数学人教版九年级上册二次函数应用题专题复习.pdf
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1、二次函数应用题专题复习(含答案) 例 1、实验数据显示, 一般成人喝半斤低度白酒后,1.5 小时内其血液中酒精含量y (毫克 /百毫升)与时间 x (时) 的关系可近似地用二次函数y=200x2+400x 刻画; 1.5 小时后(包括 1.5 小时) y 与 x 可近似地用反比例函数y= (k0)刻画(如图所示) (1)根据上述数学模型计算: 喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少? 当 x=5 时, y=45,求 k 的值 (2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20 毫克 /百毫 升时属于 “ 酒后驾驶 ” ,不能驾车上路参照上述数学模型,假设某驾驶员晚 上 2
2、0:00 在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00 能否驾车去上班?请说 明理由 例 2、(2016?葫芦岛)某文具店购进一批纪念册,每本进价为20 元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售 价不低于20 元且不高于28 元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x (元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22 元时,销售量为36 本;当销售单价为24 元时,销售量为 32 本 (1)请直接写出y 与 x 的函数关系式; (2)当文具店每周销售这种纪念册获得150 元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元? (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w 元,将该纪念册
3、销售单价定为多少元时,才能使 文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少? 例 3、某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20 台,空调的采购单价y1(元 /台)与采购数量x1(台) 满足 y1= 20x1+1500(0 x1 20 ,x1为整数);冰箱的采购单价y2(元 /台)与采购数量x2(台)满足y2= 10x2+1300(0x2 20 ,x2为整数) (1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的,且空调采购单价不低于1200 元,问该商 家共有几种进货方案? (2)该商家分别以1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完在(1)的条件下, 问
4、采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润 例 4、 九年级( 3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x 天( 1x90,且 x 为整数)的售 价与销售量的相关信息如下已知商品的进价为30 元/件,设该商品的售价为y(单位:元 /件),每天的 销售量为p(单位:件),每天的销售利润为w(单位:元) 时间 x(天)1 30 60 90 每天销售量p(件)198 140 80 20 (1)求出 w 与 x 的函数关系式; (2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润; (3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600 元?请直接写出结果 例 5、 (201
5、6?绥化)自主学习,请阅读下列解题过程 解一元二次不等式:x25x0 解:设 x 25x=0,解得: x 1=0,x2=5,则抛物线y=x 25x 与 x 轴的交点坐标为( 0,0)和( 5,0)画出 二次函数y=x 2 5x 的大致图象(如图所示),由图象可知:当 x0,或 x5 时函数图象位于x 轴上方, 此时 y0,即 x25x0,所以,一元二次不等式x25x0 的解集为: x 0,或 x5 通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题: (1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的和(只填序号) 转化思想分类讨论思想数形结合思想 (2)一元二次不等式x25x0 的解集为
6、(3)用类似的方法解一元二次不等式:x 2 2x3 0 例 6、 (2016?黄石)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园 如图所示,图中点的横坐标x 表示科技馆从8:30 开门后经过的时间(分钟),纵坐标y 表示到达科技馆 的总人数图中曲线对应的函数解析式为y=,10:00 之后来的游客较少可 忽略不计 (1)请写出图中曲线对应的函数解析式; (2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过684 人,后来的人在馆外休息区等待从10:30 开始到 12:00 馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆4 人,直到馆内人数减少到624 人时,馆外等待的游客 可全部进入请问馆外游客最多等待多少分钟? 对应练习
7、: 1一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h(米)和运行时间t(秒)的函数解析式为h=5t 2+10t+1, 那么小球到达最高点时距离地面的高度是() A1 米 B3 米C5 米D6 米 2某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售 量 x(单位:辆)之间分别满足:y1=x2+10x,y2=2x,若该公司在甲,乙两地共销售 15 辆该品牌的汽车, 则能获得的最大利润为() A30 万元B40 万元C45 万元D46 万元 3向上发射一枚炮弹,经x 秒后的高度为y 公尺,且时间与高度关系为y=ax 2 +bx若此炮弹在第7 秒与 第 14 秒时的高度
8、相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的() A第 9.5 秒 B第 10 秒C第 10.5 秒 D第 11 秒 4如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y 轴对称 AB x 轴,AB=4cm ,最低点 C 在 x 轴上,高CH=1cm ,BD=2cm 则右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式为() Ay=( x+3) 2 By=(x+3) 2 Cy=(x3) 2 Dy= (x 3) 2 5烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h( m)与飞行时间t(s)的关系 式是,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为 () A2s B4s C6
9、s D8s 6 一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式:h=5t 2+20t14, 则小球距离地面的最大高度是() A2 米 B5 米C6 米D14 米 7烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h( m)与飞行时间t(s)的关系 式是, 若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为() A3s B4s C5s D6s 8某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y=(x0),若该车某 次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为() A40 m/s B20 m/s C10 m/s D5 m/s
10、9如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4 米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 米,水面 下降 1 米时,水面的宽度为_米 10如图的一座拱桥,当水面宽AB 为 12m 时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平 方向为 x 轴,建立平面直角坐标系,若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是y=(x6) 2 +4,则 选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是_ 11某种商品每件进价为20 元,调查表明:在某段时间内若以每件x 元( 20 x 30,且 x 为整数)出售, 可卖出( 30x)件若使利润最大,每件的售价应为_元 12在平面直角坐标系中,点A、B、C 的坐标分别为(
11、0,1)、( 4,2)、( 2,6)如果 P(x,y)是 ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当w=xy 取得最大值时,点P 的坐标是_ 13如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式 ,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_米 14某种工艺品利润为60 元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系 如图这种工艺品的销售量为_件(用含x 的代数式表示) 15某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20 元,调查发现当销售价为24 元时,平均每 天能售出32 件,而当销售价每上涨2 元,平均每天就少售出4 件 (
12、1)若公司每天的现售价为x 元时则每天销售量为多少? (2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28 元,该公司想要每天获得150 元的销售利润, 销售价应当为多少元? 16某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10 元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规 定这种产品的销售价不高于18 元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元 / 千克)之间的函数关系如图所示: (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元 /千克)之间的函数关系式当销售价为多少时,每天的 销售利润最大?最大利润是
13、多少? (3)该经销商想要每天获得150 元的销售利润,销售价应定为多少? 17某研究所将某种材料加热到1000时停止加热,并立即将材料分为A、B 两组,采用不同工艺做降温 对比实验,设降温开始后经过x min 时, A、B 两组材料的温度分别为yA、 yB, yA、yB与 x 的函数关 系式分别为yA=kx+b ,yB= ( x60) 2+m(部分图象如图所示),当 x=40 时,两组材料的温度相同 (1)分别求yA、yB关于 x 的函数关系式; (2)当 A 组材料的温度降至120时, B 组材料的温度是多少? (3)在 0x40 的什么时刻,两组材料温差最大? 18某企业设计了一款工艺品
14、,每件的成本是50 元,为了合理定价,投放市场进行试销据市场调查,销 售单价是100 元时,每天的销售量是50 件,而销售单价每降低1 元,每天就可多售出5 件,但要求销售单 价不得低于成本 (1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式; (2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000 元,且每天的总成本不超过7000 元,那么销售单价应控 制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本 每天的销售量) 19某种商品每天的销售利润y(元) 与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax 2+bx 75其图象如图所
15、示 (1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元? (2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16 元? 参考答案与点评 例 1、实验数据显示, 一般成人喝半斤低度白酒后,1.5 小时内其血液中酒精含量y (毫克 /百毫升)与时间 x (时) 的关系可近似地用二次函数y=200x2+400x 刻画; 1.5 小时后(包括 1.5 小时) y 与 x 可近似地用反比例函数y= (k0)刻画(如图所示) (1)根据上述数学模型计算: 喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少? 当 x=5 时, y=45,求 k 的值 (2)按国家规定,车辆驾驶人员
16、血液中的酒精含量大于或等于20 毫克 /百毫升时属于“ 酒后驾驶 ” ,不能驾 车上路参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00 在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00 能否驾 车去上班?请说明理由 考点 :二次函数的应用;反比例函数的应用 分析:(1)利用y=200x2+400x=200( x1) 2+200 确定最大值; 直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可; (2)求出 x=11 时, y 的值,进而得出能否驾车去上班 解答:解:( 1) y=200x2+400x=200(x1)2+200, 喝酒后 1 时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200(毫克 /百毫升); 当 x=5
17、 时, y=45,y=(k0), k=xy=45 5=225; (2)不能驾车上班; 理由:晚上20:00 到第二天早上7:00,一共有11 小时, 将 x=11 代入 y=,则 y= 20, 第二天早上7:00 不能驾车去上班 例 2、(2016?葫芦岛)某文具店购进一批纪念册,每本进价为20 元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售 价不低于20 元且不高于28 元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x (元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22 元时,销售量为36 本;当销售单价为24 元时,销售量为 32 本 (1)请直接写出y 与 x 的函数关系式; (2)
18、当文具店每周销售这种纪念册获得150 元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元? (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w 元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使 文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少? 【分析】 (1)设 y=kx +b,根据题意,利用待定系数法确定出y 与 x 的函数关系式即可; (2)根据题意结合销量每本的利润=150,进而求出答案; (3)根据题意结合销量每本的利润=w ,进而利用二次函数增减性求出答案 【解答】 解:( 1)设 y=kx +b, 把( 22,36)与( 24,32)代入得:, 解得:, 则 y=2x+80; (2)设当文具店每周
19、销售这种纪念册获得150 元的利润时,每本纪念册的销售单价是x 元, 根据题意得:(x20)y=150, 则( x20)( 2x+80)=150, 整理得: x260x+875=0, (x25)( x35)=0, 解得: x1=25,x2=35(不合题意舍去), 答:每本纪念册的销售单价是25 元; (3)由题意可得: w=(x20)( 2x+80) =2x 2+120x1600 =2(x 30) 2+200, 此时当 x=30 时, w 最大, 又售价不低于20 元且不高于28 元, x30 时, y 随 x 的增大而增大,即当x=28 时, w最大=2( 2830) 2+200=192(元
20、), 答:该纪念册销售单价定为28 元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大,最大利润是192 元 【点评】 此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识, 正确利用销量每本的利润=w 得出函数关系式是解题关键 例 3、某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20 台,空调的采购单价y1(元 /台)与采购数量x1(台) 满足 y1= 20x1+1500(0 x1 20 ,x1为整数);冰箱的采购单价y2(元 /台)与采购数量x2(台)满足y2= 10x2+1300(0x2 20 ,x2为整数) (1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的,且
21、空调采购单价不低于1200 元,问该商 家共有几种进货方案? (2)该商家分别以1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完在(1)的条件下, 问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润 考点:二次函数的应用;一元一次不等式组的应用菁优网 分析:(1)设空调的采购数量为x 台,则冰箱的采购数量为(20x)台,然后根据数量和单价列出不 等式组,求解得到x 的取值范围,再根据空调台数是正整数确定进货方案; (2)设总利润为W 元,根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W 与 x 的函数关系式并整理成顶 点式形式,然后根据二次函数的增减性求出最大值即可 解答:解:(
22、1)设空调的采购数量为x 台,则冰箱的采购数量为(20 x)台, 由题意得, 解不等式得,x11 , 解不等式得,x15 , 所以,不等式组的解集是11 x15 , x 为正整数, x 可取的值为11、 12、13、14、15, 所以,该商家共有5 种进货方案; (2)设总利润为W 元, y2=10x2+1300=10(20x)+1300=10x+1100, 则 W=( 1760y1)x1+(1700y2)x2, =1760x( 20x+1500)x+(170010x 1100)( 20x), =1760x+20x 21500x+10x2800x+12000, =30x 2540x+12000
23、, =30(x9) 2+9570, 当 x9 时, W 随 x 的增大而增大, 11 x15 , 当 x=15 时, W最大值=30(159) 2+9570=10650 (元), 答:采购空调15 台时,获得总利润最大,最大利润值为10650 元 点评:本题考查了二次函数的应用,一元一次不等式组的应用,(1) 关键在于确定出两个不等关系,(2) 难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式 例 4、 九年级( 3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x 天( 1x90,且 x 为整数)的售 价与销售量的相关信息如下已知商品的进价为30 元/件,设该商品的售价为y(单位:元 /
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