第二轮复习专项:高中函数基本性质训练(精华).pdf
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1、第 1 页 共 23 页 第二轮复习专项:函数的基本性质 一、函数的单调性 定义: (略) 定理 1: 2121 ,xxbaxx那么 1212 ()()()0xxfxfx 12 12 ()() 0( ), f xf x f xa b xx 在上是增函数; 1212 ()()()0xxfxfx 12 12 ()() 0( ), f xf x f xa b xx 在上是减函数 . 定理 2: (导数法确定单调区间)若bax,,那么 baxfxf,)(0在上是增函数;baxfxf,)(0在上是减函数 . 1. 函数单调性的判断( 证明 ) (1) 作差法 ( 定义法 ) (2)作商法 (3)导数法
2、2. 复合函数 的单调性的判定 对于函数( )yf u和( )ug x,如果函数( )ug x在区间( , )a b上具有单调性,当,xa b时 ,um n,且函数( )yf u在区间(, )m n上也具有单调性,则复合函数( ( )yf g x在区间,a b具 有单调性。 3. 由单调函数的 四则运算 所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数( )f x和( )g x,若它们的定义域分别为I和J,且IJ: (1) 当( )f x和( )g x具有相同的增减性时, 1( ) ( )( )Fxfxg x的增减性与( )f x相同, 2( ) ( )( )Fxf xg x、 3( ) ( )(
3、 )Fxf xg x、 4 ( ) ( )( )0) ( ) f x Fxg x g x 的增减性不能确定; (2) 当( )f x和( )g x具有相异的增减性时,我们假设( )fx为增函数,( )g x为减函数,那么: 1( ) ( )( )Fxfxg x的增减性不能确定; 2( ) ( )( )Fxf xg x、 3( ) ( )( )F xf xg x、 4 ( ) ( )( ( )0) ( ) f x F xg x g x 为增函数, 5 ( ) ( )( ( )0) ( ) g x F xf x f x 为减函数。 4. 奇偶函数的单调性 第 2 页 共 23 页 奇函数在其定义域
4、内的对称区间上的单调性相同,偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。 二、函数的对称性 函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中, 而且利用对称性 往往能够更简捷的使问题得到解决, 对称关系同时还充分体现数学之美。 1. 函数( )yf x的图象的对称性(自身): 定理 1:函数( )yf x的图象关于直 2 ab x对称 ()()f axf bx()( )f a b xf x 特殊的有: 函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)( )faxf x。 函数( )yf x的图象关于y轴对称(奇函数))()(xfxf。 函数)(axf
5、y是偶函数)(xf关于ax对称。 定理 2: 函数( )yf x的图象关于点( , )a b对称 ( )2(2)f xbfa xbxafxaf2)()( 特殊的有: 函数( )yf x的图象关于点( ,0)a对称( )(2)f xfa x。 函数( )yf x的图象关于原点对称(奇函数))()(xfxf。 函数)(axfy是奇函数)(xf关于点0,a对称。 定理 3: (性质) 若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和 x=b(a 不等于 b), 那么 f(x)为周期函数且2|a-b|是 它的一个周期。 若函数 y=f (x) 的图像有一个对称中心M(m.n) 和一条铅直对称轴x=
6、a, 那么 f(x) 为周期函数且4|a-m| 为它的一个周期。 若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称( ab) ,则 y = f (x)是周 期函数,且2| a b| 是其一个周期。 若一个函数的反函数是它本身, 那么它的图像关于直线y=x 对称。 2. 两个函数图象的对称性: 第 3 页 共 23 页 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0x( 即y轴) 对称 . 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线 2 ab x m 对称 . 特殊地 : ()yf xa与函数()yf ax的图象关于直线 xa对称 函数(
7、 )yf x的图象关于直线xa对称的解析式为(2)yfax 函数( )yf x的图象关于点( ,0)a对称的解析式为(2)yfax 函数 y = f (x)与 ax = f (ay) 的图像关于直线x +y = a成轴对称。 函数 y = f (x)与 xa = f (y + a)的图像关于直线xy = a成轴对称。 函数 y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。 3奇偶函数性质 对于两个具有奇偶性的函数( )f x和( )g x,若它们的定义域分别为I和J,且IJ: (1)满足定义式子)()(xfxf(偶)0)()(xfxf(奇) (2)在原点有定义的
8、奇函数有0)0(f (3) 当( )f x和( )g x具有相同的奇偶性时,假设为奇函数,那么: 函数 1( ) ( )( )Fxf xg x、 3( ) ( )( )Fxf xg x也为奇函数; 2( ) ( )( )Fxf xg x、 4 ( ) ( )( ( )0) ( ) f x Fxg x g x 为偶函数; 两个偶函数之和、差、积、商为偶函数 (4) 当( )f x和( )g x具有相异的奇偶性时,那么: 1( ) ( )( )F xf xg x、 3( ) ( )( )Fxf xg x的奇偶性不能确定; 2( ) ( )( )Fxf xg x、 4 ( ) ( )( ( )0)
9、( ) f x Fxg x g x 、 5 ( ) ( )( )0) ( ) g x Fxf x f x 为奇函数。 (6) 任意函数)(xf均可表示成一个奇函数)()( 2 1 )(xfxfxg与一个偶函数)()( 2 1 )(xfxfxh的和。 (7)一般的奇函数都具有反函数,且依然是奇函数,偶函数没有反函数 (8)图形的对称性关于 y轴对称的函数(偶函数)关于原点 0,0对称的函数(奇函数) (9)若)(xf是偶函数,则必有)()(baxfbaxf 若)(xf是奇函数,则必有)()(baxfbaxf 简单地说: 奇函数 奇函数 =奇函数, 偶函数 偶函数 =偶函数, 奇函数 奇函数 =偶
10、函数, 偶函数 偶函数 =偶函数, 奇函数 偶函数 =奇函数 . 第 4 页 共 23 页 (10)若)(baxf为偶函数,则必有)()(baxfbaxf 若)(baxf是奇函数,则必有)()(baxfbaxf (11)常见的奇偶函数 三、函数的周期性 函数的周期性反映了函数的重复性,在试题中它的主要用途是将大值化小,负值化正,求值。 1. 周期性的定义 对于函数)(xfy,如果存在一个非零常数 T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 )()(xfTxf都成立,那么就把函数)(xfy叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。 如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小
11、正周期。如果非零常数T是 函数( )f x的周期,那么 T、nT( * nN)也是函数( )f x的周期。 2. 函数的周期性的主要结论: 结论 1:如果()()f xaf xb(ab) ,那么( )f x是周期函数,其中一个周期Tab 结论 2:如果()()f xaf xb(a b) ,那么( )f x 是周期函数,其中一个周期2Tab 结论 3:如果定义在 R上的函数( )f x 有两条对称轴xa、xb对称,那么( )fx是周期函数,其 中一个周期2Tab 结论 4:如果偶函数( )f x的图像关于直线xa(0a)对称,那么( )f x是周期函数,其中一个 周期2Ta 结论 5:如果奇函数
12、( )f x的图像关于直线xa(0a)对称,那么( )f x是周期函数,其中一个 周期4Ta 结论 6:如果函数同时关于两点,a c、,b c(ab)成中心对称,那么( )fx是周期函数,其中 一个周期2Tab 结论 7:如果奇函数( )f x关于点,a c(0a)成中心对称,那么( )f x是周期函数,其中一个周 期2Ta 结论 8:如果函数( )f x的图像关于点,a c(0a)成中心对称,且关于直线xb(ab)成 轴对称,那么( )f x是周期函数,其中一个周期4Tab 结论 9: 如果 1 () ( ) f xp f x 或 1 () ( ) f xp f x , 那么( )f x是周
13、期函数, 其中一个周期2Tp 结论 10:如果 1( ) () 21( ) pf x f x f x 或 1( ) () 21( ) pf x f x f x ,那么( )f x是周期函数, 其中一个周期 2Tp 结论 11:如果()( )f xpf x,那么( )f x是周期函数,其中一个周期2Tp 第 5 页 共 23 页 例题 例 1:定义在 R 上的非常数函数满足:f (10+x) 为偶函数,且f (5x) = f (5+x), 则 f (x) 一定是() (第十二届希望杯高二第二试题) (A) 是偶函数,也是周期函数(B) 是偶函数,但不是周期函数 (C)是奇函数,也是周期函数(D)
14、是奇函数,但不是周期函数 解: f (10+x) 为偶函数,f (10+x) = f (10 x). f (x) 有两条对称轴x = 5 与 x =10 ,因此 f (x) 是以 10 为其一个周期的周期函数,x =0 即 y 轴 也是 f (x) 的对称轴,因此f (x) 还是一个偶函数。 故选 (A) 例 6.求证 :若fxxR为奇函数,则方程fx=0 若有根一定为奇数个。 证:fx为奇函数0f-0f=0f 20f=0 即x=0 是方程fx=0 的根 若 1 x是fx=0 的根,即 1 fx=0 由奇数定义得 1 fx 1 fx=0 1 x也是方程的根 即方程的根除x=0 外成对出现。 方
15、程根为奇数个。 例 2:设定义域为R的函数 y = f (x)、y = g(x)都有反函数,并且f(x 1) 和 g -1 (x 2) 函数的图像关 于直线 y = x对称,若g(5) = 1999,那么 f(4)= ( )。 (A)1999; (B)2000; (C)2001; (D)2002。 解: y = f(x1) 和 y = g -1 (x 2)函数的图像关于直线y = x对称, y = g -1 (x 2) 反函数是 y = f(x1) ,而 y = g -1(x 2) 的反函数是 :y = 2 + g(x), f(x 1) = 2 + g(x), 有 f(5 1) = 2 + g
16、(5)=2001 故 f(4) = 2001,应选( C) 例 3. 设 f(x)是定义在 R上的偶函数,且f(1+x)= f(1x), 当 1x0 时, f (x) = 2 1 x,则 f (8.6 ) = _ (第八届希望杯高二第一试题) 解: f(x) 是定义在R 上的偶函数x = 0 是 y = f(x) 对称轴; 第 6 页 共 23 页 又 f(1+x)= f(1 x) x = 1 也是 y = f (x) 对称轴。故 y = f(x) 是以 2为周期的周期函数, f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f ( 0.6 ) = 0.3 例 4. 设 f
17、(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)= f(x),当 0x 1时, f (x) = x ,则 f (7.5 ) = () (A) 0.5 (B) 0.5 (C) 1.5 (D) 1.5 解: y = f (x) 是定义在R 上的奇函数,点(0,0)是其对称中心; 又 f (x+2 )= f (x) = f ( x),即 f (1+ x) = f (1 x), 直线 x = 1 是 y = f (x) 对称轴, 故 y = f (x)是周期为2 的周期函数。 f (7.5 ) = f (8 0.5 ) = f ( 0.5 ) = f (0.5 ) = 0.5 故选 (B) 一、反函数的性质
18、和应用 (1)定义域值域相反( 2)图象关于xy对称(3)具有相同的单调性、奇偶性 (4)单调函数一定具有反函数,具有反函数的函数不一定单调,偶函数和周期函数一定不具有反函数 (5)原函数过ba,则反函数过ab,反之亦然 (6)xxff )( 1 ,xxff )( 1 ,但不一定等于)( 1 xff)( 1 xff 仅当 )(xf值域定义域 才成立 (二)奇偶函数性质 (1)满足定义式子(2)在原点有定义的奇函数有0)0(f( 3)两个偶函数之和、差、积、商为偶 函数;(4)两个奇函数之和、差为奇函数;积(商)为偶函数;(5)一个奇函数和偶函数之积、商为 奇 函 数 ( 6) 任 意 函 数)
19、(xf均 可 表 示 成 一 个 奇 函 数)()( 2 1 )(xfxfxg与 一 个 偶 函 数 )()( 2 1 )(xfxfxh的和( 7)一般的奇函数都具有反函数,且依然是奇函数,偶函数没有反函数 (8)图形的对称性 (三)周期性:定义、判断 常见具 有 周期性 的函 数)()(xfaxf )( 1 )( )( 1 )( xf axf xf axf或 )(1 )(1 )( xf xf axf或 )(1 )(1 )( xf xf axf (四)对称性:判断、性质 (1)一个函数的对称性: 1 、 函 数)(xfy关 于ax对 称)()(xafxaf或)2()(xafxf或 )2()(x
20、afxf显 然 :特 殊 的 有 偶 函 数 关 于y( 即x=0 ) 轴 对 称 , 则 有 关 系 式 )()(xfxf;一般的有)()(xbfxaf,函数)(xfy关于直线 第 7 页 共 23 页 22 )()(baxbxa x对称 2、函数)(xfy关于点),(ba对称bxafxaf2)()( bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成或bxfxaf2)()2(显然特殊的有奇函 数关于( 0,0)对称,奇函数有关系式0)()(xfxf 一般的有cxbfxaf)()(,函数)(xfy关于点) 2 , 2 ( cba 对称 3、函数自身不可能关于by对称,曲线则可能 (2)两个函数的对称
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