圆锥曲线知识点小结.pdf
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1、1 圆锥曲线知识点小结 一、椭圆:( 1)椭圆的定义:平面内与两个定点 21,F F的距离的和 等于常数(大于| 21F F)的点的轨迹。 其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: |221FFa表示椭圆; |2 21F Fa表示线段 21F F; |2 21FFa 没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点, 焦点在x轴上 中心在原点,焦点在y轴 上 标准 方程 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0(1 2 2 2 2 ba b x a y 图 形 顶 点 ),0(),0( )0,(),0,( 21 21 bBbB aAaA ),0(
2、),0( )0,(),0,( 21 21 aBaB bAbA 对称 轴 x轴,y轴;短轴为b2,长轴为a2 焦 点 )0 ,(),0 ,( 21 cFcF),0(),0( 21 cFcF x O F1 F2 P y A2 B2 B1 x O F1 F2 P y A2 A1 B1 B2 A1 2 焦 距 )0(2| 21 ccFF 222 bac 离心 率 )10(e a c e(离心率越大,椭圆越扁) 通 径 2 2b a (过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线 段) 3常用结论:(1)椭圆 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点为 21,F F,过 1 F的 直线交
3、椭圆于 BA,两点,则 2 ABF的周长 = (2)设椭圆 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 左、右两个焦点为 21,F F,过 1 F且 垂直于对称轴的直线交椭圆于QP,两点,则QP,的坐标分别 是| PQ 二、双曲线: (1)双曲线的定义: 平面内与两个定点 21,F F的距离的差的绝对值等 于常数(小于| 21F F)的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意:aPFPF2| 21 与aPFPF2| 12 (|2 21F Fa)表示双曲线 的一支。 |2 21F Fa表示两条射线;|2 21F Fa没有轨迹; (2)双曲线的标准方程、图象及
4、几何性质: 3 中心在原点,焦点在x轴上中心在原点,焦点在y轴上 标准方 程 )0,0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 图形 顶点 )0,(),0,( 21 aAaA),0(),0( 21 aBaB 对称轴x轴,y轴;虚轴为 b2,实轴为a2 焦点 )0,(),0,( 21cFcF),0(),0( 21 cFcF 焦距 )0(2| 21 ccFF 222 bac 离心率)1(e a c e (离心率越大,开口越大) 渐近线 x a b yx b a y 通径 2 2b a (3)双曲线的渐近线: 求双曲线 1 2 2 2 2
5、b y a x 的渐近线,可令其右边的1 为 0,即得 0 2 2 2 2 b y a x , 因式分解得到 0 xy ab 。 与双曲线1 2 2 2 2 b y a x 共渐近线的双曲线系方程是 2 2 2 2 b y a x ; (4)等轴双曲线为 222 tyx,其离心率为2 x O F1 P B2 B1 F2 x O F1 F2 P y A2 A1 y 4 (4)常用结论:( 1)双曲线 ) 0,0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点为 21,F F, 过 1 F的直线交双曲线的同一支于BA,两点,则 2 ABF的周 长= (2)设双曲线 )0,0(1 2 2 2
6、 2 ba b y a x 左、右两个焦点为 21, F F,过 1 F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于QP,两点,则QP,的坐标 分别是 | PQ 三、抛物线: (1)抛物线的定义: 平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离 相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: 0p 焦点在x轴 上, 开口向右 焦点在x轴 上, 开口向左 焦点在y轴 上, 开口向上 焦点在y轴 上, 开口向下 标准 方程 pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 5 图 形 顶 点 )0,0(O 对称 轴 x轴 y轴 焦 点 )0, 2 ( p
7、 F)0, 2 ( p F ) 2 , 0( p F ) 2 ,0( p F 离心 率 1e 准 线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 通 径 p2 焦半 径 2 | 0 p xPF 2 | 0 p yPF 焦点 弦 O F P y l x O F P y l x O F P y l x x O F P y l 6 焦准 距 p 四、弦长公式: | 14)(1|1| 2 21 2 21 2 21 2 A kxxxxkxxkAB 其中,A分别是联立直线方程和圆锥曲线方程, 消去 y 后所得 关于 x 的一元二次方程 的判别式和 2 x的系数 求弦长步骤:( 1)求出或设出直线与圆锥
8、曲线方程;(2)联 立两方程,消去y, 得关于x 的一元二次方程,0 2 CBxAx设 ),( 11 yxA,),( 22 yxB,由韦达定理求出 A B xx 21 , A C xx 21 ;(3)代 入弦长公式计算。 法(二)若是联立两方程,消去x, 得关于 y 的一元二次方程 ,0 2 CByAy则相应的弦长公式是: | ) 1 (14)() 1 (1|) 1 (1| 2 21 2 21 2 21 2 Ak yyyy k yy k AB 注意( 1)上面用到了关系式 | 4)(| 21 2 2121 A xxxxxx和 | 4)( 21 2 2121 A yyyyyy 注意( 2)求与弦
9、长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求 这边上的高(点到直线的距离),但若三角形被过顶点的一条线段 7 分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法 法(一):( 1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立 两方程,消去 y, 得关于 x 的一元二次方程, 0 2 CBxAx设),( 11 yxA, ),( 22 yxB,由韦达定理求出 A B xx 21 ;(3)设中点),( 00 yxM,由中 点坐标公式得 2 21 0 xx x;再把 0 xx代入直线方程求出 0 yy。 法(二):用点差法,设),( 11 yxA,),( 22 yxB,中点),( 0
10、0 yxM, 由点在曲线上,线段的中点坐标公式,过A、B两点斜率公式,列出 5 个方程,通过相减,代入等变形,求出 00, y x。 六、求离心率的常用方法:法一,分别求出a,c ,再代入公式 法二、建立 a,b,c满足的关系,消去b, 再化为关于 e 的方程, 最后解方程求 e ( 求 e 时,要注意椭圆离心率取值范围是0e1, 而双曲线 离心率取值范围是e1) 例 1:设点 P 是圆 22 4xy上的任一点,定点D 的坐标为( 8, 0),若点 M 满足2PMMD当点 P 在圆上运动时,求点M 的轨 迹方程 解设点 M 的坐标为, x y, 点 P 的坐标为 00 ,xy, 由2PMMD,
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