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1、- 1 - 2018 学年度第二学期期中质量调研 高一 数学试题 注意事项 : 1作答选择题时, 选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 2球的体积公式为 3 4 R 3 V( 其中R为球的半径 ) . 一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的 . 1. 直线310xy的斜率为() A 3 B3 C 3 3 D 3 3 2. 在下列命题中,不是公理的是() A. 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. B. 经过不
2、在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. C. 垂直于同一条直线的两个平面相互平行. D. 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们还有其它公共点, 这些公共点的集合是经过这个公共点的 一条直线 . 3. 在锐角ABC中,角A,B所对的边分别为a,b. 若2 sin3aBb,则角A等于() A 12 B 6 C 4 D 3 4. 若0,0abbc,则直线0axbyc一定不过() A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5. 设两条不同的直线 m,n,两个不同的平面 ,. 下列命题正确的是() A若,m,n,则mn. B若/ /,m,n,则/ /mn. C若mn,m,n,则. D若m
3、,/ /mn, / /n ,则. - 2 - 6. 设直线53150xy在x轴上截距为a,在y轴上的截距为b,则() A 5,3ab B3,5ab C3,5ab D3,5ab 7. 在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为 a,b,c. 已知3 5b ,6 2c,tan()2 4 A,则 a() A. 15 B. 3 5 C.3 D.6 2 8. 已知底面边长为2,侧棱长为(0)a a的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为 8 2 3 , 则实数 a的值为( ) A. 2 B.1 C.2 D. 2 2 9. 记( )f xkxb,方程( )yf x表示的直线为 1 l,直线 1 l
4、不过点 00 (,)P xy, 直线 20 :lyy 0 ( )()f xf x,则直线 1 l, 2 l的位置关系为() A一定平行 B平行或重合 C一定垂直 D 不能确定 10. 在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c. 已知 2 22 +coscosabaBbA2cosabB,则ABC () A 一定是直角三角形 B一定是等腰三角形 C 一定是等腰直角三角形 D是等腰或直角三角形 11. 已知函数( )yf x,当10x时, 2 ( )101f xxx,其图像的右端点为A, 当10x时,其图象是以A为端点且斜率为 1 2 的射线,若a,b,c互不相等,且 ( )f a( )f
5、 b( )f c,则abc的取值范围是() A. (0,) B.(20,) C. (20,22) D. (20,70) 12. 如图,直三棱柱 111 ABCABC中,侧棱长为2, AC1BC,90ACB,点D是 11 AB 的中点,F是 侧面 11 AAB B(含边界)上的动点. 要使 1 AB平面 1 C DF, 则线段 1 C F的长的最大值为() B A D A1 B1 C C1 F - 3 - A. 5 2 B. 2 C. 13 3 D. 5 二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20 分. 13. 与直线:1 34 xy l有相同的纵截距且与直线l垂直的直线方程为 14.
6、已知直线l:20kxyk和两点(3,0),(0,1)AB,使得直线l与线段AB有公共点(含端点)的k的 范围是 15. 用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面, 再用一个半径为R的半圆卷成一个圆锥的侧面, 则该圆柱 与圆锥的体积之比为 16. 在ABC中,内角,A B C所对应的边分别为, ,a b c, 边BC上的高为 3 6 a,则 bc cb 的最大值为 . 三、解答题:共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. ( 本题满分10 分) 在ABC中,边AB所在的直线方程为32xy,其中顶点A的纵坐标为1, 顶点C的坐标为(1,2). ( 1)求AB边上的高所在的直
7、线方程; ( 2)若,CA CB的中点分别为E,F,求直线EF的方程 . 18. ( 本题满分12 分) 如图,在四棱锥PABCD中,/ /ADBC,ADAB,面 ABCD面 PAB 求证:(1)/AD平面 PBC ; (2)平面PBC平面PAB 19. ( 本题满分12 分) 在ABC中, 3 4 A,6AB,3 2AC, B A C D A B C P D - 4 - 点D在BC边上ADBD ( 1)求BC的长度及sin B的值; ( 2)求 AD的长度及 ADC的面积 20. ( 本题满分12 分) 如图,在三棱柱 111 ABCABC中,ABAC 1 2AA, 11 3 BAACAA,
8、D,E分别为AB, 1 AC中点 ( 1)求证:DE平面 11 BBCC; ( 2)求证: 1 AA面 1 ABC,并求AB与面 1 ABC 所成的角; ( 3)若 1 1AA,6BC,求四棱锥 111 ABCC B的体积 21. ( 本题满分12 分) 某市欲建一个圆形公园,规划设立A,B,C,D四个出入口(在圆周 上) , 并以直路顺次连通,其中A,B,C的位置已确定,2AB, 6BC (单位 : 百米) ,记 ABC ,且已知圆的内接四边形对角互补,如 图请你为规划部门解决以下问题: ( 1)如果4DCDA,求四边形ABCD的区域面积; ( 2)如果圆形公园的面积为 28 3 万平方米,
9、求cos的值 22. ( 本题满分12 分) C和射线OA,已知如图, 在平面直角坐标系xOy中,第一象限内有定点 OA,OC的倾斜角分别为,tan3, 5 tan 12 , E A B C C1 B1 A1 D M A C O x y B A C D - 5 - 13 (04)OCaax轴上的动点 31 (,0)(62 3 a M mm)与A,C共线 ( 1)求C点坐标(用 a表示) ; ( 2)求OAM面积S关于m的表达式= ()S f m; ( 3)求OAM面积的最小时直线AC的方程 - 6 - 常州市“教学研究合作联盟” 2018 学年度第二学期期中质量调研 高一数学参考答案和评分标准
10、 一、选择题 ( 本题共 12 小题,每小题5 分,共 60 分) 1D 2 C 3 D 4 C 5D 6B 7C 8 A 9 A10B 11D 12 A 二、填空题 ( 本题共 4 小题,每小题5分,共 20 分) 1334160xy14 1 ,3 2 15 2 16 3 164 三、解答题 17( 本题满分10 分) 解: (1)AB边上的高过(1,2)C, 斜率为 3, 方程为 :310xy4 分 (2) A点坐标为( 1,1),CA的中点 3 (0,) 2 E 6 分 EF是ABC的一条中位线 , 所以/EFAB,EF的斜率为 1 3 8 分 所以直线EF的方程为2690xy. 10
11、分 18( 本题满分12 分) 解: (1) /,ADBC BC面PBC,AD面PBC, /AD平面 PBC 5 分 (2) /,ADBC ADABBCAB 面PAB面ABCD, 面PAB面ABCDAB,BC面ABCD,BC面PAB, 10 分 又BC面PBC,面PBC面PAB 12 分 19( 本题满分12 分) 解 :(1) 在ABC中, 由余弦定理得: 22 2cosBCABACAB ACA 2 3618263 2()3 10 2 3分 在ABC中, 由正弦定理得: sinsin ACBC BA - 7 - 得 : 2 3 2 sin10 2 sin 10 3 10 ACA B BC 6
12、 分 (2) (0,) 4 B, 3 10 cos 10 B,记ADBDx, 在ABD中 , 由余弦定理得: 22 3633 10 cos 1210 xx B xx , 得10x ( 另:cos3xB得10x ) 9 分 1110 ()sin62 106 2210 ADCABCABD SSSABBCBDB 12 分 20( 本题满分12 分) 解 :(1) 连 11 ,AC BC, 在三棱柱 111 ABCA BC中,四边形 11 ACC A是平行四边形, 1 AC过 1 AC的中点E,D是 AB中点 , DE是 1 ABC的中位线 ,所以 1 /DEBC, DE面 11 BBCC, 1 BC
13、面 11 BBC C, 所以DE平面 11 BBCC 4 分 (2) 在 1 ABA中 11 2, 3 ABAABAA, 由余弦定理得 11 3ABAA, 所以 11 AAA B, 同理 : 11 AAAC, 1111 ,ABACA AB面 1 ABC, 1 AC面 1 ABC, 所以 1 AA面 1 ABC, 所以AB与面 1 ABC所成的角为 1 6 ABA 8 分 (3) 由(2) 知 111 33A BACAA, 1 3 2 A BC S 1 AA是三棱锥 1 AABC的高 , 1 1 2 AA BC V, 即 1 1 2 AABC V, 11 1 3 2 A B CABC V 111
14、 31 1 22 ABB CCV 12 分 21( 本题满分12 分) 解: (1)+,coscosADCABCADC, 在ABC和ADC中分别使用余弦定理得: 22222 2622 6cos4424 4( cos )AC, 解得: 1 cos 7 , 4 3 sinsin 7 ADC 3 分 四边形ABCD的面积 1 ()sin 2 ABCADC SSSBA BCDA DC - 8 - 14 3 (2644)8 3 27 6 分 ( 2)圆形广场的面积为 28 3 圆形广场的半径 2 21 3 R, 在ABC中由正弦定理知: 4 21 2sinsin 3 ACR, 8 分 在ABC中由余弦定
15、理知: 222 26226cos4024cosAC, 2 4 21 (sin )4024cos 3 化简得: 2 14cos9cos10 解得: 1 cos 2 或 1 cos 7 11 分 答: 要使4DCDA,四边形ABCD的区域面积为8 3万平方米; 要使圆形广场的面积为 28 3 万平方米, cos的值为 1 2 或 1 7 12 分 22( 本题满分12 分) 解 (1) 5512 0,),tan,sin,cos 121313 , 又13 ,(12 ,5 )OCaCaa 2 分 (2) 直线:3OA yx, 设 00 (,3),A xxM C A共线 , 0 0 35 , 12 MC
16、MA xa kk amxm 解得 : 0 5 331 am x ma , 2 1531 = ()(62 2(331 )3 ama S f mm ma ) 6 分 (3) 法一、 2 2 1515131 = ()(62 313 2(331 )23 amaa S f mm a ma mm ) 记 22 13913 , ( )31331 (),) 6212462 31 tg tatta tt maaa 8分 ( ) 若 31 6262a 即34a, 函数( )g t在 13 ,) 62 31a 上递减,当且仅当 1 62 t即62m时 ( )g t取得最小值 , 此时(62,0)M,直线AC的方程为
17、 :5(1262)3100axaya - 9 - ( ) 若 133 626231aa 即03a, 函数( )g t在 13 ,) 62 62a 上递增, 33 (,) 6231aa 上递减,当且仅当 3 62 t a 即 62 3 a m时( )h t取得最小值,此时 62 (,0) 3 a M,直线AC的方程 为 :15263100xya 12 分 法二、记331,(0,18631 mat ta, 22 15(31 )5(31 ) = ( )62 (0,18631 296 a taaa S h ttata tt 8 分 以下用单调性的定义证明“对勾”函数的单调性(略) ( ) 若34a,1863131aa,( )h t在(0,18631 a上递减 ,当且仅当 18631ta即62m时( )h t取得最小值,此时( 6 2 ,M,直线AC的方程 为 :5(1262)3100axaya ( ) 若03a,1863131aa,( )h t在(0,31 )a上递减 , 在(31 ,18631 aa上递增 , 当 且 仅 当31ta即 62 3 a m时( )h t取 得 最 小 值 ,此 时 62 (,0) 3 a M,直 线AC的 方 程 为 :15263100xya 12 分 (法二中“对勾”函数的单调性未证明的不扣分)
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