江苏省常州市第二中学高二数学必修5解三角形教案苏教版.pdf
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1、用心爱心 专心121 号编辑1 江苏省常州市第二中学高二数学必修5 解三角形教案 http:/www.DearEDU.com 课题:正弦定理(两课时) 教学目的: 使学生掌握正弦定理 能应用解斜三角形,解决实际问题。 教学过程 : 一、引言: 在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,可以由已 知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办? (创设情景) 早在 1671 年, 两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约是385400 公里,你能设计一种近似的测量方法吗? 提出课题:正弦定理 二、讲解新课: 正弦定理 :在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即
2、 A a s i n = B b sin = C c sin =2R(R为ABC外接圆半径) 1直角三角形中:sinA= c a ,sinB= c b , sinC=1 即c= A a sin , c= B b sin , c= C c sin A a sin = B b sin = C c sin 2斜三角形中 证明一:(等积法)在任意斜 ABC 当中 SABC=AbcBacCabsin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 两边同除以abc 2 1 即得: A a sin = B b sin = C c sin 证明二:(外接圆法) 如图所示, RCD D a A a 2 sinsin
3、同理 B b sin =2R, C c sin 2R 证明三:(向量法) 过 A作单位向量j垂直于AC 由AC+CB=AB 两边同乘以单位向量j得j?(AC+CB)=j?AB 则j?AC+j?CB=j?AB |j|?|AC|cos90+|j|?|CB|cos(90C)=|j|?|AB|cos(90A) a b c O B C A D 用心爱心 专心121 号编辑2 AcCasinsin A a sin = C c sin 同理,若过C作j垂直于CB得: C c sin = B b sin A a sin = B b sin = C c sin 正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题: 1
4、两角和任意一边,求其它两边和一角; 2两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。(见图示)已知a, b 和 A, 用正弦定理求B时的各种情况: 若 A为锐角时 : )(ba ),(babsinA )(bsinA a sin 锐角一解 一钝一锐二解 直角一解 无解Aba b a b a b a b a a 已知边 a,b和A 仅有一个解 有两个解 仅有一个解 无解 a b CH=bsinAab a=CH=bsinA aCH=bsinA A C B A C B1 A B A C B2 C H HH 若 A为直角或钝角时: )(ba 锐角一解 无解ba 三、讲解范例: 例 1 已知在
5、BbaCAcABC和求中,,30,45,10 00 解: 00 30,45,10CAc 00 105)(180CAB 由 C c A a sinsin 得210 30sin 45sin10 sin sin 0 0 C Ac a 由 C c B b sinsin 得 2565 4 26 2075sin20 30sin 105sin10 sin sin0 0 0 C Bc b 例 2 在CAacBbABC, 1,60,3 0 和求中, 解: 2 1 3 60sin1sin sin, sinsin 0 b Bc C C c B b 用心爱心 专心121 号编辑3 000 90,30,60,BCCBC
6、Bcb为锐角, 2 22 cba 例 3CBbaAcABC,2,45,6 0 和求中, 解: 2 3 2 45sin6sin sin, sinsin 0 a Ac C C c A a 00 12060,sin或CcaAc 13 60sin 75sin6 sin sin ,7560 0 0 00 C Bc bBC时,当, 13 60sin 15sin6 sin sin ,15120 0 0 00 C Bc bBC时,当 或 00 60,75,13CBb 00 120,15, 13CBb 例 4 已知ABC,B为B的平分线,求证:ABBCAC 分析:前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究
7、问题,而B的平分线BD将ABC 分成了两个三角形:ABD与CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式:ABADBCDC, 从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正 弦定理将所证继续转化为 DBC DC BDC BC ABD AD ABD AB sinsin , sinsin , 再根据相等角正弦值相 等,互补角正弦值也相等即可证明结论. 证明:在ABD内,利用正弦定理得: ABD ADB AD AB ABD AD ADB AB sin sin sinsin 即 在BCD内,利用正弦定理得: . sin sin , sinsinDBC BDC DC BC
8、 DBC DC BDC BC 即 BD是B的平分线 . ABDDBCsinABDsinDBC. ADBBDC180 sinADBsin (180BDC) sinBDC CD BC DBC BDC ABD ADB AD AB sin sin sin sin DC AD BC AB 评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正 弦值相等这一特殊关系式的应用. 四、课堂练习: 1. 在ABC中,k C c B b A a sinsinsin , 则k为( ) 用心爱心 专心121 号编辑4 A.2R B.R C.4R D.R 2 1 (R为ABC外接圆半径 ) 2.
9、 ABC中, sin 2A =sin 2B +sin 2C ,则ABC为( ) A. B.C.等边三角形 D.等腰三角形 3在ABC中,求证: 2222 112cos2cos bab B a A 参考答案: 1.A,2.A 3. B b A a sinsinb B a Asinsin 22 ) sin () sin ( b B a A 2 2 2 2 sinsin b B a A 22 2cos12cos1 b B a A 2222 112cos2cos bab B a A 五、小结正弦定理,两种应用(重点:判断解的情况,利用三角形的边与角的关系,判断三 角形形状) 几何画板 :验证正弦定理
10、第 1 步,启动几何画板,单击工具箱上的“直尺”工具,在操作区作出任意三角形ABC 。单击 工具箱上的“选择箭头”工具,选中三角形的三条边,依次单击“度量”“长度”菜单命令, 度量 3 条边的长度值,度量值显示在操作区里, 第 2 步,单击操作区空白处,释放所选对象, 然后依次选中点A、点 B和点 C,依次单击 “度量” “角度”菜单命令,角ABC的度量值出现在操作区。同样方法,度量角BCA和角 CAB的角度。 然后同时选中3 组角度度量值,按住鼠标左键不放,当光标变成一个黑色箭头时,拖动光标, 使 3 组数据移动到合适位置。 第 3 步,单击操作区空白处,释放所选对象, 然后选中操作区中线段
11、AB的度量值和角BCA的度 量值,依次选择“度量”“计算”菜单命令,弹出对话框,单击“数值”列表下的“mAB ” 、 计算器上的“” ,然后单击“函数”下拉列表,选择“sin ” ,再单击“数值”下拉列表下的“m BCA ” ,单击“确定”按钮,操作区中出现正弦定理的一个比值。同样方法,计算出另外两条 边和所对角的正弦比值。然后选中3 个比值,拖动到适当位置, 第 4 步,同时选中3 个比值,依次单击“图表”“制表”菜单命令,在操作区制作出一个表 格,如图 93 所示。拖动三角形的任意一个顶点,可看到操作区的数值变化,但表格中的比值始 终相等 第 5 步,单击工具箱上“选择箭头”工具,选中表格
12、,然后双击表格,可在表格中添加一行纪 录。依次单击“文件”“保存”菜单命令,保存文件。 余弦定理(两课时) 教学目的 (1)使学生掌握余弦定理及其证明方法 (2)使学生初步掌握余弦定理的应用 教学重点与难点 用心爱心 专心121 号编辑5 教学重点是余弦定理及其应用; 教学难点是用解析法证明余弦定理 教学过程设计 一、复习 师:直角 ABC中有如下的边角关系(设C=90): (1)角的关系A+B+C=180 A+B=90 (2)边的关系c 2 =a 2+b2 二、创设情境 为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A、B ,望对岸标记物C ,测得 CAB=30 , CBA=75 ,AB=120m ,则
13、河的宽度为- 引入:在 ABC中,当 C=90 时,有c 2=a2+b2若 a,b 边的长短不变,变换 C的大小时, c 2 与 a 2+b2 有什么关系呢?请同学们思考 如图 1,若 C90时,由于AC与 BC的长度不变,所以AB的长度变短,即c 2a2+b2 用心爱心 专心121 号编辑6 如图 2,若 C90时,由于AC与 BC的长度不变,所以AB长度变长,即c 2a2+b2 经过议论学生已得到当C90时, c 2a2+b2,那么 c2 与 a 2+b2 到底相差多少呢?请同学 们继续思考 如图 3,当 C为锐角时,作BD AC于 D,BD把 ABC分成两个直角三角形: 在 Rt ABD
14、中, AB 2=AD2+BD2; 在 Rt BDC中, BD=BC sinC=asinC , DC=BC cosC=acosC 所以, AB 2=AD2+BD2 化为 c 2=( b-acosC )2+(asinC )2, c 2=b2-2abcosC+a2cos2C+a2sin2C, c 2=a2+b2-2abcosC 我们可以看出C为锐角时,ABC的三边 a,b,c 具有 c 2=a2+b2-2abcosC 的关系 从以上分析过程,我们对C是锐角的情况有了清楚认识我们不仅要认识到,C为锐 角时有 c 2=a2+b2-2abcosC,还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的 这种未
15、知 向已知的转化在数学中经常碰到 下面请同学们自己动手推导结论 用心爱心 专心121 号编辑7 如图 4,当 C为钝角时,作BD AC ,交 AC的延长线于D ACB是两个直角三角形之差 在 Rt ABD中, AB 2=AD2+BD2 在 Rt BCD中, BCD= -C BD=BC sin ( -C), CD=BC cos( -C) 所以 AB 2=AD2+BD2 化为 c 2=( AC+CD )2+BD2 =b+acos ( -C) 2+asin ( -C)2 =b 2+2abcos( -C)+a2cos2( -C)+a2sin2( -C) =b 2+2abcos( -C)+a2 因为 c
16、os( -C)=-cosC,所以 c 2=b2+a2 -2abcosC 这里 C为钝角,cosC 为负值,-2abcosC 为正值,所以 b 2+a2-2abcosC a2+b2, 即 c2 a2+b2 从以上我们可以看出,无论C是锐角还是钝角,ABC的三边都满足 c 2=a2+b2-2abcosC 这就是余弦定理我们轮换A, B , C的位置可以得到 a 2=b2+c2-2bccosA b 2=c2+a2-2accosB 三、证明余弦定理 在引入过程中,我们不仅找到了斜三角形的边角关系,而且还给出了证明,这个证明是依 据分类讨论的方法,把斜三角形化归为两个直角三角形的和或差,再利用勾股定理和
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