最小值为 . 三、解答题共6 小题,共80 分 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 15(本小题满分13 分) 已知函数( )s()cos2 2 f xacoxx ()比较() 6 f 和() 2 f 的大小; ()求函数( )f x在区间, 2 2 的最小值 . 16(本小题满分13 分) 为迎接2022 年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核. 记X表示学生的考核成绩,并规定85X为考核优秀 .为了了解本次培训活动的效果,在参加
6、培训的学生中 3 随机抽取了30 名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图: ()从参加培训的学生中随机选取1 人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率; ()从图中考核成绩满足70,79X的学生中任取3 人,设Y表示这 3 人重成绩满足8510X的人数, 求Y的分布列和数学期望; ()根据以往培训数据,规定当 85 (1)0.5 10 X P 时培训有效 .请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培 训活动是否有效,并说明理由. 17(本小题满分14 分) 在四棱锥PABCD中,平面ABCD平面PCD,底面ABCD为梯形, /ABCD,ADPC 且 0 1,2,120ABADDCDPPDC ()求
7、证:ADPDC平面 ; ()求二面角B-PD-C 的余弦值; ()若M 是棱 PA 的中点,求证:对于棱BC 上任意一点F,MF 与 PC 都不平行 . 18(本小题满分14 分) 椭圆 2 2 1 2 x y的左焦点为F,过点( 2,0)M的直线l与椭圆交于不同两点A,B ()求椭圆的离心率; ()若点B 关于 x 轴的对称点为B ,求AB 的取值范围 . 19. (本小题满分14 分) 已知函数 2 ( ) x ax f x e ()当1a时,求曲线( )yf x 在点 (1, (1)f处的切线方程; ()当0a时,求证: 2 ( )f x e 对任意(0,)x成立 . 20(本小题满分1
8、3 分) 设 n 为不小于3 的正整数,集合 12 (,.)0,1 ,1,2,., nni x xxxin,对于集合n中的任意元 素 12 (,.,) n x xx, 12 (,.,) n yyy 记 11112222 ()().() nnnn xyx yxyx yxyx y ()当3n时,若(1,1,0),请写出满足3的所有元素 ()设 n ,且+n,求的最大值和最小值; ()设 S 是 n的子集,且满足:对于 S 中的任意两个不同元素,有1n成立,求集合 S中元素个数的最大值. 4 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数学(理科)2019.01 一、选择题:本大题共8小题,每小题 5
9、分,共 40 分. 1.A 2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D 二、填空题 :本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 22 (1)4xy10. 2411.2 3 2,12.013. 3 2 14. 6 2 2 , 三、解答题 : 本大题共 6 小题,共 80分. 15解:()因为 1 (), 622 a f ()1 2 fa 所以 13 ()()(1)() 262222 aa ffa 因为0a,所以 3 0 22 a ,所以 ()() 26 ff ()因为( )sincos2f xaxx 2 sin(12sin)axx 2 2sinsin1xax 设sin ,tx ,
10、 2 2 x,所以 1,1t 所以 2 21ytat 其对称轴为 4 a t 当1 4 a t,即4a时,在1t时函数取得最小值1a 当1 4 a t,即04a时,在 4 a t时函数取得最小值 2 1 8 a 16.解:()设该名学生考核成绩优秀为事件A 由茎叶图中的数据可以知道,30 名同学中,有7 名同学考核优秀 所以所求概率()P A约为 7 30 ()Y的所有可能取值为0,1,2,3 5 因为成绩70,80X的学生共有 8 人,其中满足|75| 10X的学生有 5 人 所以 3 3 3 8 1 (0) 56 C P Y C , 21 35 3 8 15 (1) 56 C C P Y
11、C 12 35 3 8 30 (2) 56 C C P Y C , 3 5 3 8 10 (3) 56 C P Y C 随机变量 Y 的分布列为 Y0 123 P 1 56 15 56 30 56 10 56 115301015 ( )0123 565656568 E Y ()根据表格中的数据,满足 85 1 10 X 的成绩有 16 个 所以 85168 10.5 103015 X P 所以可以认为此次冰雪培训活动有效. 17解:()在平面PCD中过点D作DHDC,交PC于H 因为平面ABCD平面 PCD DH平面 PCD 平面ABCD I平面 PCDCD 所以DH平面 ABCD 因为AD平
12、面 ABCD 所以DHAD 又 ADPC ,且PCDHHI 所以AD平面 PCD ()因为AD平面 PCD ,所以 ADCD 又DHCD,DHAD 以D为原点,DADCDH,所在直线分别为, ,x y z轴,建立空间直角坐标系 6 所以( , , ),( , , ),( ,),( , , ),( , , )DAPCB0 0 02 0 00130 2 02 10, 因为AD平面 PCD ,所以取平面PCD 的法向量为( , , )DA2 0 0 uu u r 设平面PBD的法向量为( , , )nx y z r 因为( ,),( , , )DPDB0132 1 0 uu u ruu u r ,所
13、以 n DP n DB 0 0 r uuu r r uuu r 所以 yz xy 30 20 令2z,则2 3,3yx,所以(, )n3 2 3 2 r 所以cos , | AD n AD n ADn 2 357 192 19 uuu r r uuu r r uuu u rr 由题知 BPDC 为锐角,所以 BPDC 的余弦值为 57 19 () 法一: 假设棱 BC 上存在点 F,使得 MFPC,显然 F与点C不同 所以,P M F C四点共面于 所以FC,PM 所以BFC,APM 所以就是点, ,A B C确定的平面,所以P 这与 PABCD 为四棱锥矛盾,所以假设错误,即问题得证 法二:
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