北师大版九年级数学下册知识点归纳:第三章圆.pdf
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1、第三章 圆 1 圆 2 圆的对称性 *3 垂径定理 4 圆周角和圆心角的关系 5 确定圆的条件 6 直线和圆的位置关系 *7 切线长定理 8 圆内接正多边形 9 弧长及扇形的面积 一圆 描述性定义:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 随之旋转所形成 的圆形叫做圆;固定的端点O 叫做圆心 ;线段 OA 叫做半径;以点 O 为圆心的圆,记作 O,读作“圆O” 集合性定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心 ,定长叫做圆的半径 ,圆 心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆 。 对圆的定义的理解:圆是一条封闭曲线,不是圆面; 圆
2、由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。 2. 点与圆的位置关系及其数量特征: 如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则 点在圆上 d=r; 点在圆内 d dr. 其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的 距离相等。 二. 圆的对称性 1. 与圆相关的概念: 弦和直径:弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦 。 直径:经过圆心的弦叫做直径 。 弧、半圆、优弧、劣弧: 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧 , 用符号“”表示,以 CD 为端点的弧记为 “ ” , 读作“圆弧CD ”或“弧CD”。 半圆:直径的两个端点分圆成两条弧
3、,每一条弧叫做半圆 。 优弧:大于半圆的弧叫做优弧 。 劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧 。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。 ) 弓形:弦及所对的弧组成的图形叫做弓形 。 同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。 等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧 。 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角 . 弦心距 :从圆心到弦的距离叫做弦心距 . 2. 圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。 三. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且
4、平分弦所对的两条弧。 说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备: 过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 4. 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。 推论 : 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所 对应的其余各组量都分别相等. 四. 圆周角和圆心角的关系 1. 1 的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360 份时 ,每一份的角都是1的圆心角,相应的整个圆也被等 分成 360 份,每一份同样的弧叫1弧
5、 . 2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成 AOB= ,这是错误的 . 3. 圆周角的定义 : 顶点在圆上 ,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角 . 4. 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等;反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对的弧也相等; 推论 2: 半圆或直径所对的圆周角是直角;90 的圆周角所对的弦是直径; 五. 确定圆的条件 1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径 ,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可
6、以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 2. 经过三点作圆要分两种情况: (1) 经过同一直线上的三点不能作圆. (2) 经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆. 定理 : 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形 叫做圆的内接三角形. (2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等. 六. 直线与圆的位置关系 1. 直线和圆相交、相切相离的定义: (1
7、)相交 : 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线. (2)相切 : 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点. (3)相离 : 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. 2. 直线与圆的位置关系的数量特征: 设 O 的半径为 r,圆心 O 到直线的距离为d; d 直线 L 和 O 相交 . d=r 直线 L 和 O 相切 . dr 直线 L 和 O 相离 . 3. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 4. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径. 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线
8、必经过切点. 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. 垂直于切线; 过切点 ; 过圆心 . 5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切 三角形 . 6. 三角形内心的性质: (1) 三角形的内心到三边的距离相等. (2) 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角. 由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. (补充)圆和圆
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- 北师大 九年级 数学 下册 知识点 归纳 第三
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