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1、高中数学学习材料 鼎尚图文 *整理制作 必修五模块测试卷 (150 分, 120 分钟) 一、选择题 (每题 5 分,共 60 分) 1.在 ABC 中, a,b, c 分别是角 A,B,C 的对边,且cos 2 2 A c cb 2 ,则 ABC 是 ( ) A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形 2.在等比数列 an 中,如果a1a240,a3a4 60,那么 a7 a8等于 ( ) A.135 B.100 C.95 D.80 3.在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且 (3bc)cos Aacos C,则 cos A 的值等于 (
2、 ) A. 2 3 B. 3 3 C. 4 3 D. 6 3 4.日照模拟已知等比数列an 的前 n 项和 Snt 2 5 n 5 1 ,则实数 t 的值为 ( ) A.4 B.5 C. 5 4 D. 5 1 5.某人向正东方向走x km 后,向右转150,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好 是3km,那么 x 的值为 ( ) A.3B.23C.3或 23D.3 6.设 an为各项均是正数的等比数列,Sn为 an 的前 n 项和,则 ( ) A. 4 4 S a = 6 6 S a B. 4 4 S a 6 6 S a C. 4 4 S a 6 6 S a D. 4 4 S a 6 6
3、 S a 7.已知数列 an 的首项为1,并且对任意nN+都有 an0.设其前 n 项和为 Sn,若以 (an,Sn)(n N+)为坐标的点在曲线 y 2 1 x(x1)上运动,则数列 an的通项公式为( ) A.an n 2 1 B.ann2 C.ann1 D.ann 8.设函数 f(x) .0, 1 ,0, 1 3 2 x x xx 若 f(a)0,b0,则 a 1 b 1 2ab的最小值是 ( ) A.2 B.22C.4 D.5 10.已知目标函数z=2x+y 中变量 x,y 满足条件 , 1 ,2553 , 34 x yx yx 则( ) A.zmax=12,zmin=3 B.zmax
4、=12,无最小值 C.zmin=3,无最大值D.z 无最大值 ,也无最小值 11.如果函数f(x)对任意 a,b满足 f(ab) f(a)f(b),且 f(1)2,则 ) 1( )2( f f )3( )4( f f )5( )6( f f )2013( )2014( f f ( ) A.4 018 B.1 006 C.2 010 D.2 014 12.已知 a, b, a b 成等差数列, a, b, ab 成等比数列, 且 logc(ab)1, 则 c 的取值范围是( ) A.08 D.08 二、填空题 (每题 4 分,共 16 分) 13.泉州质检 ABC 的三个内角A,B,C 的对边分
5、别为a,b,c,且 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列,则角B= . 14.已知两正数x,y 满足 xy1,则 z y y x x 11 的最小值为. 15.两个等差数列的前n 项和之比为 12 105 n n ,则它们的第7 项之比为. 16.在数列 an中, Sn是其前 n 项和,若 a11,an1 3 1 Sn(n1),则 an . 三、解答题 (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)(1720 题每题 12 分, 2122 题 每题 13 分,共 74 分) 17.已知向量m 2 1 ,sin A与 n(3, sin A3cos A)共线,其中A 是 ABC 的内角 .
6、(1)求角 A 的大小; (2)若 BC2,求 ABC 的面积 S的最大值,并判断S取得最大值时ABC 的形状 . 18.已知数列 an满足 a1=1,an+1=2an+1(nN*) (1)求数列 an的通项公式; (2)若数列 bn满足 111 444 21n bbb = n b n a) 1(nN*), 证明: bn 是等差数列 ; 19.如图 1,A,B 是海面上位于东西方向相距5(33)海里的两个观测 点,现位于A 点北偏东45, B 点北偏西60的 D 点有一艘轮船 发出求救信号,位于B 点南偏西60且与 B 点相距 203海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为30 海里
7、/小时,该救援船 到达 D 点需要多长时间?图 1 20.解关于 x 的不等式ax 222xax(aR). 21.已知等差数列an的首项 a14,且 a2a7a12 6. (1)求数列 an的通项公式an与前 n 项和 Sn; (2)将数列 an的前四项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列 bn的前三项, 记 bn 的前 n 项和为 Tn,若存在 mN,使对任意nN总有 Tn0,当 q1 时,有 4 4 S a 6 6 S a 4 1 6 1 0,即 4 4 S a 6 6 S a ; 当 q1 时,有 4 4 S a 6 6 S a 4 1 3 1 1 )1( qa qqa 6 1
8、 5 1 1 )1 ( qa qqa q 3 (1q) 64 2 11 1 qq q 2 3 1q q 6 1 1 q q 0,所以 4 4 S a 6 6 S a .综上所述,应选B. 7.D 点拨:由题意,得Sn 2 1 an(an1), Sn1 2 1 an1(an1 1)(n 2). 作差,得an 2 1 1 2 1 2 nnnn aaaa, 即(anan1)(anan11)0. an0(nN+), anan11 0, 即 anan11(n 2). 数列 an为首项 a1 1,公差为1 的等差数列 . ann(nN+). 8.A 点拨:不等式f(a)1logcc, 有 1t10, 则
9、f(t1)f(t2) 1 1 2 t t 2 2 2 t t 21 2121 )2)( tt tttt . 因为 4 1 t2t10, 所以 t2t10,t1 t20.即 f(t1)f(t2).f(t)t t 2 在 4 1 ,0上单调递减, 故当 t 4 1 时 f(t)t t 2 有 最小值 4 33 ,所以当 xy 2 1 时, z 有最小值 4 25 . 15.31 点拨:设两个等差数列an ,bn的前 n 项和为 Sn,Tn,则 n n T S 12 105 n n ,而 7 7 b a 131 131 bb aa 13 13 T S 1132 10135 3. 16. 2 1,1
10、1 4 ,2 3 3 n n n 点拨: 3an1 Sn(n 1), 3anSn1(n 2). 两式相减,得3(an1an)SnSn1 an(n 2) n n a a 1 3 4 (n2) n2 时,数列 an 是以 3 4 为公比,以a2为首项的等比数列, n2 时, ana2 2 3 4 n . 令 n1,由 3an1Sn,得 3a2a1,又 a11a2 3 1 , an 3 1 2 3 4 n (n2). 故 .2, 3 4 3 1 , 11 2 n n n , 三、 17.解: (1)因为 mn, 所以 sinA(sinA3cosA) 2 3 0. 所以 2 2cos1A 2 3 si
11、n2A 2 3 0. 即 2 3 sin2A 2 1 cos2A1,即 sin 6 2 A 1. 因为 A(0,),所以 2A 6 6 11 , 6 , 故 2A 6 2 ,即 A 3 . (2)由余弦定理,得4b 2c2bc, 又 SABC 2 1 bcsinA 4 3 bc, 而 b2c22bc,bc4 2bc,bc 4(当且仅当 bc 时等号成立 ), 所以 SABC 2 1 bcsinA 4 3 bc 4 3 43. 当 ABC 的面积最大时,bc,又 A 3 ,故此时 ABC 为等边三角形 . 18.(1)解: an+1=2an+1(nN *),a n+1+1=2(an+1). an
12、+1 是以 a1+1=2 为首项, 2 为公比的等比数列 .an+1=2 n. 即 an=2n1(nN *). (2)证明: 1 1 4 b1 2 4 b 1 4 n b = n b n a1. nbbb n) ( 21 4= n nb 2.2(b1+b2+ +bn)n=nbn, 2(b1+b2+bn+bn+1)(n+1)=(n+1)bn+1. ,得2(bn+11)=(n+1)bn+1nbn,即(n1)bn+1nbn+2=0, nbn+2(n+1)bn+1+2=0. ,得 nbn+22nbn+1+nbn=0,即 bn+22bn+1+bn=0,bn+2bn+1=bn+1bn(nN *).b n是
13、等 差数列 . 19.解:由题意知AB5(33)海里, DBA90 60 30,DAB 90 45 45, ADB180 (45 30 )105. 在 DAB 中,由正弦定理得, DAB DB sin ADB AB sin . DB ADB DABAB sin sin 105sin 45sin)33(5 45cos60sin60sin45sin 45sin)33(5 2 13 ) 13(35 103(海里 ). 又 DBC DBA ABC30 (90 60 )60, BC203海里, 在 DBC 中,由余弦定理得 CD 2BD2BC2 2BD BCcosDBC3001 2002103203 2
14、 1 900, CD30 海里 .则需要的时间t 30 30 1(小时 ). 答:救援船到达D 点需要 1 小时 . 20.解:原不等式可化为ax 2(a2)x2 0 (ax2)(x1)0. (1)当 a0 时,原不等式化为x1 0x 1. (2)当 a0 时, 原不等式化为 a x 2 (x1)0x a 2 或 x 1; (3)当 a0 时,原不等式化为 a x 2 (x1)0. 当 a 2 1,即 a 2 时,原不等式的解集为1x a 2 ; 当 a 2 1,即 a 2 时,原不等式的解集为x 1; 当 a 2 1,即 2a 0 时,原不等式的解集为 a 2 x 1. 综上所述:当a 2
15、时,原不等式的解集为 a 2 ,1; 当 a 2时,原不等式的解集为 1 ; 当 2a0 时,原不等式的解集为 1, 2 a ; 当 a0 时,原不等式的解集为(, 1 ; 当 a0 时,原不等式的解集为(, 1 , 2 a . 21.解:(1)由 a2a7a12 6 得 a7 2, 又 a14,所以公差d 1,所以 an5n, 从而 Sn 2 )9(nn . (2)由题意知b1 4,b22,b31, 设等比数列的公比为q,则 q 1 2 b b 2 1 , 所以 Tn 2 1 1 2 1 14 n 8 n 2 1 1.令 f(n)= n 2 1 . 因为 f(n) n 2 1 是关于自然数n 的减函数, 所以 Tn是递增数列,得 4Tnx135,则 f(x1)f(x2) 1 1 100 x x 2 2 100 x x 21 2121 )100)( xx xxxx . 因为 x2x135, 所以 x1x2100.所以 x1x21000. 所以 f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2). 所以 f(x) x x 100 在 35, )内为增函数 . 所以当 x35 时, y2有最小值,约为10 069.7. 此时 y210 989,所以该厂应该接受此优惠条件 .
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