整式的加减知识点总结及题型汇总.pdf
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1、整式的加减知识点总结及题型汇总 整式知识点 1单项式: 在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代 数式叫单项式 . 2单项式的系数与次数:单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;系数不为 零时,单项式中所有字母指数的和,叫单项式的次数. 3多项式: 几个单项式的和叫多项式. 4多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式 里,次数最高项的次数叫多项式的次数; 注意: (若 a、 b、c、p、q 是常数) ax 2+bx+c 和 x2+px+q 是常见的两个二次三项式 . 5整式:
2、 凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为: 多项式 单项式 整式 . 6同类项: 所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7合并同类项法则:系数相加,字母与字母的指数不变. 8去(添)括号法则:去(添)括号时,若括号前边是“+”号,括号里的各项都不变号;若括号前边是“- ” 号,括号里的各项都要变号. 9整式的加减:整式的加减,实际上是在去括号的基础上,把多项式的同类项合并. 10. 多项式的升幂和降幂排列:把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来,叫 做按这个字母的升幂排列(或降幂排列). 注意:多项式计算的最
3、后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列. 11. 列代数式 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系,其次应抓住题中的一些关键词语,如和、差、积、商、平方、倒 数以及几分之几、几成、倍等等. 抓住这些关键词语,反复咀嚼,认真推敲,列好一般的代数式就不太难了. 12. 代数式的值 根据问题的需要, 用具体数值代替代数式中的字母,按照代数式中的运算关系计算,所得的结果是代数式的值. 13. 列代数式要注意 数字与字母、字母与字母相乘,要把乘号省略; 数字与字母、字母与字母相除,要把它写成分数的形式; 如果字母前面的数字是带分数,要把它写成假分数。 知识点 1 代数式 用基本的运算符号( 运算包括加、减
4、、乘、除、乘方与开方) 把数和表示数. 的字母连接起来的式子叫做代数式. 单 独的一个数或一个字母也是代数式. 例如: 5,a, 3 2 (a+b) ,ab,a 2-2ab+b2 等等 . 请你再举 3 个代数式的例子:_ 知识点 2 列代数式时应该注意的问题 (1) 数与字母、字母与字母相乘时常省略“”号或用“”. 如: -2 a=-2a ,3a b=_,-2 x 2=_. (2) 数字通常写在字母前面. 如: mn (-5)=_ , (a+b) 3=_. (3) 带分数与字母相乘时要化成假分数. 如: 2 2 1 ab=_,切勿错误写成“2 2 1 ab”. (4) 除法常写成分数的形式.
5、 如: S x= x S , x 3=_, x 3 1 2=_ 典型例题 :1、列代数式:(1)a的 3 倍与b的差的平方:_ (2)2a 与 3 的和: _ (3)x的 5 4 与 3 2 的和: _ 知识点 3 代数式的值 一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值. 例如:求当x=-1 时,代数式x 2-x+1 的值 . 解:当 x=1 时, x 2-x+1=12-1+1=1. 当 x=1 时,代数式x 2-x+1 的值是 1. 对于一个代数式来说,当其中的字母取不同的值时,代数式的值一般也不相同。 请你求出:当 x=2 时,代数式x2-x+1
6、 的值。 _ _ 知识点 4 单项式及相关概念 由_和_的乘积组成的_叫做单项式 .单项式中的 _叫做这个单项式的系数. 例如, hr 2 3 1 的系数 是_, r2 的系数是 _,abc的系数是 _, m 的系数是 _ 一个单项式中,所有字母的_的和叫做这个单项式的次数。例如,abc的次数是 _, yzx 2 4 5 的次数是 _ 注意 (1) 圆周率是常数; (2)当一个单项式的系数是1 或 1 时, “1”通常省略不写,如 2 ab , abc; (3) 单项式的系数是带分数时,通常写成假分数如 yx 2 4 1 1 写成 yx 2 4 5 典型例题 :1、下列代数式属于单项式的有:_
7、(填序号) ;53)5(; 5 )4(; 3 )3(;)2(;3)1 ( 22 xx m x a 2、写出下列单项式的系数和次数. (1)-18a 2b;(2)xy ;(3) 22 2 3 x yz ;(4)-x ;(5) 2 3x4 (6) 2 abc 答: (1)_(2) _(3) _ (4) _ (5) _ (6) _ 3、若单项式 2 5ba x 是一个五次单项式,则x=_。 4、请你写出一个系数是-6,次数是 3 并且包含字母 x的单项式: _。 知识点 5 多项式及相关概念 (1) 几个 单项式 的和叫做 _. 例如: a2-ab+b2,mn-3 等. (2) 在多项式中,每个_叫
8、做多项式的项 ,其中,不含字母的项叫做_。 如:多项式x 2-3x+2 ,有 _项,它们是 _,其中 _是常数项 (3)一般地,一个多项式含有几项,就叫几项式多项式里次数_的项的 _,就是这个多项式的次数 . 如: x2y-3 x 2y2+4x3y2+y4 是_次_项式,最高次项是4x 3y2. (4)_与_统称整式 典型例题 : 1、下列多项式分别是哪几项的和?分别是几次几项式? (1)3x 2y25xy2+x5-6;(2)-s22s2t2 +6t 2;(3) 3 2 xby 3 (4) 3 2 22 baba 解: (1 )3x 2y2-5 xy2+x5-6 是_,_,_,_这四项的和 .
9、 是_次_项式 . (2)_ 项的和 .是_次_项式 . (3)_ 项的和 .是_次_项式 . (4)_ 项的和 .是_次_项式 . 2、多项式 232 2 46x yxx y- +是_次_项式,其中最高次项的系数是_,三次项的系数是_常数项 是_ *3 、(1) 若 x2+3x-1=6 ,则 x 2+3x+8= ;(2) 若 x 2+3x-1=6 ,则 3 1 x2+x- 3 1 -= ; (3)若代数式2a 2-3a+4 的值为 6,则代数式 3 2 a 2-a-1 的值为 4、当 k= 时,代数式x 2(3kxy+3y2)+ 3 1 xy8中不含 xy 项 知识点 6 同类项 所含 _相
10、同,并且相同字母的_也相同的项叫做同类项 。所有的常数项都是_ 典型例题 : 1、下列各组中的两项属于同类项的是( ) A. 2 5 x 2y 与- 2 3 xy3 B.- 8a 2b 与 5a2c; C. 4 1 pq 与 - 2 5 qp D.19abc 与-28ab 2、若 nm yxyx 2232 53与是同类项,则nm 3、若 yx baba 9642 53与可以合并成一个单项式,则yx2_ 4.考题类型一:合并同类项确定字母系数的值 例如果代数式x4+ax3+3x2+5x3-7x2-bx2+6x-2合并后不含x2 和 x3 项,求 a,b 的值 5.考题类型二:由同类项定义求代数式
11、的值 知识点 7 合并同类项及法则 . 把多项式中的同类项 合并成一项,叫做_. . 合并同类项法则:把同类项的_相加减,所得的结果作为系数,_保持不变 . 步骤:找移合 典型例题 :1、填空:( 1)_)(_53 222 aaa(2)_)(_3ababab 2、计算 22 3aa 的结果是()A 2 3a B 2 4a C 4 3a D 4 4a 3、下列式子中,正确的是( ) A.3x+5y=8xy B.3y 2-y2=3 C.15ab-15ab=0D.29x 3-28x3=x 4、化简:(1)11x 2+4x-1-x2-4x-5; (2)- 3 2 ab 3+2a2b- 2 1 a 3b
12、-2ab2- 2 1 a 2b-a3b 5、已知的值。求46,2923 22 xx 知识点 8 整体思想 整体思想就是从问题的整体性质出发,把某些式子或图形看成一个整体,进行有目的、有意识的整体 处理。 整体思想方法在代数式的化简与求值有广泛的应用,整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想 方法在解代数式的化简与求值中的具体运用。 【例 17】把 ab 当作一个整体,合并 2 2()5ab 2 ()ba 2 ()ab的结果是 ( ) A 2 ()abB 2 ()abC 2 2()abD 2 2()ab 【例 18】计算5()2()3()ababab 。 【例 19】化简: 23223 (1)
13、(2)(2)(1)xxxxx 。 【例 20】已知3 2 c ab ,求代数式 225 23 cab abc 的值。 【例 21】己知: 2ab , 3bc , 5cd ;求acbdcb的值。 【例 23】当2x时,代数式 3 1axbx的值等于17 ,那么当1x时,求代数式 3 1235axbx的值。 【例 24】若代数式 2 237xy的值为 8,求代数式 2 698xy的值。 【例 25】已知3 xy xy ,求代数式 353 3 xxyy xxyy 的值。 知识点 9 去括号法则 括号前是“ +”号,把括号和它前面的“+”号去掉,原括号里各项的符号都不改变;括号前是“- ”号,把括 号
14、和它前面的“- ”号去掉,原括号里各项的符号都要改变. 注意: 1、要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据. 2、去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉. 3、括号前面是“-”时 ,去掉括号后 ,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符 号,而忘记改变其余的符号. 4、括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项. 5、遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。 对应练习 :1、( 1)2(3 )2(5 )(2_)(_)_abbaa (2)2(3 )2(5 )(2_)(_)_abbaa (3)2(3 )2(5 )(_)(_)_a
15、bba 2、化简()mnmn的结果为() Am2Bm2Cn2Dn2 3、先化简,再求值:74573 22 aababa,其中 3 1 ,2 ba 知识点 10 整式加减法法则 几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项. 注意:多项式相加(减)时,必须用括号把多项式括起来,才能进行计算。 典型例题 :1、若 2 32,57AxxBx,请你求:(1)2A+B (2) A3B 2、试说明:无论x,y 取何值时,代数式 ( x 3+3x2y-5xy +6y3)+(y3+2xy2+x2y-2 x3)-(4 x2y-x3-3x y2 +7y 3 )的值是常数 .
16、 二、典型例题: 题型一利用同类项,项的系数等重点定义解决问题 例 已知关于 x、y 的多项式ax 2+2bxy+x2-x-2xy+y 不含二次项,求5a-8b 的值。 例 2 已知 2 xy 与xy是同类项,则4m 6mn+7 的值等于() A. 6 B.7 C. 8 D. 5 例 3. 若 3am+2b3n+1与 10 1 b 3a5 是同类项,求m、n 的值 . 题型二化简求值题 例 1 先化简,再求值: 5x 2-(3y2+5x2)+(4y2+7xy) ,其中 x=-1,y=2。 点评 :整式化间的过程实际上就是去括号、含并同类项的过程,去括号注意符号问题。 题型三计算型 例. 合并同
17、类项。 (1)3x2xy82x+6xyx 2+6; (2)x2+2xyy 23x22xy+2y2; (3)5a 2b7ab28a2b ab 2。 【解析】 : 合并同类项的关键是找准同类项,(1)中 3x 与 2x, 2xy 与 6xy, 8 与 6 都是同类项,可以 直接进行合并;(2)中有三对同类项,可以合并,(3)中有两对同类项。 反思: 同类项合并的过程可以看作是分配律的一个逆过程,合并同类项时应注意最后结果不再含有同类项;系数 相加时,不能丢掉符号,特别不要漏掉“ ” 号;系数不能写成带分数;系数互为相反数时,两项的和为0。 题型四无关型 例. 试说明代数式x 3y3 2 1 x 2
18、y+y22x3y3+0.5x2y+y2+x3y32y23 的值与字母 x 的取值无关 . 三、针对性训练: (一)概念类 1、在 3222112 , 3,1,4, 43 xyxxym nxab xx , 2 b 中,单项式有: 多项式有:。 2、 2 a 的系数是 _ 3、单项式 8 5 3 ab 的系数是 ,次数是;当5,2ab时,这个代数式的值是_. 4、已知 -7x 2ym是 7 次单项式则 m= 。 5、填一填 整 式 -abr 2 2 3 2 ab -a+b 2 453yx a 3b2-2a2b2 +b 3-7ab+5 系 数 次 数 项 6、单项式 2 5x y、 22 3x y、
19、 2 4xy的和为 7、写出一个关于x 的二次三项式,使得它的二次项系数为-5 ,则这个二次三项式为。 8、多项式 2 23aa的项是。 9、 一个关于b 的二次三项式的二次项系数是-2 , 一次项系数是-0.5 , 常数项是3, 则这个多项式是_。 10、 7-2xy-3x 2y3+5x3y2z-9x4y3z2 是次项式,其中最高次项是,最高次项的系数是,常数项 是,是按字母作幂排列。 11、多项式 223 7583xyyx yx按x的降幂排列是 _ 12、如果多项式3x 22xyn y 2 是个三次多项式,那么n= 13、代数式 2 2aa的第二项的系数是_,当1a时,这个代数式的值是_
20、14、已知 -5x m y 3 与 4x 3yn 能合并,则m n = 。 15、若 211 2 nn ab 与 331 2 m a b 的和仍是单项式,则m_,n_ 16、两个四次多项式的和的次数是() 八次四次不低于四次不高于四次 17、多项式833 22 xyykxyx化简后不含xy项,则k为。 18、一个多项式加上x 2x2 得 x21,则此多项式应为 _. (二)化简类 1、 (a 3-2a2+1)-2(3a2-2a+ 2 1 ) 2、x-2(1-2x+x 2)+3(-2+3x-x2) 3、) 3 1 2(65 a a4、baba)5(2 5、 32009) 2 1 4(2)2(yx
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