概率与统计专练.pdf
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1、概率与统计专练(一) 作业 (二十三 ) 1某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种 植区的采摘由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示: 周一无雨毛雨有雨有雨 周二无雨有雨无雨有雨 收益20 万元15 万元10 万元7.5 万元 若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务无雨时收益为20 万元;有雨时收益为10 万元额 外聘请工人的成本为a 万元已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为 20 万元的概率为0.36. (1)若不额外聘请工人,写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益; (2)该基地是否应该外聘工
2、人,请说明理由 解析(1)设下周一无雨的概率为p,由题意, p20.36,p0.6, 基地收益 X 的可能取值为20,15,10, 7.5, 则 P(X20)0.36,P(X15)0.24,P(X10) 0.24,P(X7.5)0.16, 所以基地收益X 的分布列为: X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 基地的预期收益E(X)200.36150.24100.247.50.1614.4. 所以,基地的预期收益为14.4 万元 (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元, 则其预期收益E(Y) 200.6100.4a16a, E(Y) E(X) 1.6a, 综
3、上,当额外聘请工人的成本高于1.6 万元时,不外聘工人;成本低于1.6 万元时,外聘工人;成本恰为 1.6 万元时,是否外聘工人均可以 2(2016 河北三市六校联考)某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8 次数学周练中, 统计解答题失分的茎 叶图如下: (1)比较这两名同学8 次周练解答题失分的平均数和方差的大小,并判断哪位同学做解答题相对稳定些; (2)以上述数据统计的甲、乙两名同学失分超过15 分的频率作为概率,假设甲、乙两名同学在同一次周练 中失分多少互不影响,预测在接下来的2 次周练中,甲、乙两名同学失分均超过15 分的次数X 的分布列 和均值 命题意图本题主要考查平均数,方差及离散型
4、随机变量的分布列、期望 解析(1) x 甲 1 8(79111313162328)15, x 乙1 8(78101517192123)15, s甲 21 8(8) 2(6)2(4)2(2)2(2)2128213244.75, s 乙 21 8(8) 2(7)2(5)2022242628232.25. 甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等;甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大 所以乙同学做解答题相对稳定些 (2)根据统计结果,在一次周练中,甲和乙失分超过15 分的概率分别为P1 3 8,P2 1 2, 两人失分均超过15 分的概率为P1P2 3 16, X 的所有可能取值为0,1,2
5、. 依题意, XB(2, 3 16), P(Xk)C2k( 3 16) k(13 16) 2k,k0,1,2, 则 X 的分布列为 X 0 1 2 P 169 256 39 128 9 256 X 的均值 E(X) 2 3 16 3 8. 3(2016 河南八校联考 )某园林基地培育了一种新观赏植物,经过一年的生长发育,技术人员从中抽取了部 分植株的高度 (单位:厘米 )作为样本 (样本容量为n)进行统计, 按照 50,60),60,70),70 ,80),80,90), 90,100分组作出频率分布直方图,并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在50,60),90,100 的数据 ) (1
6、)求样本容量n 和频率分布直方图中的x、y 的值; (2)在选取的样本中,从高度在80 厘米以上 (含 80 厘米)的植株中随机抽取3 株,设随机变量X 表示所抽取 的 3 株高度在 80,90)内的株数,求随机变量X 的分布列及数学期望 解析(1)由题意可知,样本容量 n 8 0.0161050,y 2 50100.004, x0.1000.0040.0100.0160.0400.030. (2)由题意可知,高度在 80,90)内的株数为5,高度在 90,100内的株数为2,共 7 株抽取的3 株中高 度在 80,90)内的株数 X 的可能取值为1,2,3,则 P(X1)C 51C22 C7
7、3 5 35 1 7, P(X2)C 5 2C 2 1 C73 20 35 4 7, P(X3)C 5 3C 2 0 C7 3 10 35 2 7. 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 7 4 7 2 7 所以 E(X)1 1 72 4 73 2 7 15 7 . 4 (2016 湖北重点中学统考)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行 研究,他们分别记录了3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每100 颗种子浸泡后的发芽数, 得到如下资料: 日期3 月 1 日3 月 2 日3 月 3 日3 月 4 日3 月 5 日 温差 x() 1
8、0 11 13 12 8 发芽数 y(颗) 23 25 30 26 16 (1)从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天,记发芽的种子数分别为m,n,求事件“ m,n 均小于 25”的概率; (2)请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的数据,求出y 关于 x 的线性回归方程y b x a ; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2 颗,则认为得到的线性回归方程 是可靠的,试问 (2)所得的线性回归方程是否可靠? (参考公式:回归直线方程为y b x a ,其中 b , a =y - - b x) 解析(1)m,n 构成的基本事件(m,n)有: (23
9、,25),(23, 30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26), (25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共 10 个,其中 “m,n 均小于 25”的有 1 个,故其概率为P 1 10. (2)x12,y27, b 11251330122631227 11 21321223122 5 2. 于是 a 27 5 212 3,故所求线性回归方程为 y 5 2x3. (3)由(2)知 y 5 2x3,当 x10 时, y22;当 x8 时, y17,与检验数据的误差均为 1,满足题意,故 认为得到的线性回归方程是可靠的 概率与统计专练(二) 作业
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