北师大版高中数学必修5正弦定理4.pdf
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1、用心 爱心 专心 正弦定理 教学目的:(1)理解并掌握正弦定理的内容和推导过程; (2)能应用正弦定理解斜三角形,解决实际问题 问题提出: 在直角三角形中, 由三角形内角和定理、 勾股定理、 锐角三角函数,可以由已知的 边和角求出未知的边和角那么斜三角形是不是也有这样的边角关系呢? 首先我们回顾一下直角三角形中成立的边角关系: 在直角三角形中, sinA= c a ,sinB= c b , sinC=1 即 c= A a sin , c= B b sin , c= C c sin A a sin = B b sin = C c sin 在直角三角形中, 各边和它所对角的正弦比相等, 那么在斜三
2、角形中上述关系是否 成 1。立?或者说在斜三角形中是否有这样的边角关系? 定理证明 方法一 (向量法 ) 证法二: ( 等积法 ) 证法三: ( 外接圆法 ) 定理应用 正弦定理的应用: 一、解斜三角形; 二、在三角形中实现边角互化. 正弦定理在解斜三角形中的两类应用: (1) 、已知两角和任一边 , 求一角和其他两条边 . (2)已知两边和其中一边的对角, 求另一边的对角 (进而求其他的角和边 ) 例题讲解 例 1 已知在 BbaCAcABC和求中,,30,45,10 00 。 分析:此问题属于正弦定理所解决问题中的一类:已知两角和一边求其它边和角。 例 2 在 CAacBbABC, 1,6
3、0,3 0 和求中, 分析:此问题属于已知两边和一边的对角。 例 3 CBbaAcABC, 2,45,6 0 和求中, C B A c a b 用心 爱心 专心 分析:此问题也是已知两边和一边的对角。 做完以上例题后,请大家思考问什么会出现两个解的情况? 1为什么会出现两个解? 2. 当 a=1时 C有几个解;当 a= 3时 C有几个解;当 a=3时 C有 几个解 ? 已知两边一对角解的分布表(如已知a,b, 角 A) A 90时A= 90时Ab 1解ab 1解ab 1解 a=b 无解a=b 无解a=b 1解 ab 无解ab 无解 ab 1、bsinAab 2 解 2、a=bsinAb 1 解 3、absinA 无解 课堂练习 1根据下列条件确定 ABC 有两个解的是() Aa=18 B=300 A=1200 Ba=60 c=48 C=1200 Ca=3 b=6 A=300 Da=14 b=15 A=450 2根据下列条件解三角形 (1) 已知在 ABC 中 a=8,B=600,C=450,求 b (2) 已知在 ABC 中 b= 2,c=1,B=450, 求 C 3、ABC 中,sinAsinB 是 AB的() A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D即不必要也非充分条件 4、已知在 ABC 中,AB=1,BC=2, 则 C的取值范围是
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