椭圆焦点三角形面积公式的应用.pdf
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1、1 椭圆焦点三角形面积公式的应用 定理在椭圆1 2 2 2 2 b y a x (ab0)中,焦点分别为 1 F、 2 F,点 P 是 椭圆上任意一点, 21PF F,则 2 tan 2 21 bS PFF . 证明:记 2211 | ,|rPFrPF,由椭圆的第一定义得 .4)(,2 22 2121 arrarr 在 21PF F中,由余弦定理得:.)2(cos2 2 21 2 2 2 1 crrrr 配方得:.4cos22)( 2 2121 2 21 crrrrrr 即.4)cos1 (24 2 21 2 crra . cos1 2 cos1 )(2 222 21 bca rr 由任意三角
2、形的面积公式得: 2 tan 2 cos2 2 cos 2 sin2 cos1 sin sin 2 1 2 2 22 21 21 bbbrrS PFF . . 2 tan 2 21 bS PFF 同理可证,在椭圆 1 2 2 2 2 b x a y (ab0)中,公式仍然成立 . 典题妙解 例 1 若 P 是椭圆 1 64100 22 yx 上的一点, 1 F、 2 F是其焦点,且 60 21PF F,求 21PF F的面积 . 解 法 一 : 在 椭 圆 1 64100 22 yx 中 ,,6,8,10cba而 .60记 .| ,| 2211 rPFrPF P y F1O F2x P 2 点
3、 P 在椭圆上, 由椭圆的第一定义得:.20221arr 在 21PF F中,由余弦定理得:.)2(cos2 2 21 2 2 2 1 crrrr 配方,得:.1443)( 21 2 21 rrrr .1443400 21r r从而. 3 256 21r r . 3 364 2 3 3 256 2 1 sin 2 1 21 21 rrS PFF 解法二:在椭圆 1 64100 22 yx 中,64 2 b,而.60 . 3 364 30tan64 2 tan 2 21 bS PFF 解法一复杂繁冗,运算量大,解法二简捷明了,两个解法的优劣立现! 例 2 已知 P 是椭圆1 925 22 yx
4、上的点, 1 F、 2 F分别是椭圆的左、右焦 点,若 2 1 | 21 21 PFPF PFPF ,则 21PF F的面积为() A. 33B. 32C. 3 D. 3 3 解:设 21PF F,则 2 1 | cos 21 21 PFPF PFPF ,.60 .3330tan9 2 tan 2 21 bS PFF 故选答案 A. 例 3(04 湖北)已知椭圆1 916 22 yx 的左、右焦点分别是 1 F、 2 F,点 P 在椭圆上 . 若 P、 1 F、 2 F是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x轴的距 3 离为() A. 5 9 B. 7 79 C. 4 9 D. 4 9 或 7
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